专题八常见重要不等式及不等式的证明
学习要求：
1.知道不等式的几条基本性质，会利用不等式的性质证明简单的不等式。
2.会求解一元二次不等式，掌握二次函数和二次不等式的联系。
3.会求解绝对值不等式，知道三角不等式的几种表现形式。
4.掌握基本不等式a?b?2ab的使用条件及其变形不等式，会用基本不等式解决问题或证明其他不等式。
5.掌握基本不等式a?b?2ab的使用条件及其变形不等式，会利用其解决问题或证明其他不等式。
6.掌握证明不等式的重要方法：比较法和放缩法。
7.熟悉几类常见不等式：柯西不等式、排序不等式、伯努利不等式、赫尔德不等式、均值不等式，琴生不等式，会用他们证明一些简单的不等式。
8.掌握几个重要的近似，能够利用简单近似估计数值。
9.能够利用已经学过的知识证明特殊结构的不等式。 22
参考资料：
1.《高中数学知识点学习材料》，p51-p56
2.《高中数学 必修5》，人民教育出版社
3.《高中数学 选修4-5》，人民教育出版社
课堂训练：
1.设t?a?2b,s?a?b?1，则s与t的大小关系为（）
A.s≥t B.s>tC.s≤tD.s<t
2.设P?2，Q?7?3，R?6?2，则P,Q,R的大小关系为（ ）
A.P>Q>RB.P>R>QC.Q>P>R D.Q>R>P
2223.设x?ab?5,y?2ab?a?4a，若x?y,则实数a,b满足的条件是 2
4.(1)If x?1,y?1，show that x?y?111???xy. xyxy
(2)If 1?a?b?c, show that logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.
5.已知a?0,b?0,2c?a?b，求证：c?c2?ab?a?c?c2?ab.
6.Show that
7.使不等式a?b成立的充要条件是（ ）
A.a?b B.22311111??1?2?2???2?2?(n?2,n?N?). 2n?123nn1111? C.lga?lgb D.a?b ab22
28.对于满足|p|?2的所有实数p，求使不等式x?px?1?2p?x恒成立的x的取值范围.
9.对于任意的x?[0,
10.设对于任意的x?R,不等式a?cos2x?5?4sinx?5a?4恒成立，求实数a的取值范围。
11.对于函数f(x)，若存在x0?R使得f(x0)?x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函
2数f(x)?ax?(b?1)x?(b?1),(a?0).若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动?2],cos2x?2msinx?2m?2?0恒成立，求实数m的取值范围.
点，求a的取值范围。
12.设函数f(x)?min{sinx,x2?2x},x?[??,?]，画出其图象并设对于任意x?[??,?]，都有a2lna?a?a2|f(x)|，求a的取值范围.
13.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)?1，若m,n?[?1,1]，m?n?0时f(m)?f(n)?0，若f(x)?t2?2at?1对所有的x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数tm?n
的取值范围。
14.设Sn?
?i?1nn(n?1)(n?1)2?Sn? (i?1)，求证：22
15.已知f(x)?141f(1)?f(x)，若，且在区间[0,1]上的最小值为，求证： 1?a?2bx52?f(r)?n?
r?1n11 ?n?122
16.证明：C?C???C?n?2
17.证明：(1?1)(1?)(1?)?(1?
0n1nnnn?12 13151)?2n?1 2n?1
1?2x?3x???(n?1)2?a?n2
,0?a?1,n?2且n?N*，求证：18.已知函数f(x)?lgn
对于任意的n?2且n?N，不等式f(2x)?2f(x)恒成立.
19.设an?1?
220.设数列{an}满足an?1?an?nan?1，且a1?3，证明，对于所有正整数n,有 *111????,a?2，求证：an?2 2a3ana
（i）an?n?2
（ii）
11 ??2i?11?ann
考点探究：请在上述20道题旁边标注每道题的考点以及难度标度（即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。
命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，要求参考母题为：2,6,9,11,13命题要求：
1.不拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。
2.为了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。
3.题目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。
4.题目应当标注难度标度。
课后练习：
1.数列{xn}满足：x1?a?0且xn?1?
（1）?n?2,xn?a
（2）?n?2,xn?xn?1
1a(xn?),n?N?，证明： 2xn
2.求证：对于任意正整数n，均有()?
3.设数列{an}满足：a1?2,an?1?an?
（1）对任意正整数n，an?
（2）令bn?
23n8 (n?1)(n?2)1(n?1,2,?)，证明： an2n?1 an(n?1,2,?)，判断bn,bn?1的大小关系并给出证明。 n
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