江西省新余一中2017届高三（上）第二次段考数学试卷 （理科）
(解析版)
一、选择题
1．下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）
A． B．
C． D．
2．函数
A．
∞）B．的定义域是（）C． D．[0，+
3．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（?RB）∩A=（）
A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对
4．若0＜x＜y＜1，则（）
A．3y＜3x B．logx3＜logy3 C．log4x＜log4y D．
5．“a＞1”是“函数f（x）=a?x+cosx在R上单调递增”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列判断错误的是（）
A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题
B．命题“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．幂函数f（x）=mxm﹣2在其定义域上为减函数
D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题
7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ） A． B．
C． D．
8．由xy=1，y=x，x=3所围成的封闭区域的面积为（ ）
A．2ln3 B．2+ln3
9．若f（x）=x2+2C．4﹣2ln3 D．4﹣ln3 f（x）dx，则f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
10．函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），则当x∈（3，4）时，f（x）为（ ）
A．增函数且f（x）＞0 B．增函数且f（x）＜0 C．减函数且f（x）＞0 D．减函数且f（x）＜0
11．已知命题p：函数f（x）=
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．a∈（﹣1，0） B．a∈[﹣1，0） C．a∈（﹣2，0） D．a∈（﹣∞，﹣2）为R上的单调函数，则使命题p
12．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=
则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知对不同的a值，函数f（x）=2+ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是 ．
14．已知函数f（x）=+sinx，则f（2017）+f（﹣2017）=． 15．已知命题p：?x∈R，使（m+1）（x2+1）≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为 ．
16．设集合A={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意的（x1，y1）∈A，总存在（x2，y2）∈A，使得x1x2+y1y2=0，则称集合A具有性质P．给定下列4个集合： ①A1={（x，y）|y=2x}
②A2={（x，y）|y=1+sinx} 1???3?③A3??(x,y)y?(x?1)? ????
④A4═{（x，y）|y=ln|x|}．
其中具有性质P的为 （填对应的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2sinB?sinC=
（1）求A；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）国庆期间，我校高三（1）班举行了社会主义核心价值观知识竞赛，某轮比赛中，要求参赛者回答全部5道题，每一道题回答正确记1分，否则记﹣1分．据以往统计，甲同学能答对每一道题的概率均为．甲同学全部回答完这5道题后记他的得分为X
（1）求X=1的概率；
（2）记随机变量Y=|X|，求Y的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．
． ﹣
（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C：
2）．
（1）求椭圆C的标准方程； +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（3，
（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．
21．（12分）已知函数f（x）=
的底数）．
（1）求f（x）的极值；
（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，作，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．
（1）证明：AE=BE；
（2）若AG=9，GC=7，求圆O的半径．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c1：
参数）．
（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．
（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]?M，求实数m的取值范围．
（α为
2016-2017学年江西省新余一中高三（上）第二次段考数
学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的表示方法．
【分析】根据函数的定义知：函数是定义域到值域的一个映射，即任一定义域内的数，都唯一对应值域内的数；由此可知，用逐一排除法可做出．
【解答】解：A选项，函数定义域为M，但值域不是N；
B选项，函数定义域不是M，值域为N；
D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系．
故选C．
【点评】本题利用图象考查了函数的定义：即定义域，值域，对应关系，是基础题．
2．函数
A．
∞）
B．的定义域是（ ） C． D．[0，+
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则
即，即， ，
解得x＞﹣且x≠0，
故函数的定义域为
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．，
3．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（?RB）∩A=（ ）
A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】集合A为对数函数的定义域，集合B为指数函数的值域，分别解出再进行运算即可．
【解答】解：由2x﹣x2＞0，得x（x﹣2）＞0，即0＜x＜2，故A={x|0＜x＜2}，
由x＞0，得2x＞1，故B={y|y＞1}，?RB={y|y≤1}，
则（?RB）∩A=（0，1]
故选B
【点评】本题考查集合的概念和运算，属基本题．用描述法表达的集合，一定看清代表元素的意义．
4．若0＜x＜y＜1，则（ ）
A．3y＜3x B．logx3＜logy3 C．log4x＜log4y D．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据对数函数的单调性，y=log4x为单调递增函数，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=log4x为增函数∴log4x＜log4y
故选C．
【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．这也是高考中必考的内容．
5．“a＞1”是“函数f（x）=a?x+cosx在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若函数f（x）=a?x+cosx在R上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴a≥1，
则“a＞1”是“函数f（x）=a?x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件， 故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
6．下列判断错误的是（ ）
A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题
B．命题“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．幂函数f（x）=mxm﹣2在其定义域上为减函数
D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题；
B，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；
C，函数f（x）=mxm﹣2为幂函数，则没m=1，f（x）=mxm﹣2=x﹣1，单调性是局部性质，必须指明区间；
D，原命题的否命题是”若am2≥bm2，则a≥b”，其中m可能为0．
【解答】解：对于A，p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，故正确； 对于B，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；
对于C，函数f（x）=mxm﹣2为幂函数，则没m=1，f（x）=mxm﹣2=x﹣1在（0，+∞），（∞，0）上为减函数，故错；
对于D，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是”若am2≥bm2，则a≥b”，其中m可能为0，为真命题，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了很多基础知识，属于基础题．
7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ） A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．
【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x）， ∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，
当x=π时，f（π）=（π﹣
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的识别，常用函数的奇偶性，函数值，属于基础题．）cosπ=﹣π＜0，故排除C，
8．由xy=1，y=x，x=3所围成的封闭区域的面积为（ ）
A．2ln3 B．2+ln3 C．4﹣2ln3 D．4﹣ln3
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．
【解答】解：由曲线xy=1，直线y=x，解得x=±1．
由xy=1，x=3可得交点坐标为（3，）．
∴由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成封闭的平面图形的面积是
S=（x﹣）dx=（x2﹣lnx）=4﹣ln3．
故选D．
【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．
9．若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【考点】定积分．
【分析】利用回代验证法推出选项即可．
【解答】解：若
∴x2﹣2=x2+2
若f（x）dx=f（x）dx=﹣1，则：f（x）=x2﹣2， （x2﹣2）dx=x2+2（，则：f（x）=x2﹣，
（x2﹣）dx=x2+2（）=x2﹣，显然B正确； ）=x2﹣，显然A不正确； ∴x2﹣=x2+2
若f（x）dx=，则：f（x）=x2+，
（x2+）dx=x2+2（）=x2+2，显然C不正确； ∴x2+=x2+2
若f（x）dx=1，则：f（x）=x2+2，
（x2+2）dx=x2+2（）=x2+，显然D不正确； ∴x2+2=x2+2
故选：B．
【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，
回代验证有时也是解答问
题的好方法．
10．函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），则当x∈（3，4）时，f（x）为（ ）
A．增函数且f（x）＞0 B．增函数且f（x）＜0 C．减函数且f（x）＞0 D．减函数且f（x）＜0
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据奇函数的性质、函数图象的对称轴求出函数的周期，由题意、函数的奇偶性、周期性、对称性画出函数的图象，由图象可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，
∴f（x）=﹣f（﹣x），f（2﹣x）=f（x），
∴﹣f（x﹣2）=f（x），则f（x+2）=﹣f（x），
即f（x+4）=f（x），∴函数的周期是4，
又当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），
画出函数的图象如图所示：
由图可得，
当x∈（3，4）时，f（x）为增函数且f（x）＜0，
故选B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，函数的周期性以及对称性的综合应用，求出函数的周期是解题关键，考查数形结合思想，属于中档题．
11．已知命题p：函数f（x）=
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．a∈（﹣1，0） B．a∈[﹣1，0） C．a∈（﹣2，0） D．a∈（﹣∞，﹣2）
为R上的单调函数，则使命题p
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】求出使函数f（x）=
结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：若函数f（x）=为R上的单调增函数， 为R上的单调函数的a的范围，则，此时不存在满足条件的a值；
若函数f（x）=为R上的单调减函数，
则，解得：a∈[﹣1，0），
故使命题p成立的一个充分不必要条件为a∈（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了分段函数的单调性，充要条件，分类讨论思想，难度中档．
12．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=
则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】分段函数的应用． ，
【分析】根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x≥0）交点个数即可．
【解答】解：根据题意可知，“友好点对”
满足两点：都在函数图象上，且关于坐
标原点对称．
可作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=≥0）交点个数即可．如图所示： （x
当x=1时，0＜＜1
观察图象可得：它们有2个交点．
故选：C．
【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知对不同的a值，函数f（x）=2+ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是 （1，3） ．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点P的坐标
【解答】解：由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点 而要得到函数y=2+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象，
可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
则（0，1）点平移后得到（1，3）点．
则P点的坐标是（1，3）
故答案为（1，3）
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=2+ax﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键
14．已知函数f（x）=
【考点】函数的值．
【分析】利用函数的性质、指数的性质及运算法则求解．
【解答】解：∵函数f（x）=
∴f（2017）+f（﹣2017）
=
=+++sin（﹣2017） +sin2017﹣sin2017 +sinx， +sinx，则f（2017）+f（﹣2017）=．
=
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15．已知命题p：?x∈R，使（m+1）（x2+1）≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为 ﹣2＜m≤﹣1 ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】若p∧q为真命题，则命题p，q全为真命题，进而可得实数m的取值范围．
【解答】解：若p∧q为真命题，则命题p，q全为真命题，
若命题p：?x∈R，使（m+1）（x2+1）≤0，
则m+1≤0，解得：m≤﹣1，
若命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，
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