摸底测试卷
2016-2017高三摸底联考数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1. 已知集合A?x|x2?3x?0,B??x|1?x?3?，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）
??
A． ?0,1? B． ?0,3?C．?1,3?D．?1,3?
【答案】
C
考点：集合的运算.
【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.
??????2. 已知向量m??a,2?,n??1,1?a?，且m?n，则实数a的值为（ ）
A．0 B．2 C．?2或1D．?2
【答案】B
【解析】
??????试题分析：因为m?n，所以m?n?a?2(1?a)?2?a?0，即a?2，故选B.
考点：向量的坐标运算.
3. 设复数z满足?1?i??z?1?2i(i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（ ） 3
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
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【答案】
A
考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.
4. 已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ）
A． 1 B．
【答案】C
【解析】
试题分析：甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)，(3,1), 111 C． D． 1642(3,2)，(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共16个基本事件，选择同一张卡片的有4个，所以他们选择同一张卡片的概率为P?
考点：古典概型. 41?,故选C. 164
x2y2
5. 若直线l:mx?ny?4和圆O:x?y?4没有交点，则过点?m,n?的直线与椭圆??1的交点9422
个数为（ ）
A． 0 B． 至多有一个C．1 D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：因为直线l:mx?ny?4和圆O:x?y?4没有交点，
22?2，?2，
x2y2
??1内部，所以过点(m,n)的直线与椭圆有两个公共所以点(m,n)在圆O内，即点(m,n)在椭圆94
点，故选D.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.点与圆、点与椭圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.
6. 在四面体S?
ABC中，AB?BC,AB?BC?SA?SC??2,SB?，则该四面体外接球的表
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面积是（ ）
A
． B
C．24? D． 6?
【答案】
D
考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.
7. 已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若
A．S2017S17??100，则d的值为（ ） 20171711 B． C． 10 D．20 2010
【答案】B
【解析】
摸底测试卷 n(n?1)dSn(n?1)试题分析：因为??a1?d，所以nn2
S2017S172017?117?11??a1?d?(a1?d)?1000d?100，所以d?，故选B. 2017172210na1?
考点：等差数列的前n项和公式与性质.
8. 若函数f?x??Asin??x????A?0?的部分图象如图所示，则关于f?x?的描述中正确的是（ ）
A．f?x?在???5?????5?,?上是减函数 B．f?x?在?,?1212??36
?5?????5?,?上是增函数 D．f?x?在?,?1212??36??上是减函数 ???上是增减函数 ?C．f?x?在??
【答案】
C
考点：三角函数的图象与性质.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A，再根据周期确定?，由最高点的值或最低点的值确定?，求出解析式后再研究函数相关性质.
9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是23，则（ ） 12
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A．a?13 B．a?12 C．a?11 D．a?10
【答案】
C
考点：程序框图.
1312ax?ax?2ax?2a?1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ） 32
411A． ??a?? B．?1?a?? 332
63 C．?2?a?0 D．??a?? 51610. 函数f?x??
【答案】D
【解析】
试题分析：f??x??ax?ax?2a?a(x?2)(x?1),由f?(x)?0得x??2或x?1，所以函数f(x)的两2
1312ax?ax?2ax?2a?1的图象经过四个象限的一个充分必要32
63条件是f(?2)f(?1)?0???a??,故选D. 516个极值点为?2和1，所以函数f?x??
考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质.
11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
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A．113104107B．35 C． D． 334
【答案】
C
考点：多面体的表面各与体积.
??log5?1?x??x?1?12. 已知函数f?x???，则关于x的方程2????x?2??2?x?1?1??f?x??2??a，当1?a?2时实根个x??
数为（ ）
A． 5 个 B．6个 C． 7个 D． 8个
【答案】B
【解析】
试题分析：令t?x?1则?2，x1??在直角坐标系内作出函数y?f(x)与f?x??2??a转化为f(t)?a，x??
函数y?a的图象，由图象可知，当1?a?2时，f(t)?a有三个根t1,t2,t3，其中?24?t1??4,1?t2?2,2?t3?3，由x?
解，故选B. 111?2?t1,x??2?t2,x??2?t3,得x共有6个不同的xxx
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考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点?2,?1?，则它的离心率为 ．
考点：双曲线的几何性质；
14. 曲线f?x??x?3x?2lnx在x?1处的切线方程为． 2
【答案】x?y?3?0
【解析】
试题分析：f?1??1?3?2ln1??2，f??x??2x?3?22，f??1??2?3?2?1，所以切线方程为x
y?2?x?1即x?y?3?0.
考点：导数的几何意义.
15. 某大型家电商场为了使每月销售A和B两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A和B
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进行了相关调査，得出下表
:
如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元．
【答案】960
考点：线性规划.
【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.
16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个
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数字应是 ．
【答案】194
考点：1.归纳推理；2.等差数列的前n项和公式.
【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2?c2?a2?bc.
（1）求角A的大小;
（2）若b2?c2?4,求?ABC的面积.
【答案】(1)60?
【解析】
试题分析：(1) 由b2?c2?a2?bc得b2?c2?a2?bc代入余弦定理即可求出角A；(2)由正弦定理先求出边a，再由余弦定理可求出bc，代入三角形面积公式即可.
试题解析： （1）由b2?c2?a2?bc得b2?c2?a2?bc， . b2?c2?a21? 故 cosA?2bc2
又∵0?A?? ∴A?60?
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（2）由a?
2得a?2sinA? sinA
由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA
即21?b2?c2?2bccos60?，即3?4?2bc?∴bc?1 2
∴S?ABC?11. bcsinA??1?sin60??22考点：正弦定理与余弦定理.
【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18. （本小题满分12分）如图，三棱住ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60. ?
（1）证明:AB?AC; 1
（2
）若AB?CB?2,AC?1,求三棱住ABC?A1B1C1的体积
.
【答案】(1)见解析；(2)3
.
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考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的表面积与体积.
19. （本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元;未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了 160盒该产品，以x(单位：盒，100?x?200)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的中位数;
（2）将y表示为x的函数;
（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率.
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【答案】(1)?80x?4800,100?x?160460;(2)y??;(3)p?
0.9. 8000,160?x?2003?
考点：1.频率分布直方图；2.对立事件的概率.
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中, 过点C?2,0?的直线与抛物线y?4x相交于A,B2
两点,A?x1,y1?,B?x2,y2?.
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（1）求证:y1y2 为定值;
（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 存在平行于y轴的定直线x?1被以AC为直径的圆截得的弦长为定值.
（解法2）设直线AB的方程为my?x?2
由??my?x?22得y?4my?8?0 ?y1y2??8 2?y?4x
因此有y1y2??8为定值 .
(Ⅱ)设存在直线l：x?a满足条件，则
AC的中点E(x1?2y1,)，AC?(x1?2)2?y12 22
11122AC?(x1?2)2?y1?x1?4 222 因此以AC为直径的圆的半径r?
又E点到直线x?a的距离d?|x1?2?a| 2
摸底测试卷 所以所截弦长为2r?d
222?212x?2(x1?4)?(1?a)2 42 ?x1?4?(x1?2?2a)2??4(1?a)x1?8a?4a2
当1?a?0即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1.
考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
21. （本小题满分12分）已知函数f?x??ax?bx?lnx?a,b?R?. 2
（1）当a??1,b?3时, 求函数f?x?在?,2?上的最大值和最小值; 2
（2）设a?0,且对于任意的x?0,f?x??f?1?,试比较lna与?2b的大小.
【答案】(1)f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为2?ln2；(2) lna??
2b ?1???
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