2016～2017学年度第一学期期末抽测
高二年级数学试题(理)
参考公式：柱体的体积公式：V?Sh,其中S是柱体的底面面积,h是高. 1锥体的体积公式：V?Sh,其中S是锥体的底面面积,h是高. 3
圆柱的侧面积公式：S?cl,其中c是圆柱的底面周长,l是母线长. 球体的表面积公式：S?4?R2，其中R为球体的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．命题p：?x?R，sinx?1的否定是．
2．准线方程为x??1的抛物线的标准方程为 ．
3．底面半径为1高为3的圆锥的体积为．
x2y2
?1的一条渐近线方程为y?x，则实数m的值为． 4．双曲线?m6
5．若直线l1:x?4y?1?0与l2:kx?y?2?0互相垂直，则k的值为
6．函数y?x3?3x的单调减区间是．
7．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．
?8．已知函数f(x)?cosx?3sinx，则f?()的值为 3
9．“a?b”是“a2?b2”成立的条件．(填“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)
10．若圆x2?y2?4与圆(x?t)2?y2?1外切，则实 数t的值为 ．
11．如图，直线l是曲线y?f(x)在点(4,f(4))处的 切线，则f(4)?f?(4)的值等于 ．
x2y2
12．椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P， ab
满足?F1PF2?120?，则该椭圆的离心率的取值范围是
- 1 -
x2y2
?1上的一点，则PA?PB的最大值 13．已知A(3,1)，B(?4,0)，P是椭圆?259
为 ．
14．已知函数f(x)?lnx，g(x)?12x?2x，当x?2时k(x?2)?xf(x)?2g?(x)?3 2
恒成立，则整数k最大值为 ．
二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分)在三棱锥P?ABC中，AP?AB，平面PAB?平面ABC，
?ABC?90?，D,E分别为PB,BC的中点．
(1) 求证：DE∥平面PAC；
(2) 求证：DE?AD．
16.(本小题满分14分)已知圆C的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分
别为P(1,?2)，Q(3,4).(1)求圆C的方程； (2)若直线y?2x?b被圆C截得 的弦长为25，求b的值．
17．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，AB?AC?2， A1A?4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
18．(本小题满分16分)某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按 照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容 积为3?．设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S.
(1)写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)，
可以使表面积S最小，并求出最小值.
19.(本小题满分16分)已知二次函数h(x)?ax2?bx?c(c?4)，其导函数y?h?(x) 的图象如图所示，函数f(x)?8lnx?h(x)．(1)求a,b的值； (2)若函数f(x) 1在区间(m,m?)上是单调增函数，求实数m的取 2
值范围； (3)若对任意k?[?1,1]，x?(0,8]，不等 式(k?1)x?f(x)恒成立，求实数c的取值范围．
x2y2
20.(本小题满分16分)把半椭圆2?2?1(x?0)与圆弧(x?c)2?y2?a2(x?0) ab
合成的曲线称作“曲圆”，其中F(c,0)为半椭圆的右焦点.如图，A1,A2,B1,B2 分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知?B1FB2?积为2?，扇形FB1A1B2的面 34?. (1)求a,c的值； (2)过点F且倾斜角为?的直线交“曲圆”于P,Q 3
两点，试将?A1PQ的周长L表示为?的函数；
(3)在(2)的条件下，当?A1PQ的周长L取得 最大值时，试探究?A1PQ的面积是否为定值？ 若是，请求出该定值；若不是，请求出面积 的取值范围.
2016~2017学年度第一学期期末抽测 高二数学（理）参考答案与评分标准
一、填空题
1．$x?R,sinx1 2．y2=4x 3．π 4．6 5．-4 6．(-1,1) 7．4
8．0 9．充分不必要 10．±3 11．
二、解答题 11 13
．10+ 12
．2 14．5
15．（1）因为D,E分别为PB,BC的中点，所以DE∥PC，??????????2分
又DE?平面PAC，PCì平面PAC，故DE∥平面PAC．?????5分
（2）因为AP=AB,PD=DB，所以AD^PB， ????????????7分 因为平面PAB^平面ABC，平面PAB?平面ABC=AB，
又BC^AB，BCì平面ABC，所以BC^平面PAB，???????10分 因为ADì平面PAB，所以AD^BC，??????????????11分 又PB?BC=B，PB，BCì平面ABC，故AD^平面PBC，???13分 因为DEì平面PBC，所以DE^AD．??????????????14分
16．（1）由已知可知PQ为圆C的直径，故圆心C的坐标为(2,1)，???????2分
1PQ=，???????????????????4分 2
所以圆C的方程是：(x-2)2+(y-1)2=10．????????????6分 圆C
的半径r=
（2）设圆心C到直线y=2x+
b的距离是d=9分
据题意得：d2+2=10，???????????????????12分 (b+3)2
+5=10，解之得，b=2或b=-
8即5
????????????17．（1）以{AB,AC,AA1}为正交基底，建立空间直角坐标
系A-xyz，则B(2,0,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)， ?????????D(1,1,0)，所以A1B=(2,0,-4)，AC1=(0,2,4)，???????????????????A1B×AC14cos<A1B,AC1>=-， =5A1BAC1
4所以异面直线A1B,AC1所成角的余弦值为．?7分 5?????????（2）由（1）可知AC1=(0,2,4)，AD=(1,1,0)，
设平面C1AD的法向量为n=(x,y,z)， ?????ìn?AC0?ì2y+4z=0?1则可得?，即?，???9分 í????í??x+y=0????n?AD0
取x=2，可得y=-2，z=1，
故n=(2,-2,1)是平面C1AD的一个法向量，?????????????11分 而AB1=(2,0,4)，设直线AB1与平面C1AD所成的角为q，
?????
??????????AB1×n13分 sinq=cos<AB1,n>==AB1n
所以直线AB1与平面C1AD
18．（1）据题意，可知pxh=3p，得h=
S=2．?????????14分 12?4px2
'p32x+2p?2x3，???????????????2分 x2p62p3+,>(x ?????????0)6分 x（注：未写出定义域的扣1分） （2）S=6px-6p，?????????????????????????8分 x2
'令S=0，得x=?1，舍负???????????????????10分
当x=1时，S取得极小值，且是最小值??????????????15分 答： 当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9p．????16分
19．（1）据题意，扇形的半径即为a，所以π
a2=1
343cos60=1．?2解得a=2，c=OF=B1F装
（2）不妨取Q在x轴上方，当q?(0,)时，取 π3A1P的中点M，连结MF，A1(-1,0)为
+FQ+FP+A1P 椭圆的左焦点，L=AQ1=(AQ+FQ)+FP+2A1M=2a+a+2a 1题图) (第19π2π+FQ+FP+A1P=2a+2a=8，??????6分 当q?[,]时，L=AQ133
2ππ-q+FQ+FP+AP当q?(,π)时，L=AQ =2a+a+2asin1132
q=6+4cos，???????????????8分 2
ìqπ??6+4sin,q?(0,),??23???π2π所以L(q)=????????????????9分 í8,q?[,],?33???q2π?6+4cos,q?(,π).??23??
（3）△A1PQ的面积不是定值．
由（2）可知，当且仅当q?[,π2π]时，L取得最大值8， 33
x2y2
=1(x≥0)上， 此时P,Q均在半椭圆+43
m，P(x1,y1),Q(x2,y2)， 设PQ
的方程为x=my+1(-ìx=my+1,???2联立íx2，消去x并整理得，(4+3m2)y2+6my-9=0，???11分 y?+=1??43??
6m-9,yy=， D=36m2+36(4+3m2)>0，y1+y2=-124+3m24+3m2
36(4m2+4)144(m2+1)22y1-y2=(y1+y2)-4y1y2==(4+3m2)29(m2+1)2+6(m2+1)+1
，???????????????13分 19(m2+1)+2+6m+1
144令m2+1=t，则t?[1,]，记g(t)=9t+,t?[1,]， t33
14g'(t)=9-2>0，所以g(t)在t?[1,]上单调增且恒正， t3
121442故m2=0时，y1-y2取得最大值，所以y1-y2max==3
， 1615762当m2=时，y1
-y2取得最小值，所以y1-y2min=， 375
1|A1F||y1-y2|?．?????????????16分 故SDA1PQ=鬃220．（1）h'(x)=2ax+b，由h'(5)=0,h'(0)=-10，
解得a=1,b=-10．???????????????????????2分
82(x-1)(x-4)（2）f(x)=8lnx+x2-10x+c，则f'(x)=+2x-10=， xx
令f'(x)=0，得x=1或x=4，列表如下：?????????????3分
????????????????????????????????5分 因f(x)在区间(m,m+ =1441)是单调增函数， 2
所以(m,m+
ì0≤m,???所以í或m≥4， 1?m+≤1??2?11)?(0,1)或(m,m+)?(4,?)，???????????6分 22
1
2
（3）由(k+1)x≥f(x)在x?(0,8]恒成立， 8lnxc整理得k≥+x-11+对任意k?[1,1]恒成立， xx
8lnxc所以应有-1≥+x-11+恒成立， xx
2即c≤-8lnx-x+10x对x?(0,8]恒成立．????????????10分 所以实数m的取值范围为[0,]?[4,+?)．?????????????8分
设g(x)=-8lnx-x2+10x,x?(0,8]， 则g'(x)=-82(x-1)(x-4)， -2x+10=-x4
令g'(x)=0，得x=1或x=4，列表如下：
???????????????????????????????12分 g(1)-g(8)=9-16+8ln8=8ln8-7>8ln8-8=8(ln8-1)>0，
所以g(x)在x?(0,8]的最小值为g(8)=16-8ln8，又c<4，
16-8ln8-4=12-8ln8<12-8lne2=12-16<0，
所以实数c的取值范围是(-?,168ln8]．?????????????16分 - 8 -
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