专题六平面解析几何初步
学习要求：
1.掌握解析几何的基本概念，知道曲线的方程和方程的曲线这两个概念。
2.知道平面直线、圆的方程，知道直线的两点式、斜截式、点斜式、截距式、一般式方程，知道各个方程之间的联系和适用范围。知道圆的一般式方程和标准式方程，知道如何将一般式方程转化成标准式方程。
3.知道如何利用圆和直线的方程来解决直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系问题，会求解直线的交点坐标，会求解圆与圆的交点坐标，会求解直线与圆的交点坐标，会计算圆的弦长。
4.知道直线系方程和圆系方程。
5.知道几类圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线，知道它们的第一定义和第二定义，知道和它们有关的基本几何概念：焦点、焦距、渐近线、焦半径、长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、通径、离心率，会求解相关的几何参量，知道这些几何参量之间的联系。
6.掌握圆锥曲线的标准方程，可以利用已经学过的知识猜测圆锥曲线的一般方程，并寻求一般方程和标准方程的关系。
7.可以解决直线和圆锥曲线之间的位置关系的基本问题，能够总结相关问题的常用方法和基本公式。
参考资料：
1.《高中数学知识点学习材料》，p21-p24,p58-p62，p88-p93
2.《高中数学 必修2》，人民教育出版社
3.《高中数学 选修2-1》，人民教育出版社
课堂训练：
1．方程x2 + 6xy + 9y2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是
A．2条重合的直线 C．2条相交的直线（） B．2条互相平行的直线 D．2条互相垂直的直线
（） 2.下列说法的正确的是
A．经过定点P0x0，y0的直线都可以用方程y?y0?k?x?x0?表示 B．经过定点A?0，b?的直线都可以用方程y?kx?b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程?? xy??1表示 ab
D．经过任意两个不同的点P、P2?x2，y2?的直线都可以用方程 1?x1，y1?
?y?y1??x2?x1???x?x1??y2?y1?表示
3.如果实数x,y满足等式(x?2)2?y2?3，那么y的最大值是x（）
A．1 2B
C
D．
4.若点N（a,b）满足方程关系式a2＋b2－4a－14b＋45=0，则u?
为． b?3的最大值 a?2
5.直线y?x?1上的点到圆C：x2?y2?4x?2y?4?0的最近距离为（ ）
A. 1 B.
C. 1 D.
1
6.双曲线mx2?y2?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m?（ ）
A．?11B．?4 C．4 D． 44
2x2y2
??1的右焦点重合，则p的值为（ ） 7.若抛物线y?2px的焦点与椭圆62
A．?2 B．2 C．?4 D．4
8.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计).若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 （ ）
A.变大B.变小 C.不变 D.以上都有可能
x2y2
??1，长轴在y轴上. 若焦距为4，则m等于 （） 9.已知椭圆10?mm?2
A.4. B.5. C.7. D.8.
x2y2
??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、 B两点 10.已知F1, F2为椭圆259
若F2A?F2B?12，则AB?.
11.直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( )
A．y2＝12x
C．y2＝6x
2B．y2＝8x D．y2＝4x x2y2
12.已知抛物线y＝2px(p>0)－＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且abAF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )
5＋1 2B.3＋1
22＋1D. 22＋1 x2y2263?→→13.已知椭圆1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M?满足MF1·MF2ab3??3
＝0.
(1)求椭圆的方程；
→→(2)若直线L：y＝kx＋2与椭圆恒有不同交点A、B，且OA·OB>1(O为坐标原点)，求k
的取值范围．
x2y2
14.已知直线x?y?1?0与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，M是线段ABab
上的一点，??，且M点在直线l: y?
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x?y?1上，求椭圆的方程.
221x上. 2
x2
?y2?1有两个15.在平面直角坐标系xOy中，
经过点(0且斜率为k的直线l与椭圆2
不同的交点P和Q．
（I）求k的取值范围；
（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，问：是否存在实数k，使得
????????????向量OP?OQ与AB共线？给出判断并说明理由.
16.如图，已知F(1，0)，直线l:x??1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且???
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M． ????????????????（1）已知MA??1AF，MB??2BF，求?1??2的值； ????????（2）求MAMB的最小值．
17.已知椭圆的两个焦点F1(－3，0)，F23，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使→→PE·QE恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
18.在日常的考试中我们经常遇到直线和圆锥曲线相交求弦长的问题，它的运算量往往极其巨大，考生失分往往是因为计算错误，为了方便大家，请推导如下几种情况下的弦长公式
（1）设直线y=kx+b与圆锥曲线相交于点A（x1,y1）和点B(x2,y2)，求证：弦长 |AB|??k2|x1?x2|??k2(x1?x2)2?4x1x2
或
|AB|??11|y?y|??(y1?y2)2?4y1y2 1222kk
上面两个式子称作弦长（基本）公式。
x2y2
??1相交，利用（1）的结（2）设直线Ax+By+C=0与圆锥曲线（椭圆或双曲线）mn
果求相交弦长。（ps：该最终结果被称作圆锥曲线硬解定理，应该是中国人为了高考搞出来的东西）
（3）假设直线方程为①y=kx+b；②x=sy+t，请将（2）中的结果进一步简化。（这是我们经常用到的形式）
（4）设直线方程为y=kx+b，抛物线方程为y2?2px，求相交弦长。
（注意：如果直线和圆锥曲线相交，必然有两个交点，从而联立方程化简得到的一元二次方程的判别式Δ>0，这样会得到一个不等式，是常见的埋坑点。）
考点探究：请在上述18道题旁边标注每道题的考点以及难度标度（即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。
命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，要求参考母题为：4.6.12.16命题要求：
1.不拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。
2.为了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。
3.题目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。
4.题目应当标注难度标度。
课后练习：
x221.如图，在由圆O：x＋y＝1和椭圆C：y＝1(a>1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆a22
的离心率为6，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B. 3
(1)求椭圆C的方程；
→→1→2(2)是否存在直线l，使得OA·OB＝OM，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请2
说明理由．
2.（1）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点． 求证：“若直线l过点T（3，0），则OA?OB＝3”是真命题.
（2）请将（1）中的命题给予推广，得到更加广泛的结论。
??????2
3.已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；
(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
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