南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷 高二数学（理科）
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部
分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的
．．．
答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
．．．．．．．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置
上
1．命题“若a＝b，则|a |＝|b|”的逆否命题是．
y22．双曲线x－＝1的渐近线方程是 ▲ ． 42 2017.01
a＋2i3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 ▲ ． 1－i
4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是．
5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是 ▲ ．
??x＋y－2≥0，
6．已知实数x，y满足条件?x－y≤0，则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ． ?y≤3，?
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且
PF＝5，则点P的横坐标是
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则
r的取值范围是．
9．观察下列等式
π－2π－4 (sin)2＋(sin2＝×1×2； 333
π－2π－3π－4π－4 (sin)2＋(sin2＋(sin2＋(sin2＝×2×3； 55553
π－2π－3π－6π－4 (sin)2＋(sin2＋(sin2＋?＋(sin2＝3×4； 77773
π－2π－3π－8π－4 (sin)2＋(sin2＋(sin2＋?＋(sin2＝4×5； 99993
……
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依此规律，当n∈N*时，
π－22π－23π－22nπ－2 (sin)＋(sin)＋(sin＋?＋(sin)＝ ▲ ． 2n＋12n＋1 2n＋1 2n＋1
10．若“?x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数 f (x)有极大值，则函数f (x)的极小值是 ▲ ．
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件； ③“函数f (x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是．
x2y2
13．已知椭圆E：＋1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为 ab (－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM2PF，则椭圆E离心率的取值范围是
?x(x－t)，x≤t，?14．已知t＞0，函数f(x)＝?1若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，，x＞t．?4?
．．．．．．．．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)， C(2，－4)．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
高二数学期末调研（理科） 第 2 页 共 11 页 2则实数t的取值范围是 ▲ ．
16．(本题满分14分)
已知数列{an}满足a1＝1，(an－3)an＋1－an＋4＝0(n∈N*).
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
17．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线 x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．
18．(本题满分16分)
某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边．．
形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设 ∠AOF＝θ，其中O为圆心．
(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
高二数学期末调研（理科） 第 3 页 共 11 页 C O A F （第18题图）
19．(本题满分16分)
x2y23 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E1(a＞b＞0)，两个顶点分ab2
→→别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3AM＝MB，过点M斜率为k(k≠0)
的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若BC⊥CD，求k的值；
k (3)记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证： k2
(第19题图)
20．（本题满分16分）
已知函数f(x)＝ax－lnx(a∈R).
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
f(x)(2)若存在x∈[1，3]，使得lnx＝2成立，求a的取值范围; x
1(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f(成立，求a的取值范围. x
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南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准 2017．01 说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4
4n(n＋1)8．(3，7) 9 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④ 3
32] 14．(3，4) 32
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．[
15．（本题满分14分）
解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， ………………2分
8－0所以AD的斜率为k＝＝8，……………… 5分 7－6
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，
即8x－y－48＝0． ……………… 7分
4－(－4) （2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分 10－2
所以BC边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分 所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－1(x－7)，
即x＋y－15＝0． ………………………… 14分
16．（本题满分14分）
3解：（1）令n＝1，－2a2＋3＝0，a2＝， ………………1分 2
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335令n＝2a3－4＝0，a3＝ ………………2分 223
457令n＝3a4－4＝0，a4＝ ………………3分 334
2n－1（2）猜想an＝n∈N*)． ………………5分 n
证明：当n＝1时，a1＝1＝2－12n－1an＝……………… 6分 1n
2n－12k－1假设当n＝k时，an＝成立，即ak＝………………8分 nk
2k－12k－1则(ak－3)ak＋1－ak＋4＝0，即(3)ak＋1－＋4＝0， kk
k+12k+12k+12(k+1)－1k＋1＝，即ak＋1＝＝kkk+1k+1
所以当n＝k＋1时，结论an＝
综上，对任意的n∈N*，an＝2n－1成立. ………………12分 n2n－1成立. ………………14分 n
17．（本题满分14分）
解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0， ……2分
?y＝－2x，?x＝1， 由? 解得? ?x－y－3＝0，?y＝－2．
所以圆心M的坐标为(1，－2)， ………………4分 所以圆M的半径为r＝(2－1)＋[－1－(－2)]2， ………………6分 所以圆M的方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝2． ………………7分
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为6，
所以圆心M到直线l的距离为d＝2－(622＝ ……………9分 22
若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
|k＋2|2由d ………………11分 k＋(－1)2
整理得k2＋8k＋7＝0，
解得k＝－1或－7， ………………13分 所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0． ………………14分
18．（本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ， ……………2分
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1则六边形的面积为f (θ)＝(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ 2
π＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，．………………6分 2
（2）f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]
＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)． ………………10分
π令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)， 2
1π所以cosθ＝，即θ＝， ……………………12分 23
ππ当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增； 33
ππππ当θ∈时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在()上单调递减， …………14分 3232
ππππ3所以当θ＝时，f (θ)取最大值f (＝2(cos1)sin3． …………15分 33332
π3答：当θ＝3平方百米． 32
…………………………16分
19．（本题满分16分）
→→解：（1）因为3AM＝MB，
所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2．………………2分
c3 又因为，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝1， a2
x22所以椭圆E＋y＝1． ………………4分 4
（2）方法1
设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,
→→则CM＝(－1－x0，－y0)，CB＝(2－x0，－y0)．
因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0． ① ……………6分 x2
又因为＋y02＝1， ②4
22联立①②，解得x0＝－，y0＝， ………………8分 33
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23所以k＝2． ………………10分 2－＋13
方法2
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，
1所以BC的方程为y＝－(x－2)， ………………6分 k
2－k23k联立方程组，可得点C的坐标为()， ………………8分 1＋k1＋k2－k2
2(1＋k3k2代入椭圆方程，得＋()＝1， 41＋k解得k＝±2．
3k又因为点C在x0，所以k＞0， 1＋k所以k＝22 ………………10分
（3）方法1
因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
k(x＋1)，??y＝2由?x消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0， 2?4y＝1，?
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
4k2－48k2
则x1＋x2xx＝． …………………12分 1＋4k12 1＋4kk(x2＋1)yx2＋2(x2＋1)(x1－2)k1x2＋2＝ k2y1k(x1＋1)(x2＋2)(x1＋1)x1－2x1－2
＝x1x2－2(x1＋x2)＋3x1－2 …………………14分 x1x2＋(x1＋x2)＋x1＋2
4k2－412k2－68k2
2×(－＋3x1－2＋3x1 1＋4k 1＋4k 1＋4k＝3， 4k－44k－28k ＋()＋x1＋2 x 1＋4k 1＋4k 1＋4k1
k为定值． ………………………16分 k2
方法2
因为直线AD的方程为y＝k1(x＋2)，
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k1(x＋2)，??y＝2－8k124k12 由?x解得D(，， ………………………12分 2 1＋4k 1＋4ky＝1，11??4
因为直线BC的方程为y＝k2(x－2)，
k2(x－2)，??y＝8k22－2－4k22 由?x解得C(，， 2 1＋4k 1＋4ky＝1，22?4?
→→ 由于C，M，D三点共线，故MC，MD共线，
8k22－2－4k212k22－1－4k2→ 又MC＝)， ＋1，)＝( 1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2 1＋4k22－8k123－4k124k14k1→ MD＝()， ＋1，＝ 1＋4k1 1＋4k1 1＋4k1 1＋4k112k2－14k－4k3－4k2
＝……………14分 1＋4k2 1＋4k1 1＋4k2 1＋4k1 化简得12k22k1－k1＝4k12k2－3k2，即(4k1k2＋1)(k1－3k2)＝0，
8k22－2－4k21 若4k1k2＋1＝0，则k2＝－代入C()， ，4k1 1＋4k2 1＋4k22－8k24k化简得C(， ， 1＋4k1 1＋4k1此时C与D重合，于是4k1k2＋1≠0，从而k1－3k2＝0，
k1k1＝3，即为定值．………………………16分 k2k2
方法3
设C(x0,y0)，则CD：y＝y(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)， x0+1
yy＝(x+1)， x0+1 由2消去y， x2＋y＝1，4???
得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分
－8－5x0－3y0x2又因为＋y02＝1，所以得D(，， ………………14分 45＋2x05＋2x0
－3y0
5＋2x0kx－2－3y0x0－2 ＝0＝·3， k2－8－5x0 y0－x0＋2 y025＋2x0
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k为定值． ……………………16分 k2
方法4
设D(x0，y0)，y0≠0，
x21－4y0y0y021则k1kBD＝ …………………12分 4 x0＋2 x0－2x0－4 x0－4
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
k(x＋1)，??y＝2由?x消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0， 2?4y＝1，?
4k2－48k2
则x1＋x2xx＝， 1＋4k12 1＋4kk2(x1＋1) (x2＋1)k2(x1 x2＋x1＋x2＋1)yy所以k2kBD＝＝ x1－2x2－2 (x1－2)(x2－2) x1 x2－2 (x1＋x2)＋4
4k2－48k2
k(－1) 1＋4k 1＋4k－3k21＝． …………………14分 ＝－36k124k－48k ＋4 1＋4k 1＋4k2
1又因为k1kBD＝－， 4
kk＝3，即为定值．………………………16分 k2k2
20．（本题满分16分）
1x－1解：（1）a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－， xx
令f '(x)＝0，则x＝1． ……………………2分 当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分 所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1．…………………4分
（2）因为 f(x)＋lnx＝2(x＞0)， xlnx所以ax－lnx＝(2－lnx)x2，即a＝2x－xlnx，…………………6分 x
lnx设g(x)＝2x－xlnx，x∈[1，3]， x
1－lnx1则g '(x)＝2－(1＋lnx)(1－lnx)(1＋)， xx高二数学期末调研（理科） 第 10 页 共 11 页
令g '(x)＝0，解得x＝e，
当1＜x＜e时，g '(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上单调递增；
当e＜x＜3时，g '(x)＜0，所以g(x)在(e，3)上单调递减， ………………8分
18因为g(1)＝2，g(e)＝e＋，g(3)＝6， e3
81因为6－ln3＞2，所以函数g (x)的值域是[2，e， 3e
1所以a的取值范围是[2，e＋]．………………10分 e
1（3）对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立， x
a1则ax－lnx≥＋lnx，即a(x－－2lnx≥0． xx
2112ax－2x＋a令h(x)＝a(x－)－2lnx，则h'(x)＝a(1＋－ xxxx212a－1①当a≥1时，ax－2x＋a＝a(x－＋0， aa2
所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，
所以a≥1满足条件． ………………12分
11②当0＜a＜1时，有＞1，若x∈[1，，则ax2－2x＋a＜0， aa
ax2－2x＋a此时h'(x)＝＜0， x11所以h(x)在[1，上单调递减，所以h()＜h(1)＝0， aa
1即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分 a
ax2－2x＋a③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递x减，
所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．
综上， a的取值范围为[1，＋∞).………………16分
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