2016-2017学年湖北省荆门市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
2．已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）
A． B．5 C． D．
3．函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（）
D．（﹣∞，﹣A．[，+∞） B．[﹣1，0）∪（0，+∞） C．[﹣1，+∞）
1]∪（0，+∞）
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A． B． C． D．
5．如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（）
A．6π B．8π C．10π D．11π
6．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（ ）
A． B． C．
D．
7．若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（ ）
A．[kπ﹣
C．[kπ﹣，kπ+，kπ﹣]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z） ]（k∈Z） ]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+
8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈
么，近似公式V≈
A． B． C．L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那 L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ） D．
9．已知椭圆C：
2 +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（
A．4 B．5 x+），则函数y=f（x）﹣log4|x|的零点个数是（ ） D．7 C．6
12．如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{an}满足a1=
（ ）
A．2017+
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）
13．向量=（2，3），=（﹣1，2），则﹣2的模等于．
14．6展开式的常数项为15，则实数a= ．
15．若x，y满足约束条件
a的值为．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c?cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=
c，则ab的最小值为 ． ，目标函数z=x+2y的最小值为1，则实数 B．2016﹣ C．6﹣ D．6+ ，an+1=[an]+，则a2017﹣a2016等于
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，2Sn=（n+1）an﹣2．
（Ⅰ）求a2，a3和通项an；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=an?2n﹣1，求{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）我市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成
绩合格或合格以上的概率是．
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，△ADE，△BCF
都是等边三角形，EF∥AB，且EF＞AB，M，O分别为EF，BD的中点，连接MO．
（Ⅰ）求证：MO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若EF=2AB，求二面角E﹣BD﹣F的余弦值．
20．（12分）椭圆C：
B2（0，1），离心率e= +=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|?|ON|的值；
（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．
21．（12分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠1）．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
数），
（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的方程为
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．
=，求直线l被曲线C截得的弦长． （θ为参
（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．
2016-2017学年湖北省荆门市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={x|0＜x＜3}，
B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}={x|x＜﹣2或x＞1}，
所以A∩B={x|1＜x＜3}=（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（ ）
A． B．5 C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，
∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，
则|x+yi|=|﹣3+4i|=
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
=5．
3．函数y=（x≠1且x≠3）的值域为（ ）
D．（﹣∞，﹣A．[，+∞） B．[﹣1，0）∪（0，+∞） C．[﹣1，+∞）
1]∪（0，+∞）
【考点】二次函数的性质；函数的值域．
【分析】结合二次函数的图象和性质，分析出分母的取值范围，进而可得函数y=（x≠1且x≠3）的值域．
【解答】解：∵x2﹣4x+3≥﹣1，
当x≠1且x≠3时，x2﹣4x+3≠0，
故x2﹣4x+3∈[﹣1，0）∪（0，+∞），
故函数y=
故选：D
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，难度中档．（x≠1且x≠3）的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞），
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+
的值，用裂项
法进行求和，可得结果．
【解答】解：该程序框图的作用是求
而
=+， ++…++++…+ 的值， ﹣）=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（
故选：C．
【点评】本题主要考查程序框图，用裂项法进行求和，属于基础题．
5．如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形，其中三角形的上顶点是半圆的中点，底边在直径上，则它的表面积是（ ）
A．6π B．8π C．10π D．11π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，进而可得几何体的表面积．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体，
由正视图和侧视图都是半径为
故半球的半径为， 的半圆和相同的正三角形，
圆锥的底面半径为1，母线长为2，
故组合体的表面积S=
故选：C
【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，球的体积和表面积，难度中档．
+（﹣π?12）+π?1?2=10π，
6．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，结合函数值的变化趋势可排除B，得到答案．
【解答】解：∵f（x）=eln|x|+
∴f（﹣x）=eln|x|﹣
f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，
故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称， 可排除A，D，
当x→0+时，y→+∞，故排除B
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，属于基础题．
7．若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（ ）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+
单位，得到g（x）=sin[2（x+）+）图象上的每一个点都向左平移]=﹣sin2x的图象，
≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤个故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+
kπ+，
故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+
故选：B． ，kπ+]，k∈Z，
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈
么，近似公式V≈
A． B． C．L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那 L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（ ） D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】用L表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于L和h的式子V=令=L2h，解出π的近似值． ，
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2πr，
∴r=
∴V=， =．
令=L2h，得π=．
故选A．
【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
9．已知椭圆C：
2 +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆心为（a，0），半径为c，即d=
圆C的离心率e==． =b，即b=c，a=c，椭
【解答】解：由题意可知：椭圆C： + =1a2=b2+c2，（a＞b＞0），焦点在x轴上，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，
双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x， 圆M：（x﹣a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，
双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，
即d==b，即b=c，a=
， c， 椭圆C的离心率e==
故选A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．
10．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，由此能求出C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率．
【解答】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，
同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，
基本事件总数n==34，
C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻， ∴C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率：
p=1﹣=．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
11．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=cos（
A．4 B．5 x+），则函数y=f（x）﹣log4|x|的零点个数是（ ） D．7 C．6
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（﹣1，1）上，y=﹣sinx，﹣1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的图象；y=log4|x|是个偶函数，图象过（1，0），和（4，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数，从而得到函数零点个数．
【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个奇函数，在一个周期（﹣1，1）上，y=﹣sin
上的图象．
函数y=log4|x|是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log4|x|=log4x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数是6个．
故选C．
【点评】本题本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．
12．如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就称[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分．已知数列{an}满足a1=
（ ）
A．2017+ B．2016﹣ C．6﹣ D．6+ x，﹣1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期，an+1=[an]+，则a2017﹣a2016等于
【考点】数列递推式．
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