2016年数学三摸试题（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式：
样本数据x1,x2,?xn的标准差 锥体体积公式
s?1 V?Sh 3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式球的表面积，体积公式
4V?ShS?4?R2 V??R3 3
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
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第I卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、选择题
1. 已知复数z满足iz=i+z，则z= C A.-11111111+I B. --I C. -i D. +i 22222222
2.
集合A?{x?N||x?1|?1},B?{x|y?，则A?B的子集个数为（ ）B
（A）2个 （B）4个（C）8个 （D）16个
3. 下列结论正确的是 C
A.命题P: ?x>0，都有 x>0，则p：?x0?0，使得x0?0；
B.若命题p和p?q都是真命题，则命题q也是真命题；
C.在△ABC中，a，b，c是角A, B, C的对边，则a?b的充要条件是cosA>cosB；
D.命题“若x+x-2=0，则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1，则x+x-2≠0”
4. 已知数列?bn?是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16?（ ）D
A．16 B．8 C．2 D．4 2222
5. 已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（ ）B
A
．﹣ B
．﹣ C
．± D
．±
6. 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为 A A． B．
C． D．
7. 已知函数f（x）=sinωx（x
∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数
的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）C
A．向左平移C．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 个单位长度
·2·
8. 甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x:y为（ ）D
（A）3:2 （B）2:3
（C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5
x2x2
2?y?1=1(m>1)与双曲线?y2?1(n?0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交9.若椭圆mn
点，则△F1PF2的面积是 B A. 3 B. 1 C. 11 D. 2310.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥
的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为 A
A
．．6 C．8 D
．?????????????11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长， 若4aBC+2bCA+3cAB=0，
则cosB= D A. 29291111 B. - C. D. - 36362424
12. 设函数f(x)在R上存在导数f'(x), ?x∈R,有f(-x)+f(x)=x2, 且在(0,+∞)上f'(x)<x，若f(4-m)-f(m)≥8-4m, 则实数m的取值范围为 B
A.[-2，2]B.[2，+∞) C.[0，+∞) D.{- ∞,-2}∪[2，+∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
??2ex,x?013. 已知函数f(x)＝?（其中e为自然对数的底数），则函数
?lnx,x?0
y=
f(f(
x)) 的零点等于 e
（1+xcos?）的展开式中第三项的系数与（x?5sin?）的展开式中第二项的系数相14. 已知二项式
等，其中?为锐角，则cos?53·3·
16. 若函数f?x??(a?2b)x2??a?2c(a,b,c?R)的值域为?0,???，则a?b?c的最小值为3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知等比数列{an}的公比q＞1，前n项和为Sn，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{bn}满足关系式bn（3n﹣5）=bn﹣1（3n﹣2）其中n≥2，n∈N+，且b1=1．
（Ⅰ）求数列{an}及{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（Ⅰ）?S3=7，∴a1+a2 +a3=7．
因为a1+3，3a2，a3+4成等差数列，所以，a1+3，+a3+4=6a
2 ，求得a2 =a1?q=2 ①．
又由a1+a2 +a3=7得a1 +a1?q2=5 ②，
由①②可得 2q2﹣5q+2=0，解得q=2，或
q=（舍去），∴a
1=1，a
n =2n﹣1．
另由于{bn}满足关系式bn（3n﹣5）=bn﹣1（3n﹣2），即=．
所以由累乘法得
故bn=3n﹣2． =3n﹣2，而b1=1，所以 bn=3n﹣2 （n≥2），当n=1时也满足，
（Ⅱ）?cn??3n?2?2n?1
Sn?1?20?4?21?7?22??????3n?2?2n?1?????1?
2Sn?1?2?4?2?7?2??????3n?5?2123n?1??3n?2?2?????2?n
·4·
(1)-(2)得：?Sn?1?20?3?21?3?22?????3nn?1??3n?2?2n
Sn??3n?5?2?5,n?N.n?
18.(本小题满分12分)
为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A，B，C，a是该校报考体育专业的4名学生，A，B,C的
体重小于55千克，a的体重不小于70千克．且A,B各有5分体育加
分，C,a各有10分体育加分.现从该校报考体育专业的学生中按分层
抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70 千克的学生共6名，然后
再从这6人中抽取体重小于55 千克的学生2人，体重不小于70 千克的学生1人组成3人训练组，训练组中3人的体育总加分记为?，求?的分布列和数学期望.
解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知， p2=2p1
p3=3p1
p1+p2+p3+(0.0357+0.0125)×5=1
解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．
又因为p2=0.25=12， 故n=48．??????4分 n
（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，
体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，记他们分别为a，b，c，??5分
??0,5,10,15,20，25 .
由分层抽样的等概率性可知，?取值的概率等于从分层抽样前体重小于55千克的6人中抽取2人，体重不小于70千克的3人中抽取1人组成3人训练组?取值的概率，??6分
1111C32C2C2C3C224P(??0)=2?1?, P(??5)= ，
??21C6C315C6C315
·5·
21111111111C2?C1C3C2C32C1C2C3C1C2C1C2112P(??10)= ，P(15)= ， ??????????21212121C6C3C6C345C6C3C6C39
11211111C1C3C1C2C1C2C1C142P(??20)= 2?1?，P(15)= ????9分 ??????2121C6C3C6C345C6C345
?的分布列：
?的数学期望E(?
)=0?2+5?
4+10?11
+15?2+20?4+25
?2=10??????
12分 1515459
4545
19.（本小题满分12分）
如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点．将?ADM沿AM折起，
使得平面ADM?平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD?BM；
（II）若E是线段DB上的中点，求AE与平面BDM所成角的正弦值.
（Ⅱ）建立如图坐标系，A ,B,D,E.???????
·6·
??????????????EAE??,MD?,MB?. ??????
设平面BMD的法向量为n
??x,y,z?
?????????
n?MB?0,n?MD?0,x?y?0,z?1,
???? n?,cosn?AE??
?
所以AE与平面BDM
20.（本小题满分12分） 已知动圆Q过定点F（0，-1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；
（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1
为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的取值范围．
2解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x=-4y??2分
y2x2
依题意可设椭圆N的标准方程为2?2?1(a?b?0) ab
显然有c＝1，a＝2∴b＝y2x2
??1； ???5分 ∴椭圆N的标准方程为43
（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，
不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1①
y2x2
??1 有（3k2+4）x2-6kx-9=0， 联立椭圆N的标准方程43
设B（x1，y1），C（x2，y2）
·7·
则有|x1?x2|
＝ 1∴S1＝|AF|·|x1-x2|
＝， ???8分 223k?4
再将①式联立抛物线方程x=-4y 有x+4kx-4=0，
设D（x3，y3），E（x4，y4）
得| x3- x4|＝
4，
∴S2＝221|OF|·|x3-x4
|=2， ???10分 2
1136(1?k2)∴Z＝S1S2＝＝12(1?)≥12(1?)＝9， 2243k?43k?4
∴当k=0时，Zmin=9, 又Z<12 ．
∴Z?[9,12) ???12分
21．（本小题满分12分） x2
已知函数f(x)?e?ax?1?，x?R． 2x
（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的单调区间； 2
（Ⅱ）若对任意x?0都有f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）设函数F(x)?f(x)?f(?x)?2?x，求证：F(1)?F(2)?????F(n)?(e
解：(Ⅰ)f?(x)?e?x?x2n?1 ?2)(n?N*)．n21,令g(x)?f?(x),则g?(x)?ex?1, 2
则当x?(??,0)时,g?(x)?0,f?(x)单调递减,当x?(0,??)时,g?(x)?0,f?(x)单调递增. 所以有f?(x)?f?(0)?1?0,所以f(x)在?－?，???上递增???????4分 2
·8·
(Ⅱ)当x?0时,f?(x)?ex?x?a,令g(x)?f?(x),则g?(x)?ex?1?0,则f?(x)单调递增,f?(x)?f?(0)?1?a
???上递增,f(x)?f(0)?0成立; 当a?1即f?(x)?f?(0)?1?a?0时,f(x)在?0，
当a?1时,存在x0?(0,??),使f?(x0)?0,则f(x)在?0，x0?上递减,则当x?(0,a)时,f(x)?f(0)?0,不合题意.综上a?1??????????.8分
(Ⅲ）?F(x)?ex?e?x，
?F(x1)F(x2)?ex?x?e?(x?x)?ex?x?e?x?x?ex?x?e?(x?x)?2?ex?x?2?F(1)F(n)?en?1?212121212121212
，
F(2)F(n?1)?en?1?2
??
F(n)F(1)?en?1?2．
2n?1n由此得，[F(1)F(2)?F(n)]?[F(1)F(n)]?[F(2)F(n?1)]???[F(n)F(1)]?(e?2) n
2故F(1)?F(2)???F(n)?(e
n?1?．??????.12分 ?2)（n?N）
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分） 选修4-1：平面几何选讲
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B、C两点，且AB?
F，连接EF交BC与点D，已知圆E的半径为2，?EBC?30.
（1）求AF的长；
（2）求证：AD?3ED.
o解(1) 延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90?，
o又BM=2BE=4，∠EBC=30?，所以3， ?1AC，作直线AF与圆E相切于点3
·9·
11又AB=AC，可知AB=3. 32所以根据切割线定理AF=AB·AC=3×33=9，
即AF=3. ????????5分
(2) 过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽ADF，
EDEH1从而有=，因此AD=3ED. ??????????10分 ADAF3
23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方2
??x??2??2程为?sin??2acos?(a?0)，过点P(?2,?4)的直线l
的参数方程为??y??4???
直线l与曲线C相交于A,B两点。
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若PA?PB?AB，求a的值.
2(t为参数）2
·10·
24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥﹣2；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，
当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈?；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；
当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；
综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} ???????????5分 （Ⅱ），
函数f（x）的图象如图所示：
令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；
∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；???????????8分
当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+， ∴a≥2+，即a≥4时成立，
综上a≤﹣2或a≥4．???????????10分
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