第6章 一元一次方程
6.1 从实际问题到方程 教学目标：
1、 探索具体问题中的数量关系和变化规律，用方程进行描述，进而让学生初步体验：方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、 通过与小学教学的衔接，让学生进一步认识到方程与现实世界的密切关系，感受教学的自身价值。
3、 使学生在具体的数学活动中了解方程和方程的解。 教学重点、难点：
让学生在讨论问题、解决问题的过程中，初步比较用算术解法与列方程解在分析数量关系上的区别，体会方程带来的直接、明了的优点。 教学过程：
一、 情境创设：
（用投影或小黑板）出示课本第2页问题1。
问：你会解决这个问题吗？有哪些方法？
（学生通过思考，大体有两种解法，然后选择列方程的方法板书。）
设：需租用客车x辆，
44x+64=328。
（由于小学已接触过，学生能叙述方程的定义，从而得出识别方程的方法——含有未知数的等式就是方程。）
板书课题：从实际问题到方程。
二、 知识导学：
刚才的春游问题中你能得出租用几辆客车吗？
（用算术的方法计算答案，得到答案6辆。也可尝试解方程，同样得出答案） 我们把使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。X=6是方程44x+64=328的解。
三、 思维拓展：
1、 出示教科书第2页问题2。
请大家思考，本题有哪些方法可以解决？
1
（根据学生的不同方法，教师可以总结、归纳出两种解法，并加以比较。） 板书教科书第2页的两种解法。
从这个题目来看，我们发现有时候用列方程的办法解决一些实际问题时，比用算术的方法要来得更自然，更直接、明了。
（针对学生的回答整理修改完善。）如何求所列方程的解，我们可以从算术方法中得到启发，你会得到答案吗？由于未知数一定是正整数，所以可以用尝试、检验的方法找出方程的解，只要将x=1、2、3、4------代入方程的左右两边，看看哪些数能使方程两边的值相等，这个数就是方程的解。
四、反馈训练：
1． 检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。
(1)6(x+3) =30 (x=5,x=2)
(2)3y-1=2y+1 (y=4,y=2)
(3)(x-2)(x-3)=0 (x=0,x=2,x=3)
(4)x(x+1)=12 (x=3,x=4,x=-4)
2． 教科书第3页，练习1、2。
3． 设某数为x，根据题意列出方程（不必求解）：
(1) 某数的4倍是10。
(2) 某数减去1的差是15。
(3) 某数的3倍与5的和是26。
(4) 某数的三分之一减去2的差比该数的3倍大3。
五、小结：
本节课主要是通过一些实际问题的解决方法，让学生初步体会方程的价值，体会设元以后在思维、列式上直接、明了的优点，从而获得对方程良好的感性认识，产生想研究方程的欲望。
六、布置作业：
七、课后反思：
2
6.2解一元一次方程----方程的简单变形（1） 教学目标：
1、 通过日常生活中的问题，促使学生与方程相联系，感受方程的简单变形。
2、 通过方程的简单变形，体会解一元一次方程的两个基本步骤：“移项”和“化未知数的系数为1”。
3、 让学生经历知识的形成过程，培养学生自主探索和互相合作的能力。
4、 逐步渗透数学的归纳和类比的思想方法。 教学重点、难点：
重点：“移项”和“化未知数的系数为1”。
难点：两个变形步骤的特点的掌握以及在具体问题中的处理方法。 教学过程：
一、情境创设：
1、 同学们，你会跷跷跷板吗？如果你想让自己跷起来，你该怎么办？有没有其它的情况？
（根据学生回答的情况，可以假设一个重50千克，另一个人的体重如何变化会产生哪些不同的结果？）
如果设另一个人的体重为x千克，则当x=50时，两个人就跷得一样高。
2、 假设你去超市购物，如果买4盒相同的面纸一共化了12元，那么再多买2盒，就应再付多少钱呢？
（由学生思考得到答案，并能用简单的方程表示出来。）
3、 同学们能否在日常生活中类似于上面两个例子的问题？（教师可加以引导，如天平的例子。）
请同学们观察下图中天平托盘，你知道是怎样变化的吗？
板书： x+2=5.x=5-2
3
请同学们仔细观察图中天平托盘的变化及相应方程的变化，有规律可寻吗？ （引导学生进行讨论，教师归纳整理，得到两个变化规律，导出课题。） 板书课题：方程的简单变形
二、知识导学：
既然方程能这样变形：
板书：1、方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
2、 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变。
因此，通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解。
实践1：解下列方程：
（1）.x?5?7 (2). 4x?3x?4
解：（1）方程两边都加上5，得 （2）方程两边都减去3x，得 x?7?5 4x?3x??4
即 x?12 (口头检验) 即 x??4 (口头检验)
像这样，将方程中的某些项，如-5、3x, 改变符号后，从方程的一边移到了方程的另一边的变形叫做移项。
实践2：解下列方程：
31x? 23
32解：（1）方程两边都除以-5，得 （2）方程两边都除以（或乘以），得
23(1). ?5x?2 (2).
4
x??22 (口头检验)x? (口头检验) 59
问：这两个方程的变形是移项吗？（先学生交流，后教师指名回答）
三、思维拓展：
从刚才几个方程的变形来看，解方程就是对方程进行适当的变形，得到x=a的形式，但要注意“移项”与“化未知数的系数为1”的区别。（强调x=a的结果形式。）
问题：求下列方程的解是移项还是化未知数的系数为1？（小黑板或投影）
(1) 5?x?3 (2) 5x??2
211x?5(4) x?x?1 923
1(5) ?x?2 (6) x?6?4 3(3)
四、 反馈训练：
a) 课本第7页练习1、2（学生回答）
b) 解方程：（1）2x?3?1;(2)2x?1?x?3;(3)4x?7?6x?2?x （由3位同学板演，其他学生独立完成，也可同桌讨论完成。）
c) 由同桌相互各编类似的方程2题，让对方解答，看谁解得既快又准确。
五、 小结（要点，可让学生自行小结）：
1、方程的变形有两种，各有特点和作用；2、求方程的解就是对方程进行适当的变形，使之得到x=a的形式；3、移项要改变符号，且从方程的一边移到另一边，与加法交换律有本质的区别；4、将未知数的系数化为1时要注意系数的负号；在解一个方程时，往往两种变形都存在，也可能交替使用。
六、课后作业：
七、课后反思：
5
6.2解一元一次方程----方程的简单变形（2） 教学目标：
1、 通过例题和练习，让学生进一步熟悉方程的变形法则。
2、 在上节课的基础上，让学生对较复杂方程的解法作自主探索，体会方程的不同
解法中所经历的转化思想，让学生亲身体验成功的感觉。
3、 使学生掌握解方程的基本方法，同时体验方法的多样性，培养学生的实践能力
和创新精神。
4、 在教与学中渗透转化的数学思想。 教学的重点、难点：
重点：由方程的变形法则在解方程过程中自主探索、归纳解方程的一般步骤。 难点：方法的灵活应用和多样性。 教学过程：
一、知识导学：
回顾训练：解方程
1x?9 3
12(3) 3x?2?4x (4) x??0 43(1) 5?x?7(2)
（由四位同学上黑板计算，其他同学独立完成，并由学生分析矫正，达到复习巩固的目的）
指出：今天我们继续来学习方程的变形。（板书课题）从上一堂课我们知道方程可通过适当的变形化为：x=a这样的标准化形式。你能把方程5x-2=3x+4也变形为这样 的形式吗？
（由学生思考，个别发言，互相补充，教师板书过程，并让学生说出每一步的依据） 请同学们再把这个方程试试看：13x?1?（让一名学生上黑板解） 22
问：通过解这两个方程，你能归纳出它们的解法步骤吗？
（先移项，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1。）
请同学们讨论这三个步骤的依据以及各有什么需要注意的地方，然后各小组推荐一名同学发言。
小结：移项要变号，通常是将含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；合并同类项是将系数相加；未知数的系数化为1，要注意系数的符号。
二、思维拓展：
1、应用与实践：解下列方程
（1） 8x?2x?7 （2） 6?8?2x
6
（3） 2y?11?y?3 22
2、对以上三道题，你还有更好的解法吗？想一想应如何选择解方程的步骤？（步骤通常是：移项、合并同类项、将未知数的系数化为1。）
三、巩固训练：
1、 课本第8页练习（学生先独立解答，后口答）
2、 列方程求下列各数：（小黑板或投影出示）
2的和等于2； （2）x的3倍与9的差等于15； 3
11 （3）x的等于x的 与2的和； 23 （1）x与
（4）某数的5倍加上3，等于该数的7倍减去5。
（由4名学生板演，讲评时注意强调步骤以及纠正一些易犯的错误）
六、 本课小结：
a) 解方程的一般步骤，各步骤的注意点。
b) 解方程的方法不是惟一的，各步骤的先后顺序也不惟一。
c) 解方程的结果，一定要转化到x=a的形式。
七、 课后作业：
八、 课后反思：
7
6.2解一元一次方程----解一元一次方程（1）
教学目标：
1、 了解一元一次方程的概念。
2、 能用去括号、移项、化系数为1来解一元一次方程。
3、 通过解方程，能体会到“转化”思想在数学中的重要作用。 教学重点、难点：
能熟练地利用去括号、移项、化系数为1来解一元一次方程，并能注意每个过程中易出错的地方。
教学过程：
一、 复习训练：
1、 解方程：（1—4题口答，5—8题板演）
（1）?2x?4,x?____; （2） ?x??2,x?____;
11,x?____; （4） x?4,x?____. 22
（5）?3x?7?7 （6）9x?6x?6 （3）4x??
（7）8z?4z?1 （8）10y?5?11y?5?2y
二、知识导学：
1、 看方程4x?3(20?x)?6x?7(9?x)与刚才的方程有何区别？你有办法解吗？
2、 解：4x?3(20?x)?6x?7(9?x)
去括号：4x?60?3x?6x?63?7x
移项： 4x?3x?6x?7x??63?60
合并同类项：?6x??3
系数化为1：x?1 2
3、 请同学们归纲一下，如果给定的方程中有括号，那么解这样的方程应有哪些步骤？
4、 观察以上各个方程，它们有什么共同点呢？
（学生相互讨论，通过比较异同，培养学生从多角度看待问题，学会辩证地看事物，教师可作必要提示）
共同点：（1）只含有一个未知数；
（2）含有未知数的式子是整式；
8
（3）未知数的次数为1。
5、 归纳小结：都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知
数的次数是1，这样的方程我们称为一元一次方程。
三、思维拓展：
实践1：解方程 3(x?2)?1?x?(2x?1)
实践2：下面的方程的解法对不对？如不对，应怎样改正？
2(x?3)?5(1?x)?3(x?1)
2x?5x?3x??3?5?3
?6x??1
x?1 6
由上面的解答及错误分析，请同学们总结在去括号解方程时应有哪些注意点？务必防止以下错误：（1）括号外面是负号，去括号时忘记变号；
（2）漏乘；
（3）移项不变号。
四、反馈训练：
解下列方程：（1）5(x?2)?2(5x?1)（2）(x?1)?2(x?1)?1?3x
（3）2(x?2)?(4x?1)?3(1?x)
五、本课小结：
1、解方程的步骤通常是去括号、移项、合并同类项、化系数为1。
2、要确定方程是否解对，可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
六、课后作业：
七、课后反思：
9
6.2解一元一次方程----解一元一次方程（2）
教学目标：
1、 通过具体的例子，让学生体会运用去分母解一元一次方程的简捷性和重要
性，逐步学会运用去分母解一元一次方程。
2、 让学生通过探索，总结解一元一次方程的一般步骤，并学会灵活运用。
3、 使学生逐步养成从不同的角度来思考问题，并会运用比较的方法来探索更
好的解题方法。 教学重点、难点：
重点：运用去分母解一元一次方程。
难点：去分母时需要注意的几个问题。
教学过程：
一、回顾导入：
解下列方程：（1）y?4?12 （2）3x?1?7 4
1 2（3）2?(1?z)??2 （4）?5(x?1)?
（通过以上练习，让学生复习一元一次方程的学生清楚解一元一次方程的一般步骤，为本课学习作好准备。在解完后，指出本课继续学习解一元一次方程，板书课题）
板书：解一元一次方程（2）
二、知识导学： 问题提出：对于方程：x?x?1x?3?7? ，你准备如何解？ 35
（让学生根据题目特点，互相交流、讨论可以采用哪些方法，发挥集体的智慧，培养合作意识。在学生充分交流后，把学生不同的解法板书到黑板上。） 解法一：先去括号（略）
解法二：方程两边同乘以15，去掉分母（略）
问：（1）这些解法是否都正确？它们的每一步依据是什么？
（2）哪一种方法既方便又不易出错？
（让学生发言，教师加以引导，使学生在问题的回答过程中得到满足和自信。） 指出：像这种方程中出现分母的，我们一般通过方法二来解比较简便，这样的方法叫做去分母。
思考：（1）如何确定方程两边乘以的数？
（2）在去分母时，你认为哪些地方要注意呢？
（让学生通过谈自己的想法，各抒已见，在交流合作中，把问题补充完整。）
三、实践应用：
10
5x?17? 63
x?32x?1??1 （2）23 实践1：解方程：（1）
实践2：指出下列解方程过程中的错误，并加以改正：
3x?14x?2x?1x?24?x??1（2）?? 25362
解：15x?5?8x?4?1解：2x?2?x?2?12?3x
15x?8x?4?1?5 2x?x?3x?12?2?2 （1）
7x=8 4x=16
x?8 x?4 7
在解题过程中，让学生注意：
1、 去分母时，每一项都要乘以各分母的公分母，不能漏乘不含分母的项。
2、 分数线有“除”和“括号”的两重作用，当分子是多项式时，去分母别忘记加
括号。
3、 解方程除了按一般步骤进行外，还可以灵活运用方程变形方法，使解题过程更
合理简洁。
四、反馈训练：
解下列方程：（1）2134x?8??0.2x （2）(x?)?1 5443
11（3）1?x?x? 23
五、本课小结：
在解方程中，去分母是很容易出错的地方，这节课通过比较，让我们认识到运用去分母解方程的简便性和重要性，通过对例题的分析、讨论，要避免再犯同样的错误，提高自己的计算能力。
六、课后作业：
九、 课后反思：
11
6.2解一元一次方程----解一元一次方程（3）
教学目标：
1、 巩固去分母解解方程，提高准确率。
2、 探究、学习当分母出现小数的方程的解法：化整法。 教学重点、难点：
体会小数化整与去分母原理的不同而导致的过程不同，计算中要密切注意两者的区别。 教学过程：
一、复习训练：
1、 列方程去分母后，所得结果对不对？若不对，错在哪里？应怎样改正？
2x?110x?1??1，得：2(2x+1)-10x-1=6 36
3（2） 由方程(3x?7)?2，得：21(3x?7)?14 7
2x?15x?1??1，得：2(2x?1)?3(5x?1)?1 （3） 由方程64
2x?39x?5??0，得：4(2x?3)?(9x?5)?8 （4） 由方程28
7x?533?xx?4? （2）?2、解方程：（1） 4823（1） 由方程
二、知识导学： 问题提出：给定方程：0.4x?0.9x?50.03?0.02x?? 0.520.03
（5） 观察此方程有何特点？
（6） 小数计算比较麻烦，能否把它化为整数？怎么化？ 0.77与的关系，用的是什么性质？） 0.33
0.4x?0.94x?9由此你认为这里可以怎样处理？ 0.55
0.03?0.02x3?2xx?5x?5 （没有变0.03322（引导学生，回想
化）
（7） 思考：同一个方程，不同的分式进行了不同的变化，这正确吗？
再与去分母比较一下它们的区别，为什么会有这种区别？
正确。因为它们的依据不同。小数化整是依据分数性质，只是对分数本身的变形，不涉及到其它；而去分母是根据等式的性质，所以等式的两边的每项都要进行同样的变形，这两者并不矛盾。
12
（充分让学生自己发现，自己描述，也可用分组讨论的方式，从而了解学知识要抓原理，懂根本，以不变应万变。）
三、实践与拓展：
实践1：解方程：x0.17?0.2x??1 0.70.03
总结：解一元一次方程，一般有哪些步骤？
实践2：在梯形面积公式S?
四、反馈训练：
解方程：（1）1(a?b)h中，已知S=120,b=18,h=8,求a.. 22xx?30.3x?14x?8??0.4 （2）??1 0.30.50.020.5
五、本课小结：
通过比较、分析去分母与小数化整的原理及解题方法的区别，不仅使我们在解题中合理选用，正确解题，而且让我们体会到学习不能只看表面，而是要搞懂本质，只有抓住根本才能灵活解题目，合理应用。
六、课后作业：
七、课后反思：
13
6.2解一元一次方程----解一元一次方程（4）
教学目标：
1、对前三节课所学的知识进行归纳、反思、总结。
2、能对各类一元一次方程作出正确的判断，选取适当的方法来解题。 教学重点、难点：
重点：根据题目特点，灵活选择解题步骤，使解题过程简化。
难点：要注意解题过程及其表达的规范性，以避免不必要的错误。 教学过程 ：
一、复习巩固：
11x??的两边都______,得x=____,这个变形叫做_________。 53
22、 在解方程x?2?1时，移项得___,合并同类项得___，系数化为1得___。 3
x?22x?3??1去分母，得_______。 3、 将方程461、 在方程?
二、实践与探索：
实践1：解方程 x?6x?3x?2?x?1?? 632
反思小结：（1）去分母时，不要漏乘每一项；
（2）小数化整时，只有分母是小数的才需变化，而且是这个分数的分子和分母同时变化，不需要每一项都变。
（3）去括号时，既要注意符号，又不能漏乘。
实践2：当x=3时，代数式5(x+4a)的值比4(x-a)的值的2倍多1，求a的值。 反思小结：解这类问题通常是先根据题意列出方程，再求解。
实践3：在公式S?V0t?12at中，已知 S=80, t=4, a=5, 求V0。 2
三、反馈训练：
4、 填空：
（1） 若3x-2=4，则3x= 4+____，这是根据等式基本性质___,在两边都________。
（2） 若4x=6,则x=___，这是根据等式基本性质___,在等式两边都________。
（3） 当x=____时,代数式2x+1与x-2的值相等。
（4） 在公式S?1(a?b)h中，当S=20 , a=2 , h= 4 时，b = ____。 2
x?5x1与?的值相等？ 464
14 （5） 当k=____时，关于x的方程2x-k-3=0的根与方程3x-2=2x-1的根相同。 2、x 为何值时，代数式
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