专题八 系列4选讲
第一讲 (选修4－4)坐标系与参数方程
必记公式]
直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标
??x＝ρcosθ，是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则??y＝ρsinθ，?222ρ＝x＋y，? ?? ytanθ＝xx≠0?.
重要结论]
1．圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ
2－θ0)＋ρ20－r＝0.
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程
①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；
π???a，③当圆心位于M2?，半径为a：ρ＝2asinθ. ?
2．直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
π???③直线过Mb，2且平行于极轴：ρsinθ＝b. ??
3．几种常见曲线的参数方程
(1)圆
①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是??x＝a＋rcosα，?其中α是参数． ?y＝b＋rsinα，?
??x＝rcosα，②当圆心在(0,0)时，方程为?其中α是参数． ?y＝rsinα，?
(2)椭圆
??x＝acosφ，x2y2
a＋b1(a>b>0)的参数方程是?其中φ是参?y＝bsinφ，?
数．
??x＝bcosφ，x2y2
b＋a1(a>b>0)的参数方程是?其中φ是参??y＝asinφ，
数．
(3)直线
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是??x＝x0＋tcosα，?其中t是参数． ??y＝y0＋tsinα，
4．直线参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
??x＝x0＋tcosα，?(t为参数)①. ??y＝y0＋tsinα
通常称①为直线l的参数方程的“标准式”．其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.
当0<α<π时，sinα>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总
→→
是向上．此时，若t>0，则M0M的方向向上；若t<0，则M0M的方向向
→
下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝|M0M
→
|；当点M在M0下方时，有t＝－|M0M|.
失分警示]
1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．
2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
考点
典例示法
??x＝4＋5cost，典例1 已知曲线C1的参数方程为?(t为参数)，?y＝5＋5sint? 极坐标方程及其应用
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
??x＝4＋5cost，解] (1)将?消去参数t， ??y＝5＋5sint
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
??x＝ρcosθ，将? ??y＝ρsinθ
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
22??x＋y－8x－10y＋16＝0，由?22 ?x＋y－2y＝0，?
???x＝1，?x＝0，解得?或? ???y＝1?y＝2.
π??π??所以C1与C2交点的极坐标分别为?2，4，?2，2?
. ????
解决极坐标系问题的策略
(1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程，则可以统一转化到直角坐标系中，利用直角坐标系的定理、公式解题．
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