2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足
A．1 B． C． D．2 =i，则|z|=（）
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A． B． C． D．
3．（5分）设命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（）
A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
=1上的一点，F1，F2是C的两5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
个焦点，若
A．
D．＜0，则y0的取值范围是（）B．C
．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为
1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
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A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
，则（ ）
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，A．C． D．B．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ
﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ
﹣，2kπ+），k∈z
C．（k
﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．[
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+
14．（5分）
一个圆经过椭圆）为偶函数．则a= =1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则
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） B．[） C．[） D．[）
表中wi=1， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=
于M，N两点． 与直线l：y=kx+a（a＞0）交
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
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21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx
（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
选修4一1:几何证明选讲
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若
OA=CE，求∠ACB的大小．
选修4一4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=
△C2MN的面积．
选修4一5：不等式选讲
24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． （ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求
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2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．A；2．D；3．C；4．A；5．A；6．B；7．A；8．D；9．C；10．C；11．B；
12．D；
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．14
2+y2
三、解答题：
17．；18．；19．20．21．；
选修4一1:几何证明选讲 22．；
选修4一4：坐标系与参数方程 23．；
选修4一5：不等式选讲
24．；
；15．16
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