高考数学之导数题型总结（精华版）
题型一:
关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f'(x)?0得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
x4mx33x2
f(x)??? 1262
（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.
x4mx33x2x3mx2
????3x解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232
?g(x)?x2?mx?3
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（1） ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，
则 ?g(x)?x2?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0
?g(0)?0??3?0
????m?2 g(3)?09?3m?3?0??
解法二：分离变量法：
∵ 当x?0时, ?g(x)?x2?mx?3??3?0恒成立,
当0?x?3时, g(x)?x2?mx?3?0恒成立
x2?33?x?的最大值（0?x?3）恒成立， 等价于m?xx
而h(x)?x?3（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2 x
?m?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”
则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立
变更主元法
再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
2?F(?2)?0???2x?x?3?0????1?x?1 ??2F(2)?0???2x?x?3?0
?b?a?2
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例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）f?(x)??x2?4ax?3a2???x?3a??x?a?
?0?a?1
令f?
(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a）
令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）
∴当x=a时，f(x)极小值=?
233a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 42 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①
?gmax(x)?a则等价于g(x)这个二次函数? g(x)?x2?4ax?3a2的对称轴x?2a
?gmin(x)??a
?0?a?1, a?1?a?a?2a（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.
∴g(x)max?g(a?2)??2a?1.
g(x)min?g(a?1)??4a?4.
?1,
x?aa?2? 于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于 ?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?g(a?1)??2a?1??a5?
又0?a?1,∴4?a?1. 5
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
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第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，
g(x)?x3?t?62x?(t?1)x?32(t?0)
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。
?f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得? ?b??2?b?1?a/2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减
又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16
∴f(x)的值域是[?4,16] （Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??t2x?(t?1)x?32x?[1,4]
2思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122
（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；
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（Ⅱ）如果函数f(x)是(??,
解：f?(x)???)上的单调函数，求a的取值范围． 12x?(a?1)x?(4a?1). 4
131x?3x，f?(x)?x2?3， （Ⅰ）∵ f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?124
令f?(x)?0，解得：x??2.
列表如下：
可知：f(x)的极大值为f(?23)?4， f(x)的极小值为f(23)??4.（Ⅱ）∵函数f(x)是(??,
∴f?(x)???)上的单调函数， 12x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 4
122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2. 4
综上，a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32
（I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想
（I）f?(x)?x2?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).
2 1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。
2、当a?0时由,f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
第
单调增区间：(??,?1),(a?1,??) 单调增区间：(?1,a?1)
（II）当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子集：
1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意
2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数f(x)?113(k?1)2x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数． 332
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
解：（1）由题意f?(x)?x?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，
∴f?(x)?x2?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）
即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1 2
x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323
h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)
令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，
2①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意?
②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：
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