2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1
．在复平面内，复数
A．第一象限 对应的点在（） C．第三象限 D．第四象限 B．第二象限
2．2，3}，B={x|x2﹣3x+a=0，a∈A}，已知集合A={1，若A∩B≠?，则a的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
）
的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（）
3．将函数y=sin（2x
+A
． B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D
．
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）
A．升 B
．升 C
．升 D
．升
5．如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（）
A．3π B．4π C．5π D．12π
6
．二项式
A．不含x9项 的展开式中（） B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项
7．A是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是（）
- 1 -
A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2
8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）
A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N
9．在△ABC中，
C=
A
．
D
．，AB=3，则△ABC的周长为（ ） C
B
．．
10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（ ）
A
． B
． C
． D
． 11．P是双曲线C
： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（ ） - 2 -
A．1 B
． C
． D
．
12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的
零点，则
A
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13
．（1+cosx）dx= 的取值范围是（ ） B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）
14．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 ．（该年为365天）
15
．化简： =．
16．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1
，若
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和． ，则3x+2y的最大值为 ．
18．张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．
路线①：沿途有A，B
两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟．
路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟． （1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．
19．如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥面ABC，
EC=
（1）求证：DE⊥AB；
（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．
，AB=2．
20．如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l
是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
（1）求证：|EA|+|EB|为定值；
（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．
21．已知函数f（x）=ex
﹣，a，f（x）为实数． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1
的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0（m为常数）．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值．
选修4-5：不等式选讲
23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．
2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1
．在复平面内，复数
A．第一象限 对应的点在（ ） C．第三象限 D．第四象限 B．第二象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数
数对应的点的坐标，则答案可求．
=
对应的点的坐标为：
（
，
，），位于第二象限． ，求出在复平面内，复
【解答】
解：在复平面内，复数
故选：B．
2．2，3}，B={x|x2﹣3x+a=0，a∈A}，已知集合A={1，若A∩B≠?，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
【考点】交集及其运算．
【分析】分别令a=1、2、3，求出B中方程对应的解，即可得出A∩B≠?时a的取值．
【解答】解：a=1时，B中方程为x2﹣3x+1=0，其解为无理数，A∩B=?； a=2时，B中方程为x2﹣3x+2=0，其解为1和2，A∩B={1，2}≠?；
a=3时，B中方程为x2﹣3x+3=0，无解，A∩B=?；
综上，a的值为2．
故选：B．
3．将函数y=sin（2x
+
A
．）
的图象向左平移 个单位，所得函数的解析式为（ ） B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D
．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
【解答】解：将函数y=sin（2x
+
所得函数的解析式为y=sin[2（x
+
故选：A．
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）
A．升 B
．升 C
．升 D
．升 ）的图象向左平移）
+]=sin（2x
+
个单位， +）=sin（2x
+）．
【考点】等差数列的性质．
【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案．
【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，
由题意得，，
即
，得，
所以a2+a3+a8
=
故选：A．
（升），
5．如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．5π D．12π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，进而可得答案．
【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球， 其表面积
S=
故选：A
6
．二项式
A．不含x9项 的展开式中（ ） B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项 =3π，
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1
==（﹣1）
rx12﹣3r，
故x的次数分别为：12，9，6，3，0，﹣3，﹣6，
因此不含x项．
故选：D．
7．A是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是（ ）
A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】当|AF|=4时，∠OFA=120°，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程．
【解答】解：由题意∠BFA=∠OFA﹣90°=30°，
过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．如图， A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，
解得p=2，
则抛物线的准线方程是x=﹣1．
故选A．
8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）
A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解．
【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，
故x≤N时，执行循环体，当x＞N时，退出循环．
故选：C．
9．在△ABC中，
C=
A
．
D
．，AB=3，则△ABC的周长为（ ） C
B
．．
【考点】正弦定理．
【分析】设△ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求
BC=2RsinA=2AC=2RsinB=2
=2sin（A
+sin
（sinA，
﹣A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长
）+3，即可得解．
=2
﹣A），
sin（A
+）+3． ， 【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R，则
2R=
所以：
BC=2RsinA=2sinA，
AC=2RsinB=2（sinA+sin
（sin
（所以：△ABC的周长
=2
故选：C．
﹣A））+
3=2
10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（ ）
A
． B
． C
． D
．
【考点】函数的图象．
【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断． - 10 -
【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x），
所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D， 当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2，
所以f′（x）
=﹣
2x=
当x∈（0
，
当x∈（
故排除C，
方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，
故选：A
11．P是双曲线C
： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P， ）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增， ，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减， 在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（ ） A．1 B
． C
． D
．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．
【解答】解：设右焦点分别为F2，
∵∴|PF1|﹣|PF2|
=2
∴|PF1|=|PF2|+
2，
+|PQ|， ， ∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+
2
当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，
可得l的方程为
y=x，F2
（
+1． ），F2到l的距离d=1 ∴|PQ|+|PF1|的最小值为
2
故选D．
12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的
零点，则
A
．的取值范围是（ ） B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得△=b2﹣4ac＞0，于是c
＜，
从而
＞=1
+﹣
（）2，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围．
【解答】解：由满足0＜b＜3a的任意实数a，b，
函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，
可得△=b2﹣4ac＞0，
于是c
＜
从而
，
＞=1
+
﹣
（）2，
对任意满足0＜b＜3a的任意实数a，b恒成立．
令
t=，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3，
则﹣t2+t+1=
﹣（t﹣2）2+2，
当t=2时，取得最大值2，
则﹣t2+t+1∈（1，2]．
故＞2．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13
．（1+cosx）dx=
【考点】定积分．
【分析】首先求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可． - 12 -
【解答】解：原式=（x+sinx）
|
故答案为：π．
=π；
14．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 146 ．（该年为365天）
【考点】茎叶图．
【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．
【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4
，频率为，
由此估计该地全年AQI大于100
的频率为，
估计此地该年AQI大于100的天数约为365
×=146（天）．
故答案为：146．
15
．化简：
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．
【解答】解
： = - 13 -
=
故答案为：4sinθ．
=4sinθ，
16．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1
，若，则3x+2y的最大值为 2 ．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】
根据
【解答】
解：∵
∴
=，得出，
=9x2+4y2+2xy×3×2
×（﹣） =1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值．
=（3x+2y）2﹣3?3x?2y≥（3x+2y）2
﹣×（3x+2y）2
=×（3x+2y）2；
又=1，
即×（3x+2y）2≤1，
所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，
即
x=，
y=时，
3x+2y取得最大值2．
故答案为：2．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式，可得方程组， - 14 -
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。