专题九形式逻辑基础和常见证明方法
学习要求：
1.理解命题的概念，知道什么是真命题和假命题，知道什么是原命题和逆命题，知道什么是否命题，什么是命题的否定，什么是逆否命题，知道原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假关系，会写出其对应的真值表。
2.知道全称量词和特称量词，能够利用全称量词和特称量词改写文字叙述的命题，能够对符号表示的命题进行逻辑操作。
3.知道什么是充分条件，什么是必要条件，什么是充分必要条件，什么是充分不必要条件，什么是必要不充分条件，什么是既不充分也不必要条件，会判断两个命题间的关系。
4.知道命题的且或非的逻辑运算规则，知道命题p且q，命题p或q，命题非p的真值表。能够利用集合进行理解。
5.知道推理的两种基本模式：演绎推理和合情推理，学会归纳推理的方法。
6.掌握常见的证明方法：综合法、分析法、反证法、构造法、转化法（等价命题法，逆否命题法）、数学归纳法、构造函数法等。
参考资料：
1.《高中数学知识点学习材料》，p57-p58,p80
3.《高中数学 选修2-1》，人民教育出版社
4.Mathematics Higher Level(core) (3rd).Fabio Cirrito,Nigel Buckle,Iain Dunbar.2007:1-16 课堂训练：
1.请写出命题：p?q的否命题、逆命题、逆否命题以及命题的否定。
2.请写出命题：p?q?r的否命题、逆命题、逆否命题以及命题的否定。
3.请写出命题：p?q?r的否命题、逆命题、逆否命题以及命题的否定。
4.请写出命题p:?x0?I,s.t.f(x0)?x0的否命题。
?
5.请写出至少一个下述命题的充要条件。
（1）命题p1：△ABC是直角三角形。
（2）命题p2：x?a是多项式f(x)?xn?an?1xn?1???a1x?a0的零点。
（3）命题p3：一个物体处于静止或匀速直线运动状态。
??（4）命题p4：一个物体所受合外力F在任意时刻和此刻的速度v垂直。
6.填空：
（1）事件?是不可能事件是p(?)?0的条件。
（2）平面上A、B、C三点共线是???(1??)(??0)的条件。
2（3）直线Ax?By?C?0和抛物线y?2px联立得到的一元二次方程的根的判别式
??0是直线和抛物线相切的条件。
（4）在证明过程：
“由于质点的速度大小方向都不变，因此质点所受合外力为0.”
中我们所依据的大前提是：，小前提是，结论是
7.将下面的一个证明用三段论的形式写出来，并在后面标注大前提（M），小前提(S)，结论（P）：
在△ABC中，过点A作BC边上的高AD,其长度为h，则
h?csinBh?bsinC
即：csinB?bsinC
cbca??，同理有 sinCsinBsinCsinA
abc?? 也就是 sinAsinBsinC 故
作△ABC的外接圆，其圆心为O，连接AO并延长交圆O于另一点C’，连接BC’，则在△ABC’中，有
c?AC'?sinC'?2RsinC
其中R为三角形外接圆的半径.故：
8.定义逻辑变量l?{0,1}，当命题为真，则l?1,反之l?0.命题p,q构成一个逻辑变量对
abc
???2R sinAsinBsinC
(p,q)?(l1,l2)，称作命题p,q的逻辑向量，请完成下述的逻辑向量表：
def
9.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边
AB,BC,CD,DA的中点
（1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所
H D C
成的角和EG、BD所成的角。
10.如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;
（2）平面CDE?平面ABC。
11.证明电子定向移动的速率v和电流的关系：I?nesv
D B C E
12.填空：
（1）考察下列一组不等式： 2?5?2?5?2?5,2?5?2?5?2?5,
3
3
2
2
4433
25?55?23?52?22?53,??.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，
使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.
an?1?（2）已知数列?an?满足a1?2，
的值为．
1?an*
n?N），则a3的值为， a1?a2?a3???a2007
1?an
35111
????(n?N*)，计算得f(2)?，f(4)?2，f(8)?，
2223n
7
f(16)?3，f(32)?，由此推测：当n?2时，有
2
（4）观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n?2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，
（3）已知f(n)?1?
按此规律推出：当n?2时，Sn与n的关系式
??
n?2S?4n?3S?8n?4S?12
（5）观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，?，则可得出一般结论：.
（6）函数f(x)由下表定义：
若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,?，则a2007?．
（7）在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用n
表示)
图1
图2
图3
（8）将正奇数按下表排成5列
那么2003应该在第行，第列。 （9））如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2008时，对应的指头是(填指头的名称). （10）在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，??中，第25项为
_____． （11）
．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.
（12）同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑
色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）
13.
选择：
（1）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为
ai?i?1,2,3,4?，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为
4
2Sa1a2a3a4
hi?i?1,2,3,4?，若????k，则.??ihi??类比以上
k1234i?1
性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si?i?1,2,3,4?, 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi?i?1,2,3,4?,若
4
S1S2S3S4????K, 则1234
??iH?? ( )
i
i?1
A.4V3V2VV B. C. D. KKKK
2f(x),f(1)?1（x?N*），猜想f(x）的表达式为（ ） f(x)?2
4212A.f(x)?x； B.f(x)?； C.f(x)?； D.f(x)?. 2?2x?1x?12x?1
?（3） 某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m?N），编号分别为1、2、3、??、m，
?有n台（n?N）织布机，编号分别为1、2、3、??、n，定义记号aij：若第i名工人（2）已知f(x?1)?
操作了第j号织布机，规定aij?1，否则aij?0，则等式a41?a42?a43????a4n?3的实际意义是（ ）
A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了n台织布机；
C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了n台织布机.
14.在△ABC中，sinA?sinB?sinC，判断△ABC的形状并证明. cosB?cosC
15．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设
16.?ABC中，已知3b?2asinB，且cosA?cosC，求证：?ABC为等边三角形。
17.．设P2(x2,y2)、?、P1(x1,y1)、Pn(xn,yn)(0?y1?y2???yn) 是曲线C：y2?3x(y?0)上的n个点，点Ai(ai,0)（i?1,2,3?n）在x轴的正半轴上，且?Ai?1AiPi
是正三角形（A0是坐标原点）．
（1）写出a1、a2、a3；
（2）求出点An(an,0)（n?N?）的横坐标an关于n的表达式并证明.
考点探究：请在上述17道题旁边标注每道题的考点以及难度标度（即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。
命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，不特别要求参考母题。 命题要求：
1.不拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。
2.为了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。
3.题目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。
4.题目应当标注难度标度。
5.命制题目数不小于3.
课后练习：
本次专题无课后练习。
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