河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）
文数试题
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。所有试题都要答在答题卡上。
第l卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A?xx2?3x?0，B?x＜x?3，则如图所示表示阴影部分表示的集合为
A.?0,1?B.?0,3? C.(1,3) D.?1,3?
2.已知向量m?(a,2)，n?(1,1?a)，且m?n，则实数a的值为
A.0B.2 C.-2或1 D.-2
3.设复数z满足(1?i)?z?1?2i（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知4张卡片上分别写着数字1，2，3，4，甲、乙两人等可能地从这四张卡片中选择1张，则他们选择同一卡片的概率为
A.1B.3????111 C. D. 1642
22x2y2
5.若直线l:mx?ny?4和圆O:x?y?4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆??1的交94点个数为
A.0个B.至多一个C.1个D.2个
6.在四面体S?ABC中，AB?BC，AB?BC?
球的表面积是
A.86? B.6? C.24? D.6?
7.已知数列?an?为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若
A.2，SA?AC?2,SB?6，则该四面体外接S2017S17??100，则d的值为 20171711 B.
C.10D.20 2010
·1·
8.若函数f(x)?Asin(wx??)(A＞0)的部分图像如图所示，则关于f(x)描述中正确的是
5??,)上是减函数 1212
?5? B.f(x)在(,)上是减函数 36
5?? C.f(x)在(?,)上是增函数 1212
?5? D.f(x)在(,)上是增函数 36 A.f(x)在(?
9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
A.a=13 B.a=12 C.a=11D.a=10 23，则 12
1312ax?ax?2ax?2a?1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是 32
411 A.?＜a＜-B.?1＜a＜- 332
63 C.?2＜a＜0 D.?＜a＜- 51610.函数f(x)?
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
113 B.35 3
104107 C.D.33 A.
?1?log5?1?x?,(x＜1)f(x??2)?af(x)??1＜a＜22x?12.已知函数，当的实根个??(x?2)?2,(x?1),则关于x的方程
数为 A.5 B.6 C.7 D.8
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线进过点(2,?1)，则它的离心率为_______.
14.曲线f(x)?x?3x?2lnx在x?1处的切线方程为_________.
15.某大型家电商场为了使每月销售A和B两种产品获得的总利润达到最大，对于某月即将出售的A和B进行了相关调查，得出下表。如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为______元. 2
·2·
16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）
已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2?c2?a2?bc.
（1）求角A的大小； （2）若b2?c2?4，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中,CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2,A1C?6，求三棱柱ABC?A1B1C1的体积.
19.（本小题满分12分）
某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x和中位数；
（Ⅱ）将y表示为x的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率
·3·
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于点A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
（1）求证：y1y2为定值
（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?ax?bx?lnx(a,b?R).
（1）当a??1,b?3时，求函数f(x)?,2?上的最大值和最小值； ?2?
（2）设a＞0,且对任意的x＞0,f(x)?f(1)，试比较lna与?2b的大小.
2?1?
请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图 A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （Ⅰ）若EC1ED1DC的值； ?,?,求EB3EA2AB
2 （Ⅱ）若EF?FA?FB，证明：EF∥CD．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：?3x??1?t??2（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ． ??y?1t?2?
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?2x?a?2x?3,g(x)?x?1?2.
（Ⅰ）解不等式g(x)＜5；
（Ⅱ）若对任意的x1?R，都有x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数a的取值范围.
·4·
河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（文）
评分细则
第一部分：评分细则
一、选择题：CBACD DBCCD CB 二、填空题：13. 三、解答题
14. x-y-3?0 15. 960 16. 194 2
b2?c2?a21
17、解：（Ⅰ）由b?c?a?bc得b?c?a?bc， 故 cosA??
2bc2
2
2
2
2
2
2
又∵0?A
?? ∴A?60? （Ⅱ）由 即
a
?2得a?2sinA
? 由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA sinA21
?b
2?c2?2bccos60?，即3?4?2bc?∴bc?1
2
∴S?ABC?
11 bcsinA??1?sin60??
2218、解： （Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B． 因为CA=CB，所以OC⊥AB． 由于AB=AA1，
，
C 1
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB． 因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C． 又
A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；-------6分
A
（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2又
，则
，故OA1⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高． 又△ABC的面积
， 故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
，
．
19、解：（1）由频率直方图得：需求量为[100,120)的频率=
·5·
需求量为[120,140)的频率=
则中位数x?140?，需求量为[140,160)的频率=， 2460 ?20?33
（2）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元， 所以当当
所以
（3）因为利润不少于4800元，所以 所以由（1）知利润不少于4800元的概率 ，解得 时， ， 20、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB垂直于x轴时，y1?22,y2??22,∴y1y2??8(定值)
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?2)
由??y?k(x?2)2得ky?4y?8k?0 ?y1y2??8 因此有y1y2??8为定值 2?y?4x
（解法2）设直线AB的方程为my?x?2
由??my?x?22得y?4my?8?0 ?y1y2??8∴有y1y2??8为定值 2?y?4x
(Ⅱ)设存在直线l：x?a满足条件，则AC的中点E(
因此以AC为直径的圆的半径r?
E点到直线x?a的距离d?|x1?2y1,)，AC?(x1?2)2?y12 2211122AC?(x1?2)2?y1?x1?4 222x1?2?a| 2
12x?2(x1?4)?(1?a)2 42所以所截弦长为2r?d
222?2 ?x1?4?(x1?2?2a)2??4(1?a)x1?8a?4a2
当1?a?0即a?1时，弦长为定值2，这时直线方程为x?1
·6·
21．【解析】（1）当a??1,b?3时，f?x???x?3x?lnx，且x??,2?， 22?1
???
?2x?1??x?1?． 12x2?3x?1f??x???2x?3?????xxx
由f?(x)?0，得1?x?1；由f?(x)?0，得1?x?2， 2
1
2所以函数f(x)在(,1)上单调递增；，函数f(x)在(1,2)上单调递减，
所以函数f?x?在区间?,2?仅有极大值点x?1，故这个极大值点也是最大值点， 2
故函数在?,2?上的最大值是f?1??2， 2
又f?2??f??1????1???3?1??5?3?2?ln2??ln2??2ln2??ln4?0， ?????4?2??4?4
故f?2??f??1??1?，故函数在,2?上的最小值为f?2??2?ln2． ???2??2?
（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
112ax2?bx?1'又f(x)?2ax?b?? 设f(x)?0的两个根为x1,x2，则x1x2???0 xx2a'
不妨设x1?0,x2?0，则f(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,??)单调递增，故f(x)?f(x2)， 又f(x)?f(1)，所以x2?1，即2a+b=1，即b=1﹣2a
令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）=0，得x=
当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0）上单调递增； 1
4
??）上单调递减； 当＜x时，g′（x）＜0，g（x）在（，1
4
因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0 故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b
·7·
23、解：(1)∵ρ＝4cosθ. ∴ρ＝4ρcosθ，由ρ＝x＋y，ρcosθ＝x，得x＋y＝4x，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4， 222222
?x＝－1＋23由?1y?2?x＝－1＋23(2)把?1y＝?2t
? 消去t，
解得x+1?0. ∴直线l
的普通方程为x+1?0. 代入x2＋y2＝4x.整理得t2－33t＋5＝0. 设其两根分别为t1，t2，则t1，t2分别为P,Q所对应的参数， 2）?4t1t2则t1＋t2＝，t1t2＝5. ∴|PQ|＝|t1－t2|＝t1?t224、（1）由x?1?2?5得?5?x?1?2?5，?x?1?3 ，解得?2?x?4 ． 所以原不等式的解集为x?2?x?4
（2）因为对任意的
所以，都有，
，使得=成立 ?
又f(x)?2x?a?2x?3?(2x?a)?(2x?3)?a?3
所以从而
故实数a的取值范围是?-?，-5???-1，???
·8·
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