2015年安徽省芜湖市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．复数z=的共轭复数是（）
A． 2+i B． 2﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
2．设a=log2，b=，c=lnπ，则（）
A． c＜a＜b B． a＜c＜b C． a＜b＜c D． b＜a＜c
3．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是（
A． 6 B． 12 C． 22 D． 24
5．在等差数列{an}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（）
A． 12 B． 72 C． 132 D． 192
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论不正确的是（））
A． BD∥平面CB1D1 B． AC1⊥BD C． 平面ACC1A1⊥CB1D1 D． 异面直线AD与CB1所成的角为60°
+）的二次展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致形状为（ ） 57．已知（ A．
B．
C．
D．
8．在平面直角坐标系中，若，则（x+1）+y的取值范围是（ ） 22
A． [，5] B． [，5] C． [，25] D． [9，25]
9．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
A． 14 B． 16 C． 18 D． 20
10．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，对任意实数x，若存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“t型函数”．在下列关于“t型函数”的四个命题中，其中真命题是（ ）
A． f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数”
B． f（x）=x是一个“t型函数”
C． f（x）=|x﹣|是一个“t型函数”
D． “型函数”至少有一个零点
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为 ． 2
12．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，O为AB中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点C，D在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为 ．
13．已知离心率为的双曲线﹣y=1的两个焦点为F1，F2，点P在此双曲线上，且
2
?=0，则点P到x轴的距离等于 ．
14．如图，矩形ORTM内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中A、B、C、D都在矩形的边上，则= ．
15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0），若f（x）在区间[，1]上具有单调性，且f（0）=f（）=﹣f（1），则下列有关f（x）的命题正确的有 （把所有正确的命题序号都写上）
①f（x）的最小正周期为2；
②f（x）在[1，]上具有单调性；
③当x=时，函数f（x）取得最值；
④y=f（x+）为奇函数； ⑤（﹣
，﹣φ）是y=f（x）+ωx图象的一个对称中心．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D在线段AC上，且AC=
（Ⅰ）若A=，求sin∠DBC的值； AD，BD=1．
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
17．某中学校本课程开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．
（Ⅰ）求在D课程没有被选中的条件下，A课程被甲选中的概率；
（Ⅱ）记“这3名学生选择A课程的人数”为X，求X的分布列和数学期望．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）若直线PD与平面PBC所成角为，求二面角A﹣PB﹣C的大小．
，PA=2，=2．
19．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N，都有1，
差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
n?（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1+（﹣1）bn=an（n∈N），求数列{bn}的前60项和．
20．如图，曲线C1：+=1（y≤0）；曲线C2：x=4y，自曲线C1上一点A作C2的两条切2?，an成等
线，切点分别为B，C．
（Ⅰ）当AB⊥AC时，求点A的纵坐标；
（Ⅱ）当△ABC面积最大值时，求直线BC的概率k．
21．已知函数f（x）=．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性； （Ⅱ）令an+1=f（an）（n∈N），若a1=
?，求证2lnan≥1． n
2015年安徽省芜湖市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．复数z=的共轭复数是（ ）
A． 2+i B． 2﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题： 计算题．
分析： 利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
解答： 解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
2．设a=log2，b=，c=lnπ，则（ ）
A． c＜a＜b B． a＜c＜b C． a＜b＜c D． b＜a＜c
考点： 对数值大小的比较．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解答： 解：∵a=log2＜0，0＜b=＜1，c=lnπ＞1，
∴a＜b＜c．
故选：C．
点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
3．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑．
分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．
解答： 解：在等比数列中，若a1＜a4，即a1＜a1q，
3∵a1＞0，∴1＜q， 3
即q＞1，则＞1，即a3＜a5成立，
若等比数列1，﹣2，4，﹣8，16，
满足a3＜a5，但a1＜a4不成立，
故“a1＜a4”是“a3＜a5”的充分不必要条件，
故选：A
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．
4．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是（ ）
A． 6 B． 12 C． 22 D． 24
考点： 循环结构．
专题： 计算题；算法和程序框图．
分析： 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出i=2时确定输出x的式子，根据满足的条件求x的最大值．
解答： 解：由程序框图知：第一次循环i=1，x=0.5x﹣1；
第二次循环i=2，x=0.5×（0.5x﹣1）﹣2；
∵输出的i=2，∴跳出循环的i值为2，此时0.5×（0.5x﹣1）﹣1≤3?x≤22． ∴输出x的最大值为22．
故选：C．
点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定输出x的式子是关键．
5．在等差数列{an}中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（ ）
A． 12 B． 72 C． 132 D． 192
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由已知求得a6，再由S11=11a6求得答案．
解答： 解：由a9=a12+6，得2a9﹣a12=12，
即2a1+16d﹣a1﹣11d=12，∴a1+5d=12，a6=12．
则S11=11a6=11×12=132．
故选：C．
点评： 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论不正确的是（ ）
A． BD∥平面CB1D1
B． AC1⊥BD
C． 平面ACC1A1⊥CB1D1
D． 异面直线AD与CB1所成的角为60°
考点： 棱柱的结构特征．
专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．
分析： 利用正方体侧棱垂直于底面的性质，结合线面平行、线面垂直、面面垂直的判定逐一核对四个选项得答案．
解答： 解：对于A，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥面CB1D1，A正确；
对于B，连接AC，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误． 故选：D．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
7．已知（+）的二次展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致形状为（ ） 5
A．
B．
C．
D．
考点： 函数的图象；二项式系数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先由二项式定理展开式的通项公式，求出展开式中的第三项，从而得到y关于x的函数，再根据此函数的图象性质作出判断即可．
解答： 解：∵（+
2）的展开式的第r+1项Tr+1=C5
5r （x≥0） ∴展开式的第三项为C5yx=10xy=10，
∴xy=1，即y=（x＞0），
∴则y关于x的函数为y=（x＞0），
其图象为双曲线y=的一支，位于第一象限，
故选：D．
点评： 本题综合考察了二项式定理及函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质．
8．在平面直角坐标系中，若，则（x+1）+y的取值范围是（ ） 22
A． [，5] B． [，5] C． [，25] D． [9，25]
考点： 简单线性规划．
专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析： 由题意作出其平面区域，（x+1）+y可看成阴影内的点到点A（﹣1，0）的距离的平方，求阴影内的点到点A（﹣1，0）的距离的范围可得．
解答： 解：由题意作出其平面区域， 22
（x+1）+y可看成阴影内的点到点A（﹣1，0）的距离的平方，
由图象可得，
AB=3×故（=222，AC=22=5； ）≤（x+1）+y≤25， 22即≤（x+1）+y≤25；
故选C．
点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
9．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
A． 14 B． 16 C． 18 D． 20
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 设取出的红球x个，黑球为y个，白球z个，则取出小球的情况可以用（x，y，z）的形式表示出来，如（2，1，7）表示取出红球2个，黑球1个，白球7个；按红球的情况分4类分别将所有可能的情况列举出来，再由分类计数原理计算可得答案
解答： 解：设取出的红球x个，黑球为y个，白球z个，有x+y+z=10，则用（x，y，z）的形式表示取出小球的情况；
根据题意，可得x∈{2、3、4、5}，y∈{0、1、2、3}，z∈{2，3、4、5、6、7，8}，
则当取出2个红球，即x=2时，有（2，1，7），（2，2，6），（2，3， 5）（2，0，8）四种情况；
当取出3个红球，即x=3时，有（3，0，7），（3，1，6），（3，2，5），（3，3，4）四种情况； 当取出4个红球，即x=4时，有（4，0，6），（4，1，5），（4，2，4），（4，3，3）四种情况； 当取出5个红球，即x=5时，有（5，0，5），（5，1，4），（5，3，2），（5，2，3），四种情况；
由分步计数原理，可得共有4+4+4+4=16种情况．
故选：B．
点评： 本题考查分类计数原理的运用，注意分类列举时，按一定的顺序，做到不重不漏．
10．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，对任意实数x，若存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“t型函数”．在下列关于“t型函数”的四个命题中，其中真命题是（ ）
A． f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数”
B． f（x）=x是一个“t型函数”
C． f（x）=|x﹣|是一个“t型函数”
D． “型函数”至少有一个零点
考点： 函数恒成立问题．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 举例说明A不正确；把f（x）=x代入定义求得λ的矛盾的值说明B错误；把f（x）=|x﹣|代入定义求得λ的矛盾的值说明C错误；由函数零点存在性定理结合新定义说明D正确．
解答： 解：由题意得，A不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，
即f（x）=c≠0是一个“t函数”；
若f（x）=x是一个“关于t函数”，则（x+λ）+λx=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．B不正确；
若f（x）=|x﹣|是一个“关于t函数”，则|x+λ﹣|+λ|x﹣|=0，求得λ=0且λ=﹣，矛盾，C不正确；
D正确，若f（x）是“是关于函数”，则f（x+）+f（x）=0，取x=0，则f（）+f（0）=0，
若f（0）、f （）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f （）均不为0， 则f（0）、f （）异号，由零点存在性定理知，在（0，）区间内存在零点； 故选：D．
点评： 本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题． 22222
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为 4 ．
考点： 简单曲线的极坐标方程．
专题： 常规题型；转化思想．
分析： 先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．
解答： 解：∵ρsin（θ+）=2， 222
∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：
x+y﹣2=0，
22圆ρ=4化成直角坐标方程为x+y=16， 圆心到直线的距离为：
∴截得的弦长为：
2×=．
故答案为：．
点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，O为AB中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点C，D在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为
．
考点： 几何概型．
专题： 概率与统计．
分析： 本题符合几何概型，只要求出阴影部分的面积，利用面积比得到所求． 解答： 解：由题意，如图建立坐标系，
则矩形的面积为2×1=2，阴影部分的面积为2=2×=， 由几何概型公式得此点落在阴影部分的概率为：
故答案为：． ； 点评： 本题考查了几何概型公式的阴影以及利用定积分求曲边梯形的面积．
13．已知离心率为的双曲线﹣y=1的两个焦点为F1，F2，点P在此双曲线上，且
2
?=0，则点P到x轴的距离等于
．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设出点P坐标（x，y），由
方程，消去x，求出|y|的值．
解答： 解：设点P（x，y）， 离心率为的双曲线﹣y=1，可得a=2，F1（﹣2?=0，得到一个方程，将此方程代入双曲线的，0）、F2（，0）， ∵
?=0，
∴PF1⊥PF2 ∴
∴x+y=5， 代入双曲线方程﹣y=1， 222，
∴﹣y=1， 2
∴|y|=，
． ∴P到x轴的距离是
故答案为：．
点评： 本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．
14．如图，矩形ORTM内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中A、B、C、D都在矩形的边上，则= ﹣3 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 如图，设，然后用这两个向量来表示，这样便能求出
解答： 解：如图，设向量； ∴
故答案为：﹣3． =﹣6+3=﹣3． =，则：． ，
，且，
，并且
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