第一次月考数学理试题【福建版】
考试时间：120分钟
试卷满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差其中为样本平均数 1Sh其中S为底面面积，h为高 3其中S为底面面积，h为高 锥体体积公式 V=柱体体积公式V=Sh
球的表面积、体积公式S?4?R2，V?43?R其中R为球的半径 3
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
????????1．如图，在复平面内，若复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB， 则复数z1?z2所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2． 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长、宽不相等．．．．的矩形； ②正方形；③圆；④三角形． 其中正确
的是
A． ①②B． ②③
C． ③④ D． ①④
3．命题“对任意x?R，均有x2－2x＋5?0”的否定为
A．对任意x?R，均有x2－2x＋5?0
B．对任意x?R，均有x2－2x＋5?0
C．存在x?R，使得x2－2x＋5?0D．存在x?R，使得x2－2x＋5?0 第2题
4． 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是：y?1x?a，且x1?x2?x3?...?x8?3(y1?y2?y3?...?y8)?6，则实数a6
的值是
A．1 16B．1 8C．14D．11 16
5． 已知l,m为两条不同的直线，?为一个平面。若l//?，则“l//m”是“m//?”的
A． 充分不必要条件 C． 充要条件 B． 必要不充分条件 D． 既不充分又不必要条件
26． 已知在各项均不为零的等差数列?an?中，2a3?a7?2a11?0，数列?bn?是等比数列，
且b7?a7，则b6?b8等于
A．2 B． 4 C． 8D． 16
7． 已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的概率为
A．2
4? B． 233?C．3
? D． 1 8?
8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是
A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）
9． 已知向量 ??3?a?sin?,cos2?,b?1?2sin?,?1,??????8?,若a?b??，?225 则tan?的值为
34 A． B． 43
34 C．?D．? 43
10． 已知集合??，? M??(x,y)y?f(x)?，若对于任意(x1,y1)?M，存在(x2,y2)?M，使得
x1x2?y1y2?0成立，则称集合M是“?集合”． 给出下列4个集合：
?M??(x,y)y??①
③ 1??x? ② ④ M?(x,y)y?ex?2?? M??(x,y)y?cosx?M??(x,y)y?lnx?
其中所有“?集合”的序号是
C． ③④ D．①③④
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． A． ①②④ B． ②③
x2y2
11． 已知抛物线y?20x的焦点是双曲线2??1(a?0)的一个焦点，则此双曲线的实9a2
轴长为 ．
12． 设变量x、y满足约束条件?2x?y?2??x?y??1?x?y?1?，则z?2x?3y的最大值为．
1a2(ax?)6(3x?1)dxx的展开式中的常数项为?160，则?013． 若二项式= ．
14． 已知f(x)?4?1，g(x)?4．若偶函数h(x)满足h(x)?mf(x)?ng(x)（其中m,n
为常数），且最小值为1，则m?n? ．
15．对于30个互异的实数，可以排成m行n列的矩形数
右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互
的实数排成m行n列的矩形数阵后，把每行中最大的数选
记为a1,a2,???am，并设其中最小的数为a；把每列中最小
数选出，记为b1,b2,???bn，并设其中最大的数为b． x?xx1y1??z1x2y2??z2???x6???y6???????????z6阵，异出，的两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：
①a和b必相等； ②a和b可能相等；
③a可能大于b； ④b可能大于a．
以上四个结论中，正确结论的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分
组区间是:?20,25?,?25,30?,?30,35?,?35,40?,?40,45?．
（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在?35,40?岁的人数; （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活
动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望．
17．（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数f(x)?Asin(?x??)(??0,?
?
2
)在某一个周期内的图
（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式； （Ⅱ）将f(x)的图象沿x轴向右平移
2
个单位得到函数g(x)的图象，P、Q分别为函数g(x)3
图象的最高点和最低点（如图），求?OQP的大小．
18．（ 本小题满分13分）
如图直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?CC1?2,
AB?BC，D是BA1上一点，且
AD?平面A1BC．
（I）求证：BC?平面ABB1A1；
（Ⅱ）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60?，若存在，试
确定E点的位置，若不存在，说明理由．
A1B
1
AC
19．（本小题满分13分） x2y21已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的ab2
直线l与椭圆C交于M，N两点，且?MNF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?lnx?x．
（I）若函数g(x)?f(x)?ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（1）的条件下，若a?1，h(x)?e
23x2?3aex，x?[0,ln2]，求h(x)的极小值； （Ⅲ）设F(x)?2f(x)?3x?kx(k?R)，若函数F(x)存在两个零点m,n(0?m?n)，
且满足2x0?m?n，问：函数F(x)在(x0,F(x0))处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2小题作答，满分14分．如
果多做，则按所做的前两题记分．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
把曲线x?2y?1先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于x轴的反射变换变为曲线C，求曲线C的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：?22?x?t（t为参数），以O为原点，Ox
?y?1?kt
2轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：?sin
①写出直线l和曲线C的普通方程。
②若直线l和曲线C相切，求实数k的值。
（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|x－4|+x?3,
（Ⅰ）求f（x）的最小值m
（Ⅱ）当a?2b?3c?m （a,b,c∈R）时,求a2?b2?c2的最小值．
??4cos?
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）x1??
所以f(x)?x?) ……………………6分 23
?2（Ⅱ）将f(x)的图像沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)?x…………7分 3
2
因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点，
所以PQ(3,…………………………………………9分
所以OP?2,PQ?4,…………………………………………10分 2410，x2?，x3? ……………………3分
333??
??cos??OQ2?PQ2?OP2
OQ2OQ?QP?12分 所以???
6…………………………………………13分
法2：可以得?POx?60o,?P?60o,?QOx?30o所以?=30o
???
法3
：利用数量积公式cos??QP?????QO?QP?QO??，所以?=30o
19．解：（I）由题意知，4a?8，所以a?2． 因为e?1
2所以b2
?a2?c2
?1?e2?3， 所以b2
2?3．
aa24 所以椭圆C的方程为x2y2
4?3?1． ------4分
（II）由题意,当直线AB的斜率不存在，此时可设A(x0,x0)，B(x0,?x0)． 又A，B两点在椭圆C上， 所以x2
0?x2
0?1，x212
430?7．
所以点O到直线AB
的距离d??． --------6分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y?kx?m．
4m2?128k2m2
2所以(k?1)??m?0．-----------11分 223?4k3?4k2
整理得7m?12(k?1)，满足??0．
所以点O到直线AB的距离
22
d??为定值． --------13分 ?20．解：（Ⅰ）g(x)?f(x)?ax?lnx?x2?ax,g?(x)?1?2x?a. x
1由题意，知g?(x)?0,x?(0,??)恒成立，即a?(2x?)min．…… 2分
x
又x?0,2x?1时等号成立．
?
x?x
故(2x?)min?
，所以a? ……4分 1
x
m2(u?1)?(0,1)，⑤式变为lnu??0(u?(0,1)). nu?1
2(u?1)设y?lnu?(u?(0,1))， u?1设u?
12(u?1)?2(u?1)(u?1)2?4u(u?1)2
y??????0, u(u?1)2u(u?1)2u(u?1)2所以函数y?lnu?2(u?1)在(0,1)上单调递增， u?1
m?1)m2(u?1)因此，y?y|u?1?0，即lnu?，此式与⑤矛盾． ?0.也就是，ln?nu?1?1n2(
所以F(x)在(x0,F(x0))处的切线不能平行于x轴．……14分
?1?0??,后反射变换N=?10?,得 21．（1）解：先伸缩变换M=2????0?1???01?
1??1A=NM=?10??0?=????22???0?1???01??0?0???1?
2……………4分 2在A变换下得到曲线C为4x?2y?1。 ……………………………7分
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