第8章一元一次不等式
第1课时认识不等式
教学目标
1．了解不等式的意义，
2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．
3．能依题意准确迅速地列出相应的不等式．
教学重点与难点
重点：掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式． 难点：依题意列出正确的不等式
教学过程：
一. 研究问题：
世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?
那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢
二. 新课探究：
分析上面的问题
设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票? ②若x＜30, 则又该如何买票呢？
结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?
概括：1、不等式的定义：
表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤.
2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分类： ⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1. ⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基础训练。
例1、用不等式表示：
⑴ a是正数；⑵b不是负数；⑶ c是非负数； ⑷x 的平方是非负数；⑸ x的一半小于-1；⑹ y与4的和不小于３.
注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应；⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系。例2、用不等式表示：
⑴a与1的和是正数；⑵ x的2倍与y的3倍的差是非负数；⑶ x的2倍与1的和大于—1；⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.
1
例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？
注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立。 ⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。
学生练习：课本P52练习1、2、3。
四、能力拓展
学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票。⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜；
⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜。
解：⑴按实际45人购票需付钱_________ 元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×８０％＝４８０元，所以购买团体票便宜。⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，
五、课堂小结
⑴不等式的定义，不等式的解。
⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.
六、作业：
P52：习题1、2（课本上完成）
教学反思：
2
第2课时 解一元一次不等式（1）
不等式的解集
教学目标：
1. 使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；
2. 培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；
3.在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题.
教学重点：
不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法
教学难点:
不等式的解集的概念
教学过程：
一、 复习与练习
1、用不等式表示：
（1）x的
正数；
（4）b的--1与3的差是正数；（2）2x与1的和小于0；（3）a的2倍与4的差是21与的和是负数；（5）a与b的差是非正数；（6）x的绝对值与1的2
和不小于1；
2、下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？
--3，--2，--1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7。
二、新课探究：
如图：请你在数轴上表示：
（1） 小于3的正整数；
（2） 不大于3的正整数；
（3） 绝对值小于3大于1的整数；
（4） 绝对值不小于--3的非正整数；
由复习（2）可知，大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来，如图
概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。
3
（2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，
小于在左边，大于在右边。当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当
不等号为“?”“?”时用实心圆圈。
三、基础训练。
例1、方程3x=6的解有 个，不等式3x<6的解有 个。
例2、判断题
（1）x=2是不等式4x<9的一个解； （2）x=2是不等式4x<9的解集；
（3）不等式4x<9的解集是x<2； （3）不等式4x<9的解集是x<例3、将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
（1）x<29. 411 （2）x??2 （3）-1<x?3 22
练习：p54：1、2题
四、能力拓展。
例4、适合不等式x?3?0的非负整数是哪几个数？适合不等式x?3?0的非正整数有哪几个？分别求出来．
例5、求出适合不等式?2≤a≤5的整数（不等式的整数解），同时适合不等式
?2?a?5 的整数是哪几个？
五、课堂小结
（1）不等式的解、不等式的解集的定义。（2）会判断一个未知数的值是否是不
等式的解。
（3）在数轴上表示不等式的解集时应注意不等号的类型。
六、作业
P54：练习3.
教学反思：
4
第3课时 解一元一次不等式（2）
不等式的简单变形
教学目标
1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质。
2．启发学生在不的概念式的变形中分辨情况，正确应用。
3．教会学生直接应用一次不等式的变形求解一元一次不等式，并指导学生掌握基本方法。
4．在教学过程中要引导学生体会一元一次不等式和方程的区别与联系。 教学重、难点及教学突破
重点 1．掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。 2．对简单的不等式进行求解。
难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。
教学过程：
一、复习练习：
1．不等式x??3中x的最小整数值是 ，不等式x≤2中x的最大整数值是 ．
2．写出不等式x?5?2的一个解是 ，x=7 （填“是”或“不是”）不等式x?5?2的解，不等式x?5?2的解是大于 的数．
3．用不等式表示：x的5倍与2的差不大于x与1的和的3倍． ．
4．用不等式表示“a的相反数的4倍减5不小于2”为 ．
5．“a不是一个正数”用不等式表示为 ．
6．“a与3的差的4倍大于8”用不等式表示为 ．
7．在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1
二、新课探究：
1、 提问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。那么方程变形的
依据是什么？
今天我们来研究解不等式，我们同样应先探究不等式的变形规律。 板书：解一元一次不等式（2）——不等式的简单变形
演示书本p55实验，由学生观察得出不等式的性质1，教师概括板书
（1） 不等式性质1 如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变
提问：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
2、将不等式7>4两边都乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或 “<”填空: 7ⅹ3 4ⅹ3 7ⅹ1 4ⅹ1
7ⅹ2 4ⅹ2 7ⅹ0 4ⅹ0
5
7ⅹ（-1） 4ⅹ（-1）
7ⅹ（-2） 4ⅹ（-2）
7ⅹ（-3） 4ⅹ（-3）
从中你发现了什么？
教师概括：（2）不等式性质2 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.（3）不等式性质3 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc.
也就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
三、基础训练
1、设a<b,用“〈”或“〉”号填空: (1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b; (5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1
2、(1)若m+2<n+2,则有m-1 n-1,-5m -5n；
22 （2）若ac>bc,则a b,-a-1 -b-1.
22 （3）若a>b,则ac bc(c≤0),ac bc(c≠0).
四、能力拓展
例1、1、用“〈”或“〉”“= ” 号填空:
（1）如果a-b<0那么a b（2）如果a-b=0那么a b（3）如果a-b那么a b.
从这道题可以看出：要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再
看这个差是正数、负数还是零。
22 2、用作差法比较x-2x-15与 x-2x-8的大小。
学生练习：若a<b<0，比较下列各对数的大小: aab (1)a
-3和-4;(2)a+b和a-b;(3)-+5和-+5。
例2、指出下列各题中不等式变形的依据：
（1）由3a>2,得a>2. 3
（2）由a+3>0,得a>-3.
（3）由-5a<1,得a>-. 5
（4）由4a>3a+1,得a>1.
例3、利用不等式的性质，把下列各式化成x>a或x<a的形式（解不等式）：
(1) x-7<8; (2) 3x<2x-3; (3) 1
x>-3; (4) -2x<6.
提问：（1）（2）两题中不等式的变行与方程的什么变行相类似？（3）（4）两题呢？
学生练习：p58：1、2、3、4。
6
五、延伸提高：
例1、不等式（m-2）x>1的解集为x<1，则 A．m<2 B. m>2 C. m>3D.m<3.
例2、（1）若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m .
（2）若(a+3)x>-a-3的解集为x>-1，则a 。
六、课堂小结：
1、不等式的三条性质。
2、运用不等式的性质将不等式进行简单变形应注意的问题。
七、作业
教学反思：
7
第4课时 解一元一次不等式（3）
解一元一次不等式
教学目标
1．了解一元一次不等式的定义，会正确辨别一元一次不等式。
2．初步掌握一元一次不等式的一般步骤，会在数轴上表示不等式的解集。
3．通过类比一元一次方程的定义和一般步骤，掌握一元一次不等式的解法和一般步
骤，培养学生合情推理能力。
教学重点：一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤。
教学难点：一元一次不等式的解法。
疑点： 弄清一元一次不等式与一元一次方程的异同．观察比较一元一次方程与一元一次不等式解题步骤的区别及注意点，从而更准确地掌握一元一次不等式的解题步骤并重视易出错的环节．
教学过程：
一、复习练习：
1． 复习提问：
(1) 不等式的三条基本性质是什么?（2）运用不等式基本性质把下列不等式化
成x?a或x?a的形式.
①x?4?6 ②2x?x?5 ③1x?4?6 ④3
?411x??x 535
(2) 什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
二、 新课探究:
1. 一元一次不等式：只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式, 未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.
2. 一元一次不等式的标准形式是:ax?b?0或ax?b?0?a?0?.
3.求一元一次不等式解集的过程叫解一元一次不等式.
4.解一元一次不等式就是把不等式化成x?a或x?a的形式.
三、基础例解:
例1、 解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
⑴ 2x?1?4x?13⑵ 2?5x?3??x?3?1?2x?
学生练习：课本p60练习1.
例2、解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来: ①
3?x?1?x?13x?29?2x5x?1?3??? ②2? 843328
四、能力拓展：
例3、x取何值时,代数式2?x的值 2
2x?12x?1①大于的值; ②不大于的值; ③是非负数; ④不小33
于3.
练习 p60：2
五、课堂小结:
⑴ 一元一次不等式的定义;
⑵解一元一次不等式的注意点:①移项要变号(同方程解法)②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改变.
六、作业:
P61：习题3题。
教学反思：
9
第5课时 解一元一次不等式③——练习课
一. 教学目标
1、进一步掌握一元一次不等式的解法;
2、熟练掌握一元一次不等式的应用.
二. 教学过程
1. 基础训练
(1) 已知2k?3x3?2k?1是关于x的一元一次不等式,那么k=________;不等式
的解集是____________.
(2) 不等式5?2?x?3??6x?4的解集是_______________.
3x?7的值为负数. 13
(4) 当k取___________时,关于x的方程2x?3?k的解为正数. (3) 当x取___________时,代数式
(5) 已知x?2y?6,若x?4,则y________.
2. 求不等式
三. 新课探究
例1:已知方程3?2x?5??a?4?ax的解满足不等式x?4?0和不等式2x?15x?1??1的非正整数解,并在数轴上表示出来. 32
4?x?0,求a的值.
例2:若a同时满足不等式2a?4?0和3a?1?2,化简 ?a?a?2.
课堂练习
（1）已知正整数x满足x?25115?0,求代数式?x?2??的值. 3x
（2）已知?3?y?2,化简y?2?3y?9?4y?3.
四、作业:
1、解下列不等式:
x?12x?4?3?； 25
xx?222x?34?x?1?x?11??5??1；?1??x?7；④．；x?1? 325833
x?23x?22x?9??2、求不等式的非正数的解； 236①.3?3?2x??5?2x?5?；②．?14??x?2??2?x?3?； 10
3、求不等式2x?15x?1??1的非正整数的解，并在数轴上表示出来。 32
4、已知x?2??2x?y?m??0，（1）当m取何值时，y?0? （2）当m取何值时，y??2？
11
第6课时 一元一次不等式组（1）
教学目标
1． 能结合实例，了解一元一次不等式组的相关概念。
2． 让学生在探索活动中体会化陌生为熟悉，化复杂为简单的“转化”思想方法。
3． 提高分析问题的能力，增强数学应用意识，体会数学应用价值。
教学重、难点
1..不等式组的解集的概念。
2.根据实际问题列不等式组。
教学过程
一．复习引入：1．不等式2＋3x＜9的正整数解是_______，不等式3－4x＜8的负
整数解是_______。
2．已知(2a?24)2?3a?b?k?0，当k取什么值时，b为负数？
二．新课探究：（课本P62）问题及分析
概括：把几个（两个）一元一次不等式合在一起就是一元一次不等式组。是指几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
例1：解不等式组：（1）??3x?1?2x?1?2x?1?3；（2）? 2x?8??2x?3?3x
5x?2?3(x?1)??2x?3?5?例2：解不等式组：（1）?1（2）? 3；x?1?7?x3x?2?4??2?2
归纳得口决：同大取大，同小取小，大小取中，矛盾无解。
三．基础训练：p64课内练习1-4题
四．能力拓展：1．若不等式组??x?1?0无解，求m的取值范围。
?x?m?0
12
?x?51?x???12．解不等式组??2，并将解集在数轴上表示出来。 6??3(x?4)?4(x?3)
?2x?1?0?6x?4?3??3．解不等式组：（1）?x?2?0；（2）?2?x?x?3
?3?4x?0?3x?2?x?8??
五．课堂小结：1．不等组的解集的意义：（略）
2．数形结合，借助数轴来确定解集。
六．布置作业：
P65习题1
教学反思：
13
第7课时一元一次不等式组（2）
学习目标：
1、总结归纳一元一次不等式组的解集类型与规律
2、能熟练求解一元一次不等式组
学习重点：熟练求解一元一次不等式组
学习难点：根据问题列一元一次不等式组求字母的取值范围
教学过程
一、温故知新
一元一次不等式组的解集类型
1、（1）不等式组?
是 。 ?x?3?x??2的解集是。（2）不等式组?的解集 ?x??1?x??1
?x?4?x?5（3）不等式组?的解集是 。（4）不等式组?的解集是 x?-1x??4??
。
通过上节课的学习和本节的练习，请归纳一元一次不等式组的解集类型，总结解集的确定方法
2、解不等式组
?x?1?5x?2?3(x?1)?1??（1）?2 （2） ?13 x?1?7?x??2?7x?8?9x?2
3、解不等式
（1）3x+2>5＞x–1（2）求
二、一元一次不等式组的应用
1、已知方程组?
1x?4?6+x＜3x的整数解 3?x?y?2k,中的x大于1，y小于1，求k的取值范围 ?x?y?4
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