专题三数列

学习要求：

1.掌握数列的定义，清楚数列的相关概念。会求数列的单调性。会利用数列模型求解实际问题。

2.知道等差数列，等比数列的定义，常用的等差数列和等比数列的性质。知道等差中项和等比中项及其性质，会利用其性质解决问题。

3.会求等差数列和等比数列的前n项和，并能根据这两种基本数列求基于这两种数列的特殊数列的前n项和。

4.知道数列前n项和和数列的通项an的基本关系，并能通过该基本关系求解问题。

5.知道数列的递推公式，能通过递推公式求解一些数列的通项公式。

6.会用分组求和法、构造法、累加法、累乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等方法求解数列的通项公式或前n项和。

7.知道求和符号?以及求积符号?及其简单性质。

参考资料：

1.《高中数学知识点学习材料》，p46-p51

2.Mathematics Higher Level(core) (3rd).Fabio Cirrito,Nigel Buckle,Iain Dunbar.2007:241-271

3.《高中数学必修5》，人民教育出版社

课堂训练：

1.已知等差数列?an?满足a1?a2?10，a4?a3?2．

（Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列?bn?满足b2?a3，b3?a7，问：b6与数列?an?的第几项相等？

2.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

3.已知数列{an}中，a1?1，an?an?1?1（n?2），则数列{an}的前9项和等于。 2

4.等差数列?an?中，a2?4，a4?a7?15．

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?2an?2?n，求b1?b2?b3?????b10的值．

5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1?a3?a5?3,则S5?（）

A．5 B．7 C．9 D．11

6.已知等比数列{an}满足a1?1,aa?4?a4?1?,则a2?（） 435

A.2B.1C.11D. 28

7.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________

8.已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.

（I）求{an}和{bn}的通项公式；

（II）设cn=anbn,n?N*,求数列{cn}的前n项和.

9.数列{an}满足a1?1，且an?1?an?n?1（n?N*），则数列{

10.．已知等差数列{an}的公差d1}的前10项和为 an?1,前n项和为Sn.

(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;

(2)若S5?a1a9,求a1的取值范围.

11.等差数列?an?中,a7?4,a19?2a9,

(I)求?an?的通项公式; (II)设bn?

12..设等差数列

(Ⅰ)求数列的前项和为,且, 1,求数列?bn?的前n项和Sn. nan的通项公式 (Ⅱ)设数列

满足 ,求的前项和

13..设数列?an?满足:a1?1,an?1?3an,n?N?.

(Ⅰ)求?an?的通项公式及前n项和Sn; (Ⅱ)已知?bn?是等差数列,Tn为前n项和,且b1?a2,b3?a1?a2?a3,求T20.

14..已知等差数列?an?的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列. (Ⅰ)求?an?的通项公式; (Ⅱ)求a1?a4?a7???a3n?2

15.正项数列{an}满足an2?(2n?1)an?2n?0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn?

1,求数列{bn}的前n项和Tn. (n?1)an

16.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3?0,S5??5.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2?n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，1}的前n项和. a2n?1a2n?1n∈N.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

18.已知{an}为等差数列，且a1?a3?8,a2?a4?12,

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1,ak,Sk?2成等比数列，求正整数k的值。

19.(a)Find (i).?(?t)

i?1ni,where |t|<1 (ii).?(?t)i?1?i,where |t|<1

1213x?x??, where |x|<1. 23

111(ii)Using the above result, show thatln2?1?????. 234 (b) (i)Hence, show that ln(1?x)?x?

{a,b}20.定义奇偶选择取值函数Coe(x)???a,[x]是奇数，简记为Coe{a,b}，其中字母o,e分别

?b,[x]是偶数

{a,b}{b,a}代表奇数和偶数，其顺序与选择取值a,b保持一致，即有Coe(x)?Ceo(x)，[x]是高斯

取整函数，表示不超过x的最大整数，比如[1.2]=1,[0.9]=0.同时定义微分算符D?n，dxn

dnfn其运算满足Df?，其中f为任意n阶可导函数。已知对于幂函数f(x)?x，微分ndxn

算符满足性质Dx?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)x

22?mnn?m(m?n)，设方程Coe{c1,2c2}。 n(1?x)Df?2xD?f0有解f(x)??crxr(|x|?1)，求证：cn?

r?0

（Tip:若对任意的x均有

?Cxrr?0?r） ?0，则必有Cr?0。

21.设n阶差分算子?满足定义：

（1）?0an?an

（2）?an?an?1?an，?2an??(?an)，?，?nan??(?n?1an)

（1）设数列{an}是一阶等差数列，即?an?d，求{an}的通项公式.

（2）设数列{an}是二阶等差数列，即?2an?d，求{an}的通项公式.

（3）设数列{an}的通项公式为an?n?mni

i?0pi?m0?m1n?m2n2?m3n3???mpnp为p阶

多项式，求证：{an}是p阶等差数列,即?an?d?mp?p!.

（4）利用（3）中的结果，证明下面的求和恒等式： p??C

r?0i?0pprp(?1)rmi(n?p?r)i?mp?p!

（5）利用（3）的结果证明下面的平方求和公式： Sn?12?22???n2?

＊提示：[1](1?x)?nnn(n?1)(2n?1) 6?Cnrxr?1?nx?

r?1n(n?1)2x???xn， 2!

n! m!(n?m)!

[3]每求一次差分，多项式的阶数会降低一阶 m [2]Cn?

[4]n！为n的阶乘，定义为不大于n的所有正整数的连乘积，即n!?n(n?1)??2?1 特别地，0!=1

[5]证明（4）时可先证明下式：

r?an??(?1)rCpan?p?r p

r?0p

[6]在证明和正整数有关的命题时，我们常用数学归纳法，其方法是证明n=n0时命题成立（称作归纳奠基，一般n0=1），假设n=k时命题成立（称作归纳假设），最后证明n=k+1时命题也成立，我们就可以推定对所有涉及到的连续整数n，命题都成立。但是需要注意的是，在证明n=k+1时命题成立的时候，必须用到n=k时得到的假设。

考点探究：请在上述21道题旁边标注每道题的考点以及难度标度（即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。

命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，要求参考母题为：

4.12.15.16.17命题要求：

1.不拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。

2.为了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。

3.题目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。

4.题目应当标注难度标度。

课后练习：

1.已知数列|an|的前n项和Sn?kcn?k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3

（1）求an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn。

2.已知数列?an?是递增的等比数列，且a1?a4?9,a2a3?8.