2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（?RB）等于（）
D．（2，4）
（其中i为虚数单位），则z的A．（﹣2，4） B．[4，5） C．（﹣3，﹣2） 2．已知是z的共轭复数，若
值为（）
A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i
3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（）
A． B． C． D． 4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D． 5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
b的值分别为16，24，术”，执行该程序框图，若输入a，则输出的a的值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β
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7．已知
A． B． C．，则 D． 的值是（ ）
8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
10．已知函数 B． C．18π D．22π+4 ，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B． C．（﹣3，1）∪ D． 11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，
PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（ ）
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A．
C．
B． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为．
，则实数m的值14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若
为 ．
15．O是底面ABCD的中心，如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 ．
16．已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与
的最小值相等，则实数a等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知数列{an}满足an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1
（1）求证：数列
（2）令
18．如图，在△ABC中，
（1）当BD=AD时，求的值；
，求△ADC的面积．
是等差数列，并求出{an}的通项公式； ，求数列{bn}的前2n项的和T2n． ，点D在线段BC上． （2）若AD是∠A的平分线，
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19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4
（1）求证：直线PA∥平面QMB；
（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．
20．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，?2），其中μ近似为样本平均数，?2近似为样本方差s2．
①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；
119）②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，的人数，利用①的结果，
求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．
附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣?2），则P（μ﹣?＜Z＜μ+?）=0.6826，P（μ﹣2?＜Z＜μ+2?）=0.9544．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）
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（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立； （2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使
请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1参数方程与极坐标]（共1小题，满分10分）
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极 =k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求
[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：|a+b|＜；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
的最小值．
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2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（?RB）等于（ ）
D．（2，4） A．（﹣2，4） B．[4，5） C．（﹣3，﹣2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义写出A∩?RB即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}={x|﹣2＜x＜5}，
集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，
则?RB={x|x≤﹣3或x≥4}，
所以A∩（?RB）={x|4≤x＜5}=[4，5）．
故选：B．
2．已知是z的共轭复数，若
值为（ ）
A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i （其中i为虚数单位），则z的
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），结合已知列关于a，b的方程组求解．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则
由，得
，解得a=1，b=1．
∴z=1+i．
故选：D．
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，
3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】先求导，得到f（x）在R上为增函数，即可判断．
【解答】解：∵f（x）=2x﹣sinx，
∴f′（x）=2﹣cosx＞0恒成立，
∴f（x）在R上为增函数，
故选：A．
4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据y=Asin（ωx+?）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=3sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．
的图象上各点沿x轴向右平移个单位长【解答】解：将函数
度，
可得函数y=3in[2（x﹣
由2x﹣
可得：x==kπ，k∈z， +）+]=3sin（2x﹣）的图象， ，故所得函数图象的对称中心为（
，0）． +，0），k∈z． 令k=1可得一个对称中心为（
故选：A．
5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“
更相减损
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b的值分别为16，24，术”，执行该程序框图，若输入a，则输出的a的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】程序框图．
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．
【解答】解：由a=16，b=24，不满足a＞b，
则b变为24﹣16=8，
由b＜a，则a变为16﹣8=8，
由a=b=8，
则输出的a=8．
故选：C．
6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．
【解答】解：A、B、D的反例如图．
故选C．
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7．已知
A． B． C．，则 D． 的值是（ ）
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由
的值．
【解答】解：∵
∴cos（2α+
=1﹣2×
=；
∴
=﹣cos（2α+
=﹣．
故选：D．
8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） ） =cos（2α+﹣π） ）=1﹣2sin2（α+ 求出cos（2α+）的值，再根据诱导公式即可求出， ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
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【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S（A）=
所以P（A）=
故选：A．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ． =（﹣）=．
A． B． C．18π D．22π+4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，进而可得答案．
【解答】解：已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，
圆柱的底面半径为2，高为6，
故体积为：6×π?22=24π，
弓形弦到圆心的距离为2﹣1=1，
故弓形弦所对的圆心角为：
故弓形的面积为：
弓形柱的高为2，
故两个弓形柱的体积为：4×（
故组合体的体积为：24π﹣4×（
， ， ）， ）=，
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故选：B
10．已知函数
的m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．
【考点】分段函数的应用．
【分析】当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），化为关于m的不等式组，解得即可．
【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，
当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，
∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）， C．（﹣3，1）∪ D． ，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）
∴或或，
解得﹣3＜m＜1或x＞，
故选：C．
11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，
PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．
【分析】当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离．
【解答】解：由题意，V=
当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，
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=，
如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，
则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，
因为AB=AC=，BC=2，
=
， ，sin∠ACB=， 所以cos∠ACB=△ABC外接圆的半径为r=
设球心到平面ABC的距离为d，
所以d=
故选B． =．
12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（ ）
A．
C． B． D．
【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．
【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数， ∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），
即f（x）=﹣f（x+2），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，
∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，
第12页（共25页）
则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，
若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，
则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，
若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，
则f（x）=﹣f（x﹣2）=
作出函数f（x）的图象如图：
由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，
由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0， =，x∈[1，2]，
由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，
当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=
由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，
，此时f（x）=x+b， 由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣
有两个交点，
则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣
即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，
， ＜b＜﹣， 即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+
令k=n﹣1，
则4k+＜b＜4k+
故选：D
，
第13页（共25页）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1=
令3﹣
∴=0，解得r=2． =60，a＞0，解得a=2． =ar，
故答案为：2．
14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若
为
． ，则实数m的值
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程求解即可，因为是无理方程需要验根．
【解答】解：点A（2，m），B（1，2），C（3，1），
第14页（共25页）
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