高二数学上学期期末测试卷(北师大版） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是 （）
A．所有被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
x2y2
??1表示双曲线”的2．若k?R,则“k?3”是“方程k?3k?3
（）
A．充公不必要条件
条件
C．充分必要条件
不必要条件
3．若a、b、c?R,a
（） B．必要不充分D．既不充分也?b，则下列不等式成立的是
11 A．a?b
ab?2 C．2 c?1c?1
B．a?b22 D．a|c|?b|c| 1
4．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是 A．1
5
（ ） B．1
2
C．
33
D．
4
5．已知数列{an}是逐项递减的等比数列，其首项a1 < 0，则其公比q的取值范围是（ ） A．（－?，－1） C．（0，1）
B．（－1，0）
D．（1，+?）
sin??cos??
6．若sin??cos??2,则tan(??4)等于
（ ） A．2
B．－2
C．1
2
D．?1
2
7．已知数列{an}，如果a1,a2?a1,a3?a2,?,an?an?1,?是首项为1，公比
为2的等比数列，那么an=（ ） A．2
n+1
n
n－1
n
－1 B．2－1 C．2D．2
+1
8．已知实数x，y最小值是 A．16
3
?y?0?
满足条件?y?x，则
?2x?y?4?0?
z = x + 3y的
（ ） B．?16
3
C．12 D．－12
9．下列函数中，最小值为4的是 （ ） A．y?x? C．y?ex?4e?x
4x
B．y?sinx?D．y?
2
4sinx
(0?x??)
x2?1?
2x?1
2
10．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为
(?5,0)和(5,0)，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，且△PF1F2
（ ） 的面积为1，则双曲线的方程为
x2y2x2y2x2y222A．??1 B．??1 C．?y?1 D．x??1 443223
第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．对于任意实数x，不等式ax2?2x?4?0恒成立，则实数a的取值范围是 .
14．点P是抛物线y= 4x上一动点，则点P到点（0，－1）
的距离与到抛物线准线的距离之
和的最小值是 .
15．已知数列{an}的通项公式是an?2sin(
项和为Sn，则S12 .
16．已知命题P：不等式x?0的解集为{x|0?x?1}； x?12 n???).设其前n24
命题q：在△ABC中，“A > B”是“sinA > sinB”成
立的必要不充分条件.
有下列四个结论：
①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p
假q真
其中正确结论的序号是.（请把正确结 3
论的序号都填上） ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为y轴，其上一点A (m，－4)到焦点F的距离为
6.求抛物线的方程及点A的坐标.
18．（本小题满分12分）解关于x的不等式a?2?1,其中a?R.
19．（本小题满分12分）在如图所示的空间直角坐标系O
x?2
－xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为 (31,,0)，22D点在平面yoz上，BC = 2，∠BDC = 90°，∠DCB = 30°.
（Ⅰ）求D点坐标；
4
（Ⅱ）求cos??的值.
20．（本小题满分12分）为保护我国的稀土资源，国家限
定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2006年开始出口，当年出口a吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%.
（Ⅰ）以2006年为第一年，设第n年出口量为an吨，试
求an的表达式；
（Ⅱ）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿
区的出口，问2006年最多出口多少吨？（保留一位小数）
10 参考数据：0.9 ≈ 0.35.
21．（本小题满分12分）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：
x2y2
??1(a?b?0)的左、右两个焦点，A、Ba2b2
2为两个顶点，已知椭圆C上的点(1,3)到F1、F2两点的距离之和为4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q 5
两点，求△F1PQ的面积.
22．（本小题满分14分）已知数列
a1,a2,?,a30.其中a1,a2,?,a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10,a11,?,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,?,a30是公差为d2的等差数列（d≠0）. （Ⅰ）若a20 = 30，求d；
（Ⅱ）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围： （Ⅲ）续写已知数列，可以使得a30,a31,?,a40是公差为d的
等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，提出同（Ⅱ）类似的问题，（（Ⅱ）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 3
6
[参考答案]
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
CACBD DBBCC
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．a??1 14．42 15．0 16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17．解：由题意设抛物线方程为
x2??2py(p?0),………………………………1分 则其准线方程为
y?p,……………………………………………………………2
……2分
?p?4?6,……………………………………………………2
……………………… 4分
?p?2,?p?4,………………………………………………2
…………………… 6分
故抛物线方程为 x = －
8y…………………………………………………………… 8分
又∵点A（m，－4）在抛物线上，
∴m = 32，
227
?m??42,
即点A的坐标为
(42,?4)或(?42,?4).……………………………………………12分
18．解：不等式a?2?1 可化为 x?2
a?2?1?0,……………………………………………………x?2
………………………2分 即
x?a?0, …………………………………………………………x?2
…………………4分
上面的不等式等价于
(x－a) (x + 2) <
0，…………………………………………………………………6分
∴当a > －2时，原不等式的解集是?x|?2?x?a?； 当a < －2时，原不等式的解集是?x|a?x??2?； 当a = －2时，原不等式的解集是
?.…………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H.
在△BDC中，由∠BDC = 90°，∠DCB = 30°，BC = 2， 得
BD?1BC?1，………………………………………………2
………………2分
8
DH?BDsin?DBH?1?
BH?3?, 22111BD?,OH?, 222
13?D点坐标为(0,?,).………………………………………22
………………5分 （Ⅱ）由A(
?(?311,,0),D(0,?,)得 2222,?1,),……………………………………………22
…………………6分
由题设知：B（0，－1，0），C（0，1，0）， ??(0,2,0),…………………………………………………………………… 7分
??(?3,?1,)?(0,2,0)??2,……………………………22
………8分
?(?32，…………………………)?(?1)2?()2?222
……………9分
?2，……………………………………………………………………………10分
?cos?,???2 ?22
9 ?
??.………………………………………………125分
20．解：（Ⅰ）由题意知每年的出口量构成等比数列，且
首项a1 = a，公比q = 1－10% =
0.9，…………………………………………2分
?an?a?0.9n?1.…………………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）10年出口总量
a(1?0.910)S10??10a(1?0.910)，…………………… 71?0.9分
?S
10?80，
?10a(1?0.910)?80，…………………………………………………………… 9分
即
a?8，………………………………………………1?0.910
…………………10分
∴a≤12.3.
答：2006年最多出口12.3
吨.…………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）由题设知：2a = 4，即a =
2；…………………………………… 1分
10
将点(1,3)代入椭圆方程得 2
21(3
) 2?2?1， 2b
解得b =
3；…………………………………………………………………………2分 222∴c = a－b = 4－3 =
1，………………………………………………… 3分 故椭圆方程为
x2y2…………………………………………………… ??1，432
4分
焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0），……………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A(?2,0),B(0,
?kPQ?kAB?，…………………………………………………23)， ……………6分
∴PQ所在直线方程为y?
?y?(x?1)?2 由?得 ?22?x?y?1?3?43(x?1)， 2
8y2?4y?9?0，……………………………………………………………8分
设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则
y1?y2??39,y1?y2??， 28
11
?y1?y2?(y1?y2)2?4y1y2?3921，……………………?4??482
10分
?S?F1PQ?112121F1F2?y1?y2??2??.………………………2222
……12分
22．解：（Ⅰ）依题意：a10 = 1 + 9·1 =
10，…………………………………… 1分
a20 = a10 + 10d
= 10 + 10d
则 10 + 10d = 30，
∴d =
2.…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵a30 = a20 + 10d ，
a20 = 10 + 10d,
?a30?10?10d?10d2?10(d2?d?1)(d?0)，…………………62分
13?10[(d?)2?]，………………………………………………724分
当d?(??,0)?(0,??)时，
?15?a30??,???.………………………………………………………?2?
………9分
12
（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1,a2,?,a10是首项为1公差为1的等差数列.
当n≥1时，数列a10n,a10n?1,?,a10(n?1)是公差为d 的等差数列.…………11分
研究的问题可以是：
试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围.……………………12分研究的结论可以是：
由a40 = a30 + 10d = 10 (1+d + d + d)，依次类推可得 a10(n+1) = 10 (1+d + d +…+d ) ?1?dn?1
10?(d?1)，= ?1?d??10(n?1)(d?1)?2323nn
当d > 0时，a10(n+1)的取值范围为(10,??)等.……………………………13分
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