第三讲考前看一看的解题方法
1．解决集合问题要“四看”
(1)看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时需分清是点集、数集还是其他集合．
(2)看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合问题的常用方法．
(3)看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简捷．
(4)看能否数形结合：常用的数形结合的形式有数轴、坐标系和Venn图．
2．充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A?B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
3．利用导数研究函数单调性的步骤
第一步：确定函数f(x)的定义域；
第二步：求f′(x)；
第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；
第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；
第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．
4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤
第一步：求导数f′(x)；
第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；
第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：
①左正右负?f(x)在x＝x0处取极大值；
②左负右正?f(x)在x＝x0处取极小值．
5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)； 第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
6．求解恒成立问题的主要方法
(1)分离参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其他变量完全分离开来，且分离后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求出时，应用分离参数法．
(2)最值法：当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较容易地求出时，可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示)，然后建立关于参数的不等式求解．
(3)数形结合法：如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围．
(4)更换主元法：在问题所涉及的几个变量中，选择一个最有利于问题解决的变量作为主元进行求解．
7．判断函数f(ωx＋φ)的奇偶性的方法
π(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋2k∈Z)；若为奇函
数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，
π则φ＝kπ2k∈Z)．
kπ(3)若y＝tan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝2k∈Z)．
8．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的方法
最大值－最小值最大值＋最小值2πA＝，B＝，ω＝T，求φ时，常22
根据“五点法”中的五个点求解，可以根据图象的升降找准第一个零点的位置，把第一个零点作为突破口．
9．三角函数恒等变换的基本策略
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋
α＋βα－βαπcosα；α＝(α－β)＋β；β＝22；α可视为24±α可视2
?π?2α?的半角等． 为?2±??
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
1－cos2α2(5)公式的变形应用，如sinα＝cosαtanα，sinαcosα22
1＋cos2αα??α?cos2＝，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)，1±sinα＝sin2±2??2等．
(6)化简三角函数式：
b??asinα＋bcosαa＋bsin(α＋φ)?tanφ＝a. ??
10．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用
112222公式：1＋2＋3＋?＋n2n(n＋1)；1＋2＋3＋?＋n＝6(n＋1)(2n
＋1)；1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝n2.
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有：
111①－； n?n＋1?nn＋1
1?11?1； ②?n?n＋k?k?nn＋k?
1?111?1③k2?k－1k＋1； k－1??
1111111kk＋1?k＋1?kk?k－1?kk－1k
1?11?1－； ④n?n＋1??n＋2?2?n?n＋1??n＋1??n＋2??
⑤an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
11．数列的通项的求法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(即a1＋a2＋?＋an＝Sn)求an，用作差法：
??S1，n＝1，an＝? ?Sn－Sn－1，n≥2.?
(3)已知，a1·a2·?·an＝f(n)，求an，用作商法：
f?1?，n＝1，??an＝?f?n??f?n－1?n≥2.?
(4)若an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋?＋f(1)＋a1(n≥2)．
an＋1(5)a＝f(n)，求an，用累乘法： n
aan－1aan＝?a1＝f(n－1)·f(n－2)·?·f(1)·a1(n≥2)． a1·an－1an－2
(6)an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法，先将问题转化为公比为k的等比数列后，再求an.
an－1(7)形如an＝ kan－1＋b
12．已知定值求极值的常考形式及应试方法
(1)已知x>0，y>0，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值p.
(2)已知x>0，y>0，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最1大值42.
(3)已知a，b，x，y>0，若ax＋by＝1，则有
?11?11byax2?＋＝(ax＋by)＝a＋b＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b). xyxy?xy?
13．求解线性规划问题
(1)二元一次不等式表示的平面区域：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在
直线l的同侧；异号则在直线l的异侧．
(2)求解线性规划问题的步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．
(3)可行域的确定：“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．
(4)目标函数的几何意义：z＝ax＋by的几何意义是直线ax＋by－z＝0在x轴上的截距的a倍，是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距的
y－bb倍；zP(x，y)与点Q(a，b)连线的斜率；x－a
z＝(x－a)2＋(y－b)2表示的是可行域内的点P(x，y)与点Q(a，b)的距离的平方．
(5)线性目标函数在线性可行域内的最优解(非整点解)一般在可行域的边界或顶点处取得．
14．证明位置关系的方法
(1)线面平行：
(2)线线平行： a∥b??b?α??a∥α，?a?α? α∥β????a∥α，?a?β?a∥α??a?β??a∥b，
?α∩β＝b? ??a⊥α????a∥b，α∩γ＝a??b⊥α???β∩γ＝b? α⊥β??a⊥β??a∥α. ?a?α?α∥β
a∥b， a∥b????b∥c. a∥c??
(3)面面平行：
a?α，b?α??a∩b＝O??α∥β，?a∥β，b∥β? a⊥α????α∥β，??a⊥β?γ∥β??? α∥β??α∥γ.
(4)线线垂直：a⊥α????a⊥b. b?α??
(5)线面垂直：
a?α，b?α?a∩b＝Ol⊥a，l⊥b???l⊥α， ?? α⊥β??α∩β＝l??a⊥β，?a?α，a⊥l?
a?β?? α∥β????a⊥β，??b⊥α. ??a⊥α?a⊥α? a∥b??(6)面面垂直：??α⊥β，??α⊥β. a⊥α?a⊥α??? a∥β??
15．空间位置关系的转化
16．平面法向量的求法
求平面法向量的步骤为：
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
?a＝0，?n·(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组? ?n·b＝0；?
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量的坐标．
17．用空间向量求空间角
(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos<ν1，ν2>|.
(2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种办法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(3)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于<n1，n2>(或π－<n1，n2>)．
注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
18．直线与圆锥曲线的位置关系
可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
??Ax＋By＋C＝0，由?消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0. ??f?x，y?＝0，
(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
①Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
③Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
19．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝?1＋k?[?x1＋x2?－4x1x2]
或|P1P2|???1＋?[?y1＋y2?2－4y1y2]. k??
20．解答排列组合问题的角度
解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”．
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等．
(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决．
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．
21．解答关于二项式定理问题的五种方法
(1)常规问题通项分析法．
(2)系数和差型赋值法．
(3)近似问题截项法．
(4)整除(或余数)问题展开法．
(5)最值问题不等式法．
22．用样本估计总体
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
23．方差与标准差的计算
标准差的平方就是方差，方差的计算
1(1)基本公式s2＝nx1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．
122122(2)简化计算公式①s2＝n[(x1＋x2＋?＋x2)－n·x]，或写成s＝nn
222(x2即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数1＋x2＋?＋xn)－x，
的平方．
1222(3)简化计算公式②s＝n(x′1＋x′2＋?＋x′)－x′ 2n2
当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，?，xn′＝xn－a，即得上述公式．
24．复数的基本概念与运算问题的解题思路
(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是确定复数的实部和虚部，然后再根据实部、虚部所满足的条件，列方程(组)求解．
(2)与复数z的模|z|和共轭复数z有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．
25．用程序框图描述算法应注意的问题
(1)读懂程序框图，弄清程序框图的基本结构．
(2)含有循环结构的程序，要执行完每一次循环，直至循环结束．
26．应用合情推理应注意的问题
(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
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