2017年全国高考数学仿真信息卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合M={1，2，3，4}，N={x|x+y=3，y∈M}，则M∩N=（） A．{1} B．{1，2} C．{2，3} D．{3，4}
2．已知复数z（1﹣i）=i，则z在复平面上对应的点位于（（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．曲线y=在点（1，﹣a）处的切线经过点P（2，﹣3），则a等于（） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1
4． 从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（）A． B． C． D．
5．已知命题p：若x＞y，则|x|＞|y|；命题q：若x+y=0，则x=﹣y．有命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q．其中真命题是（）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为
容可以是（） ，则判断框中填写的内
A．n＜5 B．n＜6 C．n≤6 D．n＜9
7．将函数y=3sin（2x﹣
则g（
A．0 =）（） B．﹣3 C．3 D． ）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应函数为g（x），
8．（x+）n（a∈N+，n∈N+，且n＞a）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为（）
A．120x3 B．160x2 C．120 D．160
，tanβ=．则α等于（） 9．已知α、β为锐角，且sin（α﹣β）=
A．15° B．30° C．45° D．60°
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10．已知a＞0，x，y满足约束条件 ，若z=x+2y的最大值为2，则a=（ ）A． B． C． D．
11．五棱锥P﹣ABCD的体积为5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（ ）
A．6 B．3 C．3
﹣ D．4 12．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第
三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．D．（，+∞） B．（，+∞） C．（2，+∞） （，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．如图在矩形ABCD中，E为BC的中点，若=α+β，则α+β= ．
14．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是
①三个题都有人做对；
②至少有一个题三个人都做对；
③至少有两个题有两个人都做对．
15．设抛物线C：y2=2px的焦点F是圆M：x2+y2﹣4x﹣21=0的圆心，则圆M截C的准线所得弦长为 ．
16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2﹣ab+b2=1，c=1，则a﹣b的取值范围为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．数列{an﹣bn}为等比数列，公比q＞0，首项为1，数列{bn}的前n项和Sn，若Sn=（n∈N+），a3=．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Tn．
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18．某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立．
（1）求在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=2AB=2
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角C﹣AE﹣F的正弦值．
20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且kOD?kAB=﹣，△AOB的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线1与椭圆C相交于M，N两点，若|MN|=
直线l相切的圆的方程．
21．已知，其中a＞0． ，求以F2为圆心且与．
（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 [选修4-4：坐标系与参数方程]
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22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3（φ为参数）．以O为极点，x轴，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）﹣f（x﹣1）≤1；
（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（﹣a）．
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2017年全国高考数学仿真信息卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合M={1，2，3，4}，N={x|x+y=3，y∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{2，3} D．{3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】由M中元素，根据x+y=3确定出x的值，进而确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：把y=1，2，3，4代入x+y=3中得：x=2，1，0，﹣1，即N={2，1，0，﹣1}，
∵M={1，2，3，4}，
∴M∩N={1，2}，
故选：B．
2．已知复数z（1﹣i）=i，则z在复平面上对应的点位于（（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z（1﹣i）=i，
则z===﹣，复数对应点为（），在第二象限．
故选：B．
3．曲线y=
A．1 在点（1，﹣a）处的切线经过点P（2，﹣3），则a等于（ ） D．﹣1 B．﹣2 C．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：y=的导数为y′=﹣，
则曲线在点（1，﹣a）处的切线斜率为﹣2a，
由切线经过点P，可得﹣2a=，
解得a=1．
故选A．
4． 从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（ ）A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
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