武外实高三上学期期末理科数学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求.）
?x?2?1.已知集合A?{x|log1x?log13},集合B??x?0?，则A?B? ?x?1?22
A. ??1,2?B.?0,2?C. ?0,3?D.?
2.已知复数z在复平面内对应的点为(?1,1)，则复数?z?3????2?的模为A. B. C. 2 D. 2
3.在等差数列?an?中，若a4?3a6?a8?10，则a7?a5?
A. 10B. 2C. 5D. 4
24.已知直线l1:ax?y?1?0,l2:x?ay?a?0，且l1//l2，则实数a?
1 C. -1D. 2A. 1B. ±
5.已知向量|a|?4cos?
2?3?? A.B. C. D.3443
6.设?,?是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，给出下列四个命题，其中正确的 命题序号为
①若n??，n//?，????m，则n//m； ②若m??，n??，m//?，n//?，则?//?； ③若???，????m，n??，n?m，则n??；④m??，???，n//m，则n//?．
A.①③ B.①②④ C.①②③ D. ①④
7.如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为
A. n≤5B. n≤6 C. n≤7 D. n≤8
8?，|b|?2sin?8，a?b??2，则a,b的夹角为 8.已知sin???221?,cos(???)??，?，??(0,)sin(??)? 且，则3322
72242 C.D.939 A.?1B.
???1y?2sin2x?9.将函数所得图象对应的??的图象向右平移个周期后，6?4?
函数为f?x?，则函数f?x?的单调递增区间
A．?k???
??12 ，k??5??5?11???k?Zk?? ，
k??B．?????k?Z? 12?1212???
C. ??k???5?7??7?19??? ， k??k?Zk?? ， k?? D．???k?Z? ?2424?2424????
?x?y?2?10.已知O是坐标原点，点N(-2,-1)，若点M(x,y)为平面区域?log2?y?1??0上的一个动点，则?x?1?2?1
NO?OM的取值范围是
A.?2，6? B. ?2，4? C. ??6,?2? D. ??4,?2?
1 ， 3 ， 5?，则函数f?x??ax2?2bx在区间?1 ， 1 ， 2?，b???1 ， ???上为增函数的 11.已知a??0 ，
概率是
A．
12.已知离心率为e的双曲线和离心率为
若?F1PF2?
A.1115 B． C.D． 436122的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，2?3，则e= D．6 255 B． C．3 22
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题纸上）
?
13.设n?
?202n(x?)的展开式的常数项为 4cosxdx，则二项式x
1，当0?x?1时，f(x)?2x， f(x)14.f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x?3)??
则f(?
11)? 2
y2x2
??1(ab?0,且a?b)与直线x?y?2?0相交于P,Q两点，且OP?OQ?0 15.已知曲线ba
a?b（O为原点），则的值为 2ab
16.下列命题正确的是 (填序号)
2 ①命题“?x0?R,x0?1?3x0”的否定是“?x?R,x2?1?3x”；
②函数f(x)?cos2ax?sin2ax的最小正周期为?”是“a?1”的必要不充分条件； ③四面体ABCD四个顶点都在球面上，AB?AD?CD?2,BD?22,BD?CD,
83?； 3
0平面ABD?平面BCD，则球O的体积为 ④设函数f?x??e
则a的取值范围是?
x?3x?1??ax?a，其中a?1，若有且只有一个整数x0使得f?x??0， ?2?,1?. ?e?
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b?c
a?cosC． cosA
（I）求角A的值；
? （Ⅱ）若角B?，边上的中线AM=27，求边b． 6
18.已知正项等比数列?an?满足a1,2a2,a4?48成等差数列, 且a6?a2?9a5?a1．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?(1?an)?an,求数列{bn}的前n项和Tn．
19.某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取3人，其中X为男生人数，求X的分布列和期望；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表， 并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ n(ad?bc)2
2K?附：， (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
?AC?2，AB?BC且AB?BC. 20.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AAC1?AC111C?底面ABC，AA
（Ⅰ）求证：AC?A1B；
?B的正（Ⅱ）求二面角A?AC弦值. 1．．．
21.已知函数f?x??xsinx?acosx，且f?x?在x??
3处的切线斜率为?. 6
（Ⅰ）讨论f(x)在[??,?]上的单调性； 1?x?,x?0，其中m?0，若对任意的x1?[0,??)总存在x2?[0,]， （Ⅱ）设函数g(x)?ln(mx?1)?1?x2
使得g(x1)?f(x2)成立，求m的取值范围.
请考生用2B铅笔将所选题目对应题号涂黑，答题区域只允许选择一题，如果多做，则按所选做的前一题计分。
22.在极坐标系中，已知曲线C:??2cos?，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，
??x?tcos??3?t为参数?，且直线l与曲线横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l:??y?3?tsin?
?3?
C1交于点A,B两点.
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； 11?（Ⅱ）设定点P(0,3)，求. PB
23.已知f(x)?2x?1?5x?1
（Ⅰ）求f(x)?x?1的解集；
（Ⅱ）若m?2?n，对?m，n?(0,??)，恒有
14??f(x)成立，求实数x的范围. mn
武外实高三上学期期末理科数学考试试卷参考答案
一、BADCD,ABCAB,AD
116.①②④ 4
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 二、13. 24 14. 1 15.
17.解：（I）在△ABC
中，∵，
sin（A+C）
=sinB，??????3分
∴（2b
﹣c）
cosA=acosC，
∴2sinBcosA=
sinAcosC+
sinCcosA=
∴cosA=
∴A=．????????5分
． ????????6分
，
， ????????8分
，
）2
﹣2×b×
×cos， （Ⅱ）∵A=B=∴a=b，C=π﹣B﹣
A=∵BC边上的中线AM=2∴在△ACM中，由余弦定理可得：AM2=AC2+CM2﹣2AC?CM?cosC，即：28=b2+
（
∴整理解得：b=4． ????????12分
18.解：(1)设正项等比数列?an?的公比为q?q?0?
由a6?a2?9a5?a1得：q??3,因为q?0,所以q?3. ????????3分
又因为a1,2a2,a4?48成等差数列,所以a1?27a1?48?12a1
∴ a1?3 ????????5分
所以数列?an?的通项公式为an?3n. ????????6分
(2) 依题意得bn??2n?1??3n,则 ????????7分
Tn?3?31?5?32?7?33??????2n?1??3n?????
3Tn?3?32?5?33?7?34??????2n?1??3n??2n?1??3n?1??????????9分
由?-?得
32?3n?1
2?3?2n?3n?1 2Tn??2n?1??3?2?3?3?????3?3??2n?1??3?2?1?3
所以数列?bn?的前n项和Tn?n?3n?1 ????????12分
3219.解：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生有100×=60(人)，女生有100×=40(人). 55n?1?23n?2n?1
∴分数小于110分的学生中，
男生人有60×0.005×10 = 3(人)，女生有40×0.005×10= 2(人). ????????2分 ∴X可取1,2，3，则 1213C3C2C32C2C3331P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ????????4分 ???333C510C55C510
∴X的分布列为
3∴E(X)=1×+2×+3×= ????????6分 105105
(2)解：由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25 = 15(人)，女生40×0.375 = 15(人) ???????7分 据此可得2×2列联表如下：
9分 所以得
n(ad?bc)2100(15?25?15?45)225K????1.79 ????????11分 (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)60?40?30?70142
因为1.79 < 2.706.
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”． ????????12分
20.解：（Ⅰ）作AC的中点O，因为A1A?AC，且O为AC的中点， 1
?AC， ∴AO1
AC，且AO又侧面AAC11C?底面
ABC，其交线为1?平面AAC11C，
?底面ABC ????????2分 ∴AO1
以
O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x ， y ， z轴建立空间直角坐标系：
0 ，C?0 ， 2 ，
0 ， 0?，A?0 ， ?1 ， 0?，A10 ， 1 ， 0?，C10 ，由已知得：O?0 ，
???????????????? 0 ， ?，AC??0 ，B?1 ， 0 ，
0?，则有：A1B?1 ， 2 ， 0?，A1B?AC?0， ???????????∴A1B?AC ????????6分
??????? b ， c?， （Ⅱ）由（Ⅰ）得可设平面ACB的法向量为n??a
，
1
???????A1C?n
?0 ， 1 ， ???a ， b ， c??0?则满足 ??????，
0 ， ???a ， b ， c??0?A1B?n
?1 ，?
?， 1， ???????10分 解得：n????
?0，0?
∵m??1，
??m?n?? n????则cos?m ， ????????11分 m?n?B∴二面角A?AC1
. ????????12分
21.解：（1）∵f?x??xsinx?acosx
?f??x??sinx?xcoxs?asinx
????3?3?????f????si?co?asi???a?33332626?3?
?
2 ?a?1 ????????4分 ∴ ?f?(x)?xcosx ?f?(x)?0????x??
?f?(x)?0??,或0?x??2 ?
2?x?0,或?
2?x??
(??,?),(0,)(?,0),(,?)f(x)f(x)22上单调递增；22 则在在上单调递减； ????6分
（2）当x?[0,?????
2时，f(x)单调递增，?f(x)min?f(0)?1 ?????? ??7分
则依题g(x)?1在x?[0,??)上恒成立 m?2) g?(x)? ????????8分 ,(x?0,m?0)(mx?1)(x?1)2m(x2?
①当m?2时，m?2?0，?g?(x)?0在[0,??)上恒成立，即g(x)在[0,??)上单调 m
递增，又g(0)?1，所以g(x)?1在x?[0,??)上恒成立，即m?2时成立 ????????10分 ②当0?m?
2时，当x?时，g?(x)?0，此时g(x)单调递减 ?g(x)?g(0)?1故0?m?2时不成立综上m?2 ??????????????12分
22.解：
1?2?7x (x?)?5?11?11f(x)??3x (?x?)(??,)?(,??)23.解：（1）52 解得解集为 ?????????5分 82?1?7x?2 (x?)?2?
141419??(?)(m?n)??（2）因为mnmn22，
当且仅当m?,n?时等于号成立. 由?f(x)解得x的取值范围为???9
2513?,? ???????????10分 1414??2343
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