2017届高三摸底理科数学
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（01）如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A?CUB?（）
(A) (2，＋∞)(B) (－∞，0)∪(2, ＋∞) (C) (－∞，1]∪(2, ＋∞) (D) (－∞，0)
（02）复数z满足z＝(5＋2i)2其中i为虚数单位，z表示复数z的共轭复数．则在复平面上复数z对应的点位于（）
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
（03）已知等比数列{an }的S3?7，若4a1,2a2,a3成等差数列，则a1?（）
(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4
（04）执行右图的程序框图，输出的S的值为（）
(A) ?1 (B) 0(C) 1
(D) ?1? （05）下面是关于向量的四个命题，其中的真命题为（）
p1:同一组基底下的同一向量的表现形式是唯一的。
rrrrrrrrp2:a//b是（a?b)?c?a?(b?c)的充分条件。
p3:在?ABC中，若??0，则?ABC为钝角三角形。
3p
4:?2，向量与的夹角是?，则在上的投影是2。 4
(A) p1,p2(B) p2,p3 (C) p?,p?(D) p?,p?
（06）如图，网格纸上小正方形的边长为
三视图，则该几何体的体积为（） (A) 1，粗线画出的是某几何体的 2203(B) 253(C) 4 (D) 6
（07）若函数y?ln(ax?x2?x?y?2?0,??1（)a?0)为奇函数，设变量x，y满足约束条件?x?y?2?0,
?y?1,?
(D) 5
1 则目标函数z=ax+2y的最小值为（） (A) 2(B) 3 (C) 4
（08）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
(A) 11 12211，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.则甲获第一名且丙获第二名的概率；（ ） 345112 (B) (C) (D) 61530
5（09）(x?y?3)展开式中不含y的各项系数之和为（ ）
5(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) （x?3)5 55
（10）在平面直角坐标系中，点A(0，1)和点B（4,5）到直线?的距离分别为1和2，则符合条件的直线?的条数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
（11）如图，将绘有函数f(x)?sin(?x??)(??0,
若AB之间的空间距离为，则f??1??（ ）
?2????)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，
(A) ?1 (B) 1 (C) ?3 (D) 3
（12）若函数f(x)?ex(x2?2x?1?2a)?x恒有两个零点，则a的取值范围为（ ）
(A) ?0,1? (B) ???,1? (C)(??,11) (D) (,??) 2e2e
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
（13）如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y?x,y?x2(0?x?1)围成，在正方形内随机
?log3x(x?a)?取一点且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f?x???1x的值域为 . (）(x?a)??3
（14）在四面体P?ABC中，PC?平面ABC，AB=AC=2，BC=PC=22，
则该四面体外接球的表面积为 .
2
x2y2
（15）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?1仅有两个交点，则该双曲线的离ab
心率为.
（16）已知数列{an}的前n项和Sn??an?()n?1?2(n?N*)，设数列{cn}满足an(cn?3n)?(?1)n?1?n（?为非零常数，n?N*），存在整数?，使得对任意n?N*，都有cn?1?cn，则??________. 12
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且si2nA?si2nC?si2nB?sinAsiCn．
（1）求B的大小；
（2）设?BAC的平分线AD交BC于D，AD?BD?1， （18）（本小题满分12分）自2016年1月1历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
求sin?BAC的值． （1为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用?表示两种方案休假周数之和．求随机变量?的分布列及数学期望．
（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中， 面PAB?面ABCD，
PA?PB?，且四边形ABCD为菱形，AD?2，?BAD?600.
（1）求证：AB?PD；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。
（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，
x2y2
椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，且点P(2,1)在椭圆C上． abAD C
（1）求椭圆C的方程；
3
（2）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求?AOB面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）设函数f(x)?ex?lnx?1，其中e是自然对数的底数
（1）求证：函数f(x)存在极小值； exm1（2）若?x?[,??)，使得不等式?lnx??0成立，求实数m的取值范围． 2xx
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知A,B,C,D为圆O上的四点，直线PA切圆O于点A， P A PA//BD，AC与BD相交于G点． （1）求证：点A为劣弧BD的中点． （2）若AC?6，AB?3，BC?4，求BG的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：?sin(??
参数???0,2??． ??x?2?2cos?)?3，若点P为曲线C:?(?为参数)上的动点，其中3?y?2sin?
（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）求点P到直线l距离的最大值．
（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设函数f(x)＝1+|2x－3|.
（1）求不等式f(x)≥|3x+1|的解集；
（2）若不等式f(x)－tx = 0的解集非空，求t的取值范围
4
答案
一、选择题： 1 C
2 D
3 A
4 B
5 A
6 A
7 B 15.
8 D
9 C
10 D 16. -1.
11 D
12 C
二、填空题：13. ??1，???；
14. 16?； 5；
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinA?sinC?sinB?sinasinc． （1）求B的大小；
（2）设?BAC的平分线AD交BC于D
，AD?BD?1，求sin?BAC的值． 解：（1）sinA?sinC?sinB?sinAsinC ?a?c?b?ac
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2?c2?b2ac12?cosB????? ?B?(0,?) ?B??
2ac2ac23
ADBDBDsinB?1（2）在?ABD中,由正弦定理：
?sin ?BAD???
AD4sinBsin?BAD17
?cos?BAC?cos2?BAD?1?2sin2?BAD?1?2??
168
1?sin?BAC??
（18）（本小题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（1为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用?表示两种方案休假周数之和．求随机变量?的分布列及数学期望． 解：（1）用表中数据所得的频率代替概率
5
由表中信息可知，估计当产假为14
估计当产假为16 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取
22种方案选 法共有C5?10（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，
18）、
（16，17）、（16，18）、（17，18），共6②由题知随机变量?的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
因而?的分布列为
（19）如图，在四棱锥P—ABCD中， 面PAB?面ABCD，PA?PB?3， 0且四边形ABCD为菱形，AD?2，?BAD?60
D （1）求证：AB?PD； （2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。 （1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。
∵PA?PB? ∴PG?AB
0又∵菱形ABCD中?BAD?60 ∴?ABD为等边三角形 ∴DG?AB A又∵PG?DG?G ∴AB?面PGD 又∵PG?面PGD ∴AB?PD
（2）又∵PG?AB，面PAB?面ABCD，且面PAB?面ABCD?AB
∴PG?面ABCD A D
∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z∴G(0，0，0),P(0,0,2)，C(?2,3,0)，D(0,3,0) 6
y
∴?(?2,,?2)，?(0,3,?2)
∵面PAB?面ABCD，且面PAB?面ABCD?AB，DG?AB ∴DG?面PAB∴为面PAB的法向量，且?(0,,0) 设?(x1,y`,z1)为面PCD的法向量???2x1?y1?2z1?0
?y1?2z1?0 令z1?，则y1?2，且x1?0 ??? 5∴
?(0,2,3)∴cos?GD,n??
又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的平面角的余弦值为。 5
x2y2
（20）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1(a?b?
0)的离心率e?，且点P(2,1)在椭圆C上． ab
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求?AOB面积的最大值．
?c?e??a2??x2y21?4?a?解：（1）
由题意得：?2?2?1 ?? ∴椭圆C的方程为??1 63b??a?b??a2?b2?c2
??
?x12y12??1??63（2）①法一、设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，直线AB的斜率为k 则?22?x2?y2?1?3?6
x12?x22y12?y222x2y???0 ?0?0?k?0 6363
11 又直线OP:y?x,M在线段OP上, ∴y0?x0 ∴k??1 22
?y?y0?k(x?x0)?法二、设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，直线AB的方程为y?y0?k(x?x0)，则?x2y2 ?1??3?6
?(1?2k2)x2?4k(y0?kx0)x?2(y0?kx0)2?6?0
7
4k(y0?kx0)2k(y0?kx0) ?x??0221?2k1?2k
12k(?k)11?1?k??1 又直线OP:y?x,M在线段OP上, ∴y0?x0 ∴?21?2k22由题意，??0 ∴x1?x2??
?y?kx?m?法三、设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，直线AB的方程为y?kx?m 则?x2y2 ?1??3?6
?(1?2k2)x2?4kmx?2m2?6?0 由题意，??0 ∴x1?x2??4km2km(i) ?x??0221?2k1?2k又直线OP:y?x,M在线段OP上, 所以y0?x0(ii) M在直线AB上?y0?kx0?m(iii) 解(i)(ii)(iii)得：k??1
?y??x?m??3x2?4mx?2m2?6?0 设直线AB的方程为y??x?m，m?(0,3) 则?x2y2
?1??63?1212
????0?4m? 所以?x1?x2?
所以AB?x1?x2|?
3?2?2m?6xx??123?
∵原点到直线的距离d当且仅当m?
∴?S?OAB?
(0,3)时，等号成立. 所以?
AOB（21）设函数f(x)?ex?lnx?1，其中e是自然对数的底数
（1）求证：函数f(x)存在极小值；
exm1（2）若?x?[,??)，使得不等式?lnx??0成立，求实数m的取值范围． 2xx
1证明：（1）∵f(x)?ex?lnx?1，?f?(x)?ex?(x?0)， x
?(f?(x))??ex?1?0，?函数f?(x)在(0,??)是增函数，
2x
1 ?f?()?2?0，f?(1)?e?1?0，且函数f?(x)图像在(0,??)上不间断， 2
1 ??x0?(,1)，使得f?(x0)?0， 2
结合函数f?(x)在(0,??)是增函数有： 8
?函数f(x)存在极小值f(x0)．
exm1解：（2）?x?[,??)，使得不等式?lnx??0成立 2xx
1??x?[,??)，使得不等式m?ex?xlnx成立（*） 2
1令h(x)?ex?xlnx，x?[,??)， 则h?(x)?ex?lnx?1?f(x)， 2
11?结合（1）得：[h?(x)]min?f(x
0)?ex0?lnx0?1，其中x0?(,1)，满足f?(x0)?0，即ex0??0， x02
?ex0?11，x0??lnx0， ?[h?(x)]min?ex0?lnx0?1??x0?1?1?1?0， x0x0111111112?[h(x)]min?h()?e?ln?e2?ln2，?h(x)在[,??)内单调递增，?x?[,??)，h?(x)?0， 222222
11112 结合（*）有m?e?ln2，即实数m的取值范围为[e2?ln2,??)． 22
（22）已知A,B,C,D为圆O上的四点，直线PA切圆O于点A，PA//BD，AC与BD相交于G点．
（1）求证：点A为劣弧BD的中点．
（2）若AC?6，AB?3，BC?4，求BG的长．
证：（1） ∵PA//BD，∴?ABD??BAP
又∵直线PA为圆O的切线，∴?BAP??BCA，∴?ABD??BCA
而?ABD??ACD（同弧）∴?BCA??DCA，∴点A为劣弧BD的中点．
（2）由（1）知?ABD??BCA，又∵?BAG为公共角，∴?ABG~?ACB ∴
又∵AC?6，AB?3，BC?4，∴P A ABBG?， ACBC3BG?，BG?2 64
（23）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：?sin(??
其中参数???0,2??．
（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程； （2）求点P到直线l距离的最大值． 解：（1）因为?sin(????x?2?2cos?)?3，若点P为曲线C:?，(?为参数)上的动点，3?y?2sin??
3)?3，∴?sin??cos??2，
∴直线l的直角坐标方程为y?3x?23
9
曲线C:??x?2?2cos? 且参数???0,2??，消去参数?可知曲线C的普通方程为(x?2)2?y2?4 ?y?2sin?
（2）法一：由(1) 点P的轨迹方程为(x?2)2?y2?4，圆心为(2,0)，半径为2. d?2??1?0?23
(3)?(?1)22?23，∴点P到直线l距离的最大值23?2 2cos??2sin??42法二：d?
当??(2?2cos?)?2sin??23(3)2?(?1)2??2cos(??)? 6?5?，dmax?2?2，即点P到直线l距离的最大值2?2 6
（24）设函数f(x)＝1+|2x－3|. （1）求不等式f(x)≥|3x+1|的解集；
（2）若不等式f(x)－tx ≥ 0的解集非空，求t的取值范围．
解：（1）由f(x)≥|3x+1|，得|3x+1|－|2x－3|≤1，则
3时，3x?1?2x?3?1, 即x??3，∴x??； 2
131313当??x?时，3x?1?2x?3?1,即??x?,∴??x? 323535
11当x??时，?3x?1?2x?3?1, 即?5?x, ∴?5?x?? 33
3综上，不等式的解集为{x|?5?x?}
5当x?
10
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