2015年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1．已知i是虚数单位，a为实数，z为纯虚数，1+z=a+
A． 1 B． ﹣1 C． i D． ﹣i
2．已知集合A={x|y=，x∈z}，B={p﹣q|p∈A，q∈A}，则B中元素个数为（） ，则z=（）
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
3．已知命题p：函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，命题q：函数y=f（x）单调递增区间为[a，b]，则p是q的（）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．已知m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A． 若α⊥β，m∥α，则m⊥β B． 若m∥α，n∥m，则n∥α
C． 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D． 若m⊥β，m∥α，则α⊥β
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
1110071024A． 2﹣1 B． 2﹣1 C． 2﹣1 D． 2﹣1
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体体积为（） 10
A．
7．已知F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲+ B．
+ C．
+2 D．
+2 线交于A、B两点，E是双曲线的右顶点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． （1，） B． （，2） C． （2，+∞） D． （1，2）
8．P是正六边形ABCDEF某一边上一点，=x+y，则x+y的最大值为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
9．5位男生与5位女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不排在两端，这样的排列种数为（ ）
A． 5760 B． 57600 C． 2880 D． 28800
10．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣x，把函数g（x）的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数的前n项和胃（ ）
A． Sn= B． Sn= C． Sn=2﹣1 D． Sn=2nn﹣1﹣1
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。
11．已知a=（2x+1）dx，则二项式（1﹣）的展开式x中的系数为 ． 5﹣3
12．在集合{（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4}内任取1个元素，能使式子x+y﹣6≥0的概率为 ．
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，?），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）= ． 2
14．直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．直线l的参数方程是（t为参数），曲线c的极坐标方程为ρ2﹣10ρcosθ+9=0，点P是直线l上的点，过点P的直线与曲线c相切于点M，则|PM|最小值为 ．
15．四面体ABCD中，AD⊥BC，且AB+BD=AC+CD，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①由顶点D作四面体的高，其垂足为H，则AH为△ABC中BC边上的高；
②若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面；
③若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等；
④若M为AD上的动点，则均有MB=MC；
⑤AB=CD且BD=AC．
三、解答题：本大题包括6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx﹣2cosx），设函数f（x）=
?﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=4且a=2，求角A及△ABC面积的最大值．
17．已知函数f（x）=e+sinx﹣ax
（Ⅰ）求使得x=0成为f（x）极值点的a的值；
（Ⅱ）当a∈（0，2]，x∈[0，+∞）时，求f（x）最小值．
18．在数列{an}中，a1=3，an+1=
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
范围．
19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1=BC，∠ABC=90°，N、F分别是A1C1、B1C1的中点． （Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求二面角C﹣BN﹣B1的余弦值． ，数列{bn}的前n项和为Tn，若a＞Tn对任意n∈N+恒成立，求实数a的取值 x
20．已知F为抛物线y=4x的焦点，过点F引一条直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线准线交于D点． （Ⅰ）求?的值； 2
（Ⅱ）在抛物线上是否存在一点M，使直线MA，MD，MB的斜率成等差数列，若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．
21．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共n（n=13k，k∈N+）只，现在盒子上开一小孔，每次只能一只昆虫飞出（任意一只昆虫等可能地飞出），已知有2只昆虫先后飞出时，飞出的至少有1只是蜜蜂的概率是．
（Ⅰ）若盒子中共有13只昆虫：
①求蜜蜂有几只；
②从盒子先后任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望E（X）；
（Ⅱ）若只有1只昆虫飞出时，飞出的是蝴蝶的概率是
只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出的概率不大于
．证明：从盒子先后任意飞出2，并指出盒子中哪种昆虫的只数最少．
2015年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题意。
1．已知i是虚数单位，a为实数，z为纯虚数，1+z=a+
A． 1 B． ﹣1 C． i D． ﹣i
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 先化简，利用复数相等即得结论． ，则z=（ ）
解答： 解：∵===i，
∴1+z=a+=a+i，
又∵a为实数，z为纯虚数，∴z=i，
故选：C．
点评： 本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．
2．已知集合A={x|y=，x∈z}，B={p﹣q|p∈A，q∈A}，则B中元素个数为（ ）
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 计算题；集合．
分析： 化简集合A={x|y=
1，0，1，2}，从而解得．
解答： 解：由题意，A={x|y=，x∈z}={﹣1，0，1}， ，x∈z}={﹣1，0，1}，B={p﹣q|p∈A，q∈A}={﹣2，﹣
B={p﹣q|p∈A，q∈A}={﹣2，﹣1，0，1，2}，
故B中元素个数为5，
故选：C．
点评： 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
3．已知命题p：函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，命题q：函数y=f（x）单调递增区间为[a，b]，则p是q的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答： 解：若函数y=f（x）单调递增区间为[a，b]，则函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，即必要性成立，
若f（x）=x在[1，2]上递增，但函数f（x）=x的递增区间为（﹣∞，+∞），故充分性不成立，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4．已知m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A． 若α⊥β，m∥α，则m⊥β B． 若m∥α，n∥m，则n∥α
C． 若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β D． 若m⊥β，m∥α，则α⊥β
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 利用面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理对选项分析选． 解答： 解：对于A，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行；故A错误；
对于B，若m∥α，n∥m，则n可能在α内；故B错误；
对于C，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β可能相交；故C错误；
对于D，若m⊥β，m∥α，由线面垂直、线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可得α⊥β；故D正确；
故选D．
点评： 本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判定定理的运用判断线面关系和面面关系；关键是熟练掌握定理的条件，注意特殊情况．
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A． 2﹣1 B． 2﹣1 C． 2﹣1 D． 2﹣1
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答： 解：模拟执行程序框图，由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+2+4+8+…+2的值，
∵S=1+2+4+8+…+2=1010101110071024=2﹣1． 11
故选：B．
点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体体积为（ ）
A．
+ B．
+ C．
+2 D．
+2
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题；高考数学专题．
分析： 先把三视图还原成原几何体，再根据三视图中的长度关系得到原几何体的棱长，从而求得原几何体的体积．
解答： 解：由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为2，底面等腰直角三角形的腰为2，球的直径为2，半径为 ∴原几何体的体积为+=．
故选：A．
点评： 本题考查三视图，要求能根据三视图还原成原几何体，并能找到原几何体的棱长及其中的垂直平行关系．属简单题
7．已知F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，E是双曲线的右顶点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． （1，） B． （，2） C． （2，+∞） D． （1，2）
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．
解答： 解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF，
∵△ABE是钝角三角形，∴∠AEB是钝角，
∴AF＞EF，
∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
∴AF=，
∵EF=a+c， ∴＞a+c，即e﹣e﹣2＞0， 2
解得e＞2或e＜﹣1，
双曲线的离心率的范围是（2，+∞），
故选：C．
点评： 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c=a+b、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．
8．P是正六边形ABCDEF某一边上一点， A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点： 平面向量的基本定理及其意义．
专题： 平面向量及应用．
分析： 设六边形边长为2，把向量和向量，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．设
的坐标，分析x+y去最大值是P=x+y，则x+y的最大值为（ ） 222AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴距离坐标系，得到
的位置．
解答： 解：设六边形边长为2，把向量和向量，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．
设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴如图：
那么=x=+y=（﹣1，），=（﹣1，﹣（x﹣y）） ）
=（﹣x﹣y，
所以，当的横坐标最小的时候，x+y最大．
那么，当P与D重合时，满足这一条件．
此时AP=4，x+y=4
最大值为4；
故选A．
点评： 本题考查了平面向量的坐标运算；关键是适当建立坐标系，得到向量的坐标．
9．5位男生与5位女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不排在两端，这样的排列种数为（ ）
A． 5760 B． 57600 C． 2880 D． 28800
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，问题得以解决．
解答： 解：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素，和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有
?=57600． 故选：B．
点评： 本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，不相邻应插空，特殊位置优先考虑，属于基础题．
10．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣x，把函数g（x）的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数的前n项和胃（ ）
A． Sn= B． Sn= C． Sn=2﹣1 D． Sn=2nn﹣1﹣1
考点： 数列的求和．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析： 根据解析式函数f（x）得出归纳推理得出f（n）=n，n∈N，得出g（x）的零点为：0，1，2，3，4…n﹣1，运用等差数列的知识求解即可．
解答： 解：∵函数f（x）=，
∴f（0）=0，f（1）=f（0）+1=1，f（2）=f（1）+1=2，
f（3）=f（2）+1=3，
归纳推理得出f（n）=n，n∈N
∵g（x）=f（x）﹣x，
∴g（x）的零点为：0，1，2，3，4…n﹣1，
∵函数g（x）的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，
∴该数的前n项和为：=
故选：A
点评： 本题考查了函数的性质，零点的问题，融合了数列的知识，综合性较强，难度较大，属于中档题你．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。
11．已知a=（2x+1）dx，则二项式（1﹣）的展开式x中的系数为 ﹣80 ． 5﹣3
考点： 计数原理的应用；定积分．
专题： 导数的概念及应用；二项式定理．
分析： 先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出x的系数．
解答： 解：a=
5﹣3（2x+1）dx=（x+x）|52=2， ∴（1﹣）=（1﹣），
∵Tk+1=（﹣）， k
令k=3，
∴T4=（﹣）=﹣80x，
5﹣33﹣3∴二项式（1﹣）的展开式x中的系数为﹣80，
故答案为：﹣80．
点评： 本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于基础题
12．在集合{（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4}内任取1个元素，能使式子x+y﹣6≥0的概率为
．
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 由题意，本题符合几何概型，只要求出在集合{（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4}内任取1个元素对应的区域面积，以及能使式子x+y﹣6≥0的区域面积，利用几何概型公式可得． 解答： 解：在集合{（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4}内任取1个元素，对应的区域面积为4×4=16，
能使式子x+y﹣6≥0的如图中阴影部分，对应的面积为
由几何概型公式可得能使式子x+y﹣6≥0的概率为：
故答案为：．
； =2，
点评： 本题考查了几何概型公式的运用，关键是由题意，明确所求为对应区域的面积比．
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，?），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）= 0.16 ．
考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据随机变量X服从正态分布N（2，?），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果．
解答： 解：∵随机变量X服从正态分布N（2，?），
∴μ=2，
∵P（ξ≤4）=0.84，
∴P（ξ≥4）=1﹣0.84=0.16，
∴P（ξ≤0）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16，
故答案为：0.16． 222
点评： 本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布．
14．直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．直线l的参数方程是（t为参数），曲线c的极坐标方程为ρ2﹣10ρcosθ+9=0，点P是直线l上的点，过点P的直线与曲线c相切于点M，则|PM|最小值为 4 ．
考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
专题： 坐标系和参数方程．
分析： 直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t即可化为直角坐标方程；利用
程． 即可把曲线C的极坐标方程ρ﹣10ρcosθ+9=0，化为直角坐标方2
当PC⊥l时，|PM|取得最小值=．
解答： 解：直线l的参数方程是
2（t为参数），化为x+y+3=0； 2222曲线C的极坐标方程为ρ﹣10ρcosθ+9=0，化为x+y﹣10x+9=0，配方为（x﹣5）+y=16．
当PC⊥l时，|PM|取得最小值===4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．四面体ABCD中，AD⊥BC，且AB+BD=AC+CD，则下列命题正确的是 ①③④ （写出所有正确命题的编号）．
①由顶点D作四面体的高，其垂足为H，则AH为△ABC中BC边上的高；
②若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高所在直线异面；
③若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高，则这两条高长度相等；
④若M为AD上的动点，则均有MB=MC；
⑤AB=CD且BD=AC．
考点： 棱锥的结构特征．
专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析： ①过点D作DH⊥面ABC，由线面垂直的性质结合线面垂直的判定即可判断；
②过B在△ABD中作BO⊥AD，连接CO，运用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断②； ③运用空间中椭球的定义，类似平面上椭圆的定义，即可判断③；
④由直角三角形的勾股定理，结合③即可判断④；
⑤由④结合已知条件AB+BD=AC+CD，即可判断．
解答： 解：①过点D作DH⊥面ABC，则DH⊥BC，
又AD⊥BC，则BC⊥面ADH，AH⊥BC，
∴AH为△ABC中BC边上的高，故①正确；
②过B在△ABD中作BO⊥AD，垂足为O，连接CO，
由于AD⊥BC，又AD⊥BO，
故AD⊥平面BCO，则AD⊥CO，
即CO为边AD上的高，
显然BO，CO相交，故②错；
③在三棱锥A﹣BCD中，AB+BD=AC+CD＞AD，
则B，C均在以A，D为焦点的椭球上，
由于AD垂直于平面BCO，则AD垂直于BC，
且B，C位于同一纬度，如图，故BO=CO，故③正确；
④在直角△MOB和直角△MOC中，BO=CO，MO=MO，
由勾股定理得，MB=MB，故④正确；
⑤在直角△ABO和直角△ACO中，BO=CO，
由勾股定理得，AB=AC，同理DB=DC，而AB+BD=AC+CD，
∴当AB≠BD时，AB≠CD且BD≠AC，故⑤错误．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，主要考查空间直线与平面的位置关系，考查平面几何中的全等知识和勾股定理及运用，考查空间中到两定点的距离之和为定值的轨迹为椭球，属于难题．
三、解答题：本大题包括6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．已知向量=（sinx，cosx），=（6sinx+cosx，7sinx﹣2cosx），设函数f（x）=
?﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=4且a=2，求角A及△ABC面积的最大值．
考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
专题： 三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式即可求出f（x）=4sin（2x﹣），从而求得最小正周期；
，根据A为锐角，可求2A﹣
2（Ⅱ）由f（A）=4即可得到从而可求出A=，从而由余弦定理可得到的范围，2，由基本不等式b+c≥2ab即可求出，而△ABC的面积为，从而求出该面积的最大值．
2解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx﹣2cosx）﹣2=6sinx﹣
22cosx+8sinxcosx﹣2
=4（1﹣cos2x）+4sin2x﹣4=4sin2x﹣4cos2x =
∴； ； 即f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（A）=
∴
∵
∴
∴
22； ； ； ； ，A=2； 又a=2，a=b+c﹣2bccosA； ∴
b+c≥2bc； 22；
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