2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z=
A．3（i为虚数单位）的虚部为（） B．﹣3 C．﹣3i D．2
2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（?UB）∩A=（）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3）
（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的3．已知平面向量，满足
正切值为（）
A． B． C．﹣ D．﹣
4．在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（） A． B． C． D．
5．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）
A．25 B．20 C．12 D．5
6．在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC
和
BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．3 B． C． D．3
8．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（
（x）的单调递减区间是（ ）
A．[kπ+
C．[kπ+，kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣）|对x∈R恒成立，则函数y=g，kπ+，kπ+]（k∈Z） ]（k∈Z）
9．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）
A．5寸另
10．化简
A．1 B．2 寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸 =（ ） C． D．﹣1
的两个焦点，M，N是11．设F1，F2分别为双曲线C：
双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
12．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（ ）
A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立
C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象，则f（3x0）=
14．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β．给出下列命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α． 其中正确的命题是 ． （填写所有正确命题的序号）．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为 ．
16．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn+2=3log2，求数列{anbn}的前n项和．
18．如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由．
19．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：
科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元
（1）由散点图可知，科研费用支出与利润线性相关，试根据以上数据求出y关于x的回归直线方程；
（2）当x=xi时，由回归直线方程=x+得到的函数值记为
﹣yi|称为误差；
在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式： ，我们将ε=|
==， =﹣．
20．已知椭圆Cn：
（2， +=n（a＞b＞0，n∈N*），F1、F2是椭圆C4的焦点，A?=0； ）是椭圆C4上一点，且
（1）求Cn的离心率并求出C1的方程；
（2）P为椭圆C2上任意一点，过P且与椭圆C2相切的直线l与椭圆C4交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q；求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．
21．设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2． （1）求a，b的值；
（2）当x＞0时，求证：f（x）≥（e﹣2）x+2．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．已知直线l的参数方程为 （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设点P（0，
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．
（1）解不等式：f（x）≤5；
（2）若函数g（x）=
的定义域为R，求实数m的取值范围． ），求|PA|+|PB|．
2016-2017学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z=
A．3 （i为虚数单位）的虚部为（ ） B．﹣3 C．﹣3i D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解：z=
复数z=
故选：B．
2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（?UB）∩A=（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3） C．[0，3） D．（0，3） =， （i为虚数单位）的虚部为：﹣3．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，
B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∴CUB=（﹣1，3），
∴（CUB）∩A=（0，3），
故选：D
3．已知平面向量，满足
正切值为（ ）
A． B． C．﹣ （）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的D．﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．
【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，
又
∴（）=5，||=2，||=1， +?=22+2×1×cosθ=5，
解得cosθ=，
∴θ=，
，
． ∴tanθ=即向量与夹角的正切值为
故选：B．
4．在如下程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（ ） A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】根据查询框图转化为几何概型进行计算即可．
【解答】解：程序框图对应的不等式组为
则“恭喜中奖！满足条件为y≥x+，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则正方形的面积S=1×1=1，
D（0，），E（，1），
则△ADE的面积S=××=，
则能输出“恭喜中奖！”的概率为，
故选：A ，
5．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（ ）
A．25 B．20 C．12 D．5
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵初级教师80人，
∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为解得n=20，即初级教师人数应为20人，
故选：B．
6．在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC
和，
BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10， 则圆心坐标为（2，2），半径为
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=
， ，ME==， ， 所以BD=2BE=2
又AC⊥BD，
所以四边形ABCD的面积S=AC?BD=×2
故选B
×2=10．
7．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．3 B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；
PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，
∴PB=
AC=
BC=
PC====
． ===， ， ， =， ∴PB最长，长度为
故选：C．
8．将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（
（x）的单调递减区间是（ ）
A．[kπ+
C．[kπ+，kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣）|对x∈R恒成立，则函数y=g，kπ+，kπ+]（k∈Z） ]（k∈Z）
【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果．
【解答】解：f（x）=
＜）个单位，得到
）．
sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φg（x）=2sin（2x+2φ﹣
∵g（x）≤|g（
∴g（
∴φ=kπ+
∵0＜φ＜
∴φ=， ）|对x∈R恒成立， +2φ﹣）=±1， ）=±1，即2sin（2×，（k∈Z） ，
∴g（x）=2sin（2x+
令2x+∈[2kπ+
，kπ+）． ，2kπ+π]，（k∈Z） ]（k∈Z） 则x∈[kπ+
故选：C．
9．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）
A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可．
【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，
由题意知
解得d=
尺=
故选：A．
尺． 寸=5寸另寸． ，
10．化简
A．1 B．2 =（ ） C． D．﹣1
【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．
【解答】解：
故选：B．
11．设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是 ===2． 双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为
A．3 B．2 C． D．，则该双曲线的离心率为（ ）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b）， ∵△AMN的面积为
∴， ，
∴4a2（c2﹣a2）=c4，
∴e4﹣4e2+4=0，
∴e=．
故选D．
12．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（ ）
A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）＜0恒成立
C．f（x）的最大值为0 D．f（x）与0的大小关系不确定
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】令g（x）=x2f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．
【解答】解：令g（x）=x2f（x），
则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立
则x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，
故g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
故g（x）max=g（0）=0，
故选：C．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．如图是函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜
）的部分图象，则f（3x0）= ﹣
【考点】
由
y=Asin
（ωx
+
φ
）的部分图象确定其解析式．
【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，再利用余弦函数的图象特征求得x0的值，可得要求式子的值．
fx）=cos【解答】解：根据函数（（πx+φ）（0＜φ＜
∴φ=，
）．
，可得x0=，∴f（3x0）=cos（5π+）=﹣cos=﹣ ，）的部分图象，可得cosφ=，∴f（x）=cos（πx+再根据πx0+=
故答案为：﹣
．
14．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β．给出下列命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α．
其中正确的命题是 ①④ ． （填写所有正确命题的序号）．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在②中，l与m相交、平行或异面；在③中，l与β相交或平行；在④中，由已知得α∥β，从而m∥α．
【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m?β，知：
在①中，α∥β?l⊥m，由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；
在②中，α⊥β?l与m相交、平行或异面，故②错误；
在③中，m∥α?l与β相交或平行，故③错误；
在④中，l⊥β?α∥β?m∥α，故④正确．
故答案为：①④．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC﹣3ccosB=a，则tan（B﹣C）的最大值为
．
【考点】
余弦定理；两角和与差的正切函数．
【分析】使用正弦定理将边化角，化简得出tanB和tanC的关系，代入两角差的正切公式使用基本不等式得出最大值．
【解答】解：∵2bcosC﹣3ccosB=a，
∴2sinBcosC﹣3sinCcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=4cosBsinC，
∴tanB=4tanC．
∴tan（B﹣C）===≤．
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