2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（?UA）∪B=． 2
．函数
3．若函数f（x）
=的最小正周期为 ，则f（f（﹣2））=
4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．
5．已知幂函数y=f（x
）的图象过点（
，），则f
（）=．
6
．已知向量
与满足
||=2，
||=3
，且
?=﹣3
，则
与的夹角为 7．已知sin（α+π）=
﹣，则sin（2α
+
8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[
﹣
9．在△ABC中，E是边AC
的中点，
10．将函数y=sin（2x
﹣
，
=4
）= ]的值域为． ，若
=x+
y，则x+y= ）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐
标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=． 11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．
12
．若=1，tan（α﹣β）
=，则tanβ=．
13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是． 14．若函数f（x）=|sin（ωx
+
ω的取值范围是
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
15
．已知向量=（﹣3，1）
，=（1，﹣2）
，
=+
k（k∈R）． ）|（ω＞1）在区间[π
，π]上单调递减，则实数
- 1 -
（1
）若与向量
2
﹣垂直，求实数k的值；
（2
）若向量=（1，﹣1）
，且与向量
k
+平行，求实数k的值．
16．设α∈（0
，
（1）求cos（α
+
（2）求cos（2α
+）
，满足）的值； π）的值． sinα+
cosα=．
17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax
3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a?bx．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．
18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．
（1）若f（x）=，求x的值；
]都成（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，
立，求实数m的取值范围．
19．已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中
0＜a＜1． （
1）若函数y=g（
ax+
1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x
∈[1，4]时，f（
x）
的图象始终在g（x
）的图象的下方，求
t的取值范围；
（3）设t=4，当
x∈
[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[
0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．
20．已知向量=（cos
x∈[﹣，sin，fx）=?﹣m|+|+1，），=（cos，﹣sin），函数（]，m∈R．
）的值； （1）当m=0时，求f（
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）
+m2，x∈[
﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.
1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（?UA）∪B=
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与并集的定义，写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，
则?UA={0，3}，
所以（?UA）∪B={0，2，3}．
故答案为：{0，2，3}．
2
．函数的最小正周期为
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式
T=
周期．
【解答】
解：函数
∵ω=2，
∴
T==π． ， 即可求出函数的最小正
故答案为：π
3．若函数f（x）
=
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果．
- 4 - ，则f（f（﹣2））=
【解答】解：∵函数f（x）
=
∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，
f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．
故答案为：5．
，
4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为
﹣ ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，可得tan300°=
﹣
从而求得m的值．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），=，
∴tan300°=tan=﹣tan60°=
﹣
故答案为：﹣
． =，∴m=
﹣，
5．已知幂函数y=f（x
）的图象过点（
，），则f
（）=
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα
的图象过点（
∴
=，解得：α=﹣2，
=4， ，），
故f（x）=x﹣2，f
（）
=
故答案为：4．
6
．已知向量
与满足
||=2，
||=3
，且
?=﹣3
，则
与的夹角为
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ
的值，可得
与的夹角θ - 5 -
的值．
【解答】
解：∵向量
与满足
||=2，
||=3
，且
?=﹣3
，设
与的夹角为θ， 则
cosθ=
故答案为：
7．已知sin（α+π）=
﹣，则sin（2α
+
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．
【解答】解：∵sin（α+π）=
﹣，
∴
sinα=，
∴sin（2α
+）=cos2α=1﹣2sin2α=1
﹣
=，
）=
． =． =
﹣，∴
θ=，
故答案为：．
8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[
﹣
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据x∈[
﹣得出结论．
【解答】解：∵x∈[
﹣
∴1≤3cosx+1≤4，
∴0≤log2（3cosx+1）≤2，
故答案为[0，2]．
9．在△ABC中，E是边AC
的中点，
=4
，若
=x+
y，则x+y=
． ，]，∴0≤cosx≤1， ，]，得出1≤3cosx+1≤4，利用对数函数的性质，即可，]的值域为 [0，2] ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由
E是边AC的中点
，
=4，可得- 6 -
=
﹣．
【解答】解：∵E是边AC
的中点，
∴
=
=4，
y=，x+y=
，所以x=
﹣，
，
所以x=
﹣，
y=，x+y=
﹣．
故答案为：﹣．
10．将函数y=sin（2x
﹣
）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐
） ．标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin（4x
+
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先求函数y=sin（2x
﹣
）的图象先向左平移，图象的函数表达式，再
求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式．
【解答】解：将函数y=sin（2x
﹣
得到函数y=sin[2（x
+
）﹣）的图象先向左平移）的图象，
， ]=sin（2x
+
将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x
+
故答案为：sin（4x
+
11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是 （0，2） ．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． ）． ）
【分析】
由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，
∴，求得0＜a＜2，
故答案为：（0，2）．
12
．若=1，tan（α﹣β）
=，则tanβ=
．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]的值．
【解答】
解：∵
═
=
=，∴
tanα=，
=，又tan（α﹣β）
则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]
=
=
=，
故答案为：．
13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是 [﹣2﹣
．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），
则f（x）=4x+x2，x＜0，
则函数f（x）
=，
则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，
当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，
当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得
x=
若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，
则﹣2﹣
2≤t≤﹣2，
，﹣2]， =﹣2﹣
2 ，（正值舍掉），即实数t的取值范围是[﹣2﹣
2
故答案为：[﹣2﹣
2，﹣2]
14．若函数f（x）=|sin（ωx
+
ω的取值范围是
．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意求得ω≤2，区间[π，]内的x值满足 kπ
+≤ωx
+≤kπ+π，）|（ω＞1）在区间[π
，π]上单调递减，则实数k∈z，求得k
+≤ω
≤（k
+），k∈z，再给k取值，进一步确定ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=|sin（ωx
+
∴
T=
≥，即ω≤2． ）|（ω＞0）在[π
， π]上单调递减，
∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ
+
由题意可得区间[π
，
即ω?π
+≥kπ
+]内的x值满足 kπ
++≤ωx
+，kπ+π]，k∈z， ≤kπ+π，k∈z， ，且
ω?
≤kπ+π，k∈z．
解得k
+≤ω
≤（k
+），k∈z．
求得：当k=0时，≤ω
≤
≤ω
≤，不符合题意．
，不符合题意；当k=1时，≤ω
≤；当k=2时，
综上可得，≤ω
≤，
故答案为：
[
，]．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
15
．已知向量=（﹣3，1）
，=（1，﹣2）
，
=+
k（k∈R）．
（1
）若与向量
2
﹣垂直，求实数k的值；
（2
）若向量=（1，﹣1）
，且与向量
k
+平行，求实数k的值．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
【分析】（1
）由与向量
2
﹣
垂直，可得?（
2
﹣）=0，解得k．
（2）利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：（1
）
=+
k=（﹣3+k，1﹣2k），
2
﹣=（﹣7，4）．
∵与向量
2
﹣
垂直，∴?（
2
﹣）=﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）=0，解得
k=．
（2）
k
+=（k+1，﹣2k﹣1）
，∵与向量
k
+平行，
∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）=0，解得
k=
16．设α∈（0
，
（1）求cos（α
+
（2）求cos（2α
+）
，满足）的值； π）的值． sinα+
cosα=． ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式求得 sin（α
+
数的基本关系求得 cos（α
+） 的值．
）的值，可得sin（2α
+
]的值．
sinα+
cosα==2sin（α
+），∴sin（α
+）
）的值，从而求）的值，再利用同角三角函（2）利用二倍角公式求得 cos（2α
+得cos（2α
+π）=cos[（2α
+）
+【解答】解：（1）∵α∈（0，），
满足
=．
）
=
）
=2
=，
）
+=∴cos（α
+． ﹣
1=，sin（2α
+）=2sin（α
+） cos（2）∵cos（2α
+（α
+）
=2?
?
∴cos（2α
+
﹣
=π）=cos[（2α
+． ]=cos（2α
+cos）
﹣sin（2α
+sin
）
=
17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：
（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a?bx．
（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，排除另2个函数，选二次函数模型进行描述；
（2）由二次函数的图象与性质，求出函数y=﹣x2+10x+220在x取何值时有最小值．
【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；
所以，应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述；
（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣x2+ax+b，解得a=10，b=220， ∴y=﹣x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N+，
y=﹣（x﹣5）2+245，∴x=5，ymax=245万元．
18．已知函数f（x）=
（）x﹣2x．
（1）若f（x）
=，求x的值；
]都成（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0
，
立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值．
【分析】（1）由f（x）=
（）x﹣2x
=可求得2x
=，从而可求得x的值； （2）由f（x）=
（）x﹣2x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）?2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0
，成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）令t=2x＞0
，则﹣
t=
即2x
=，所以x=﹣2…6分
（2）因为f（﹣x）
=﹣2﹣x=2x
﹣=﹣f（x）， ，解得t=﹣4（舍）或
t=，…3分， ]都
所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由
f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，
又f（x）=
（）x﹣2x在R上单调递减，…9分，
所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0
，
所以m
＞，θ∈[0
，]都成立，…10分， ]，…12分，
令μ=cosθ，θ∈[0
，
y=
分
=﹣1
+]，则μ∈[0，1]，
，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16
19．已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1． （1）若函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小
值为，求实数a的值．
【考点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据偶函数的定义可得k的值；
（2）构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞﹣2x
++2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；
或，（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，得到
x=
即可得到n﹣m
的最小值为（﹣
）﹣
=，求出a即可．
【解答】解：（1）∵函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，
∴loga（a﹣x+1）+kx=loga（ax+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，
∴2kx=loga（ax+1）﹣loga（a﹣x+1）=loga
（
∴
k=，
（2）由题意设h（x）=f（x）﹣g（x）=2loga（2x+t﹣2）﹣logax＜0在x∈[1，4]恒成立，
∴2loga（2x+t﹣2）＜logax，
∵0＜a＜1，x∈[1，4]，
∴只需要2x+t﹣2
＞
即t＞﹣2x
+
∴t＞（﹣2x
+恒成立， ）=x +2恒成立， +2）max，
令y=﹣2x
+
∴（﹣2x
++2=﹣2
（+2）max=1， ）2
++2=﹣2
（
﹣）2
+，x∈[1，4]，
∴t的取值范围是t＞1，
（3）∵t=4，0＜a＜1，
∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（﹣1
，﹣
）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，
∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f
（﹣）=0， ∴﹣1＜m
≤≤n（等号不同时取到），
或，
]
=
，
=， ＞0，
令|2loga（2x+2）|=2，得
x=
又
[
∴
﹣（﹣）]﹣[
（﹣
）﹣﹣（﹣
）＞（﹣
）﹣∴n﹣m
的最小值为（﹣
）﹣
∴
a=．
20．
已知向量=（
cos
x∈[
﹣
，sin，
fx）
=
?﹣m
|
+|+1，），=（
cos，﹣
sin），函数（]，m∈R．
）的值； （1）当m=0时，求f
（
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）
+m2，x∈[
﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．
（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
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