华安一中2013届高三数学理科星期六练习（2）
1、【2012高考福建理】（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x+2xy+y=1在矩阵
阵.
22对应的变换作用下得到的曲线为x+y=1.（Ⅰ）求实数a，b的值.（Ⅱ）求A的逆矩222
?13????44?12、【2012高考江苏22】[选修4 - 2：矩阵与变换] （10分）已知矩阵A的逆矩阵A???，求矩阵A的特征值．11????2??2?
3、【2012高考福建理】（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为几点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0）
，
，圆C的参数方程
判断直线l与圆C的位置关系。
。（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）
4、【2012高考福建理】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
5、【2011高考福建理】矩阵与变换设矩阵M?? ?a0?． ?（其中a＞0，b＞0）
?0b?
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；
x2
?y2?1，求a，b的值． （II）若曲线C：x+y=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：422
??x??（?为参数）??y?sin?6、【2011高考福建理】在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C
的参数方程为?．（I）已
π
知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
7、【2011高考福建理】选修4-5：不等式选讲设不等式
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
8、（2010福建理数）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=?2x-1的解集为M． ?1a??c2??20?，，且（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y?3x在矩阵M所对应的线N?MN?????，??0d???20??b1?
性变换下的像的方程。
?x?3?,??29、（2010福建理数）在直角坐标系xoy中，直线l
的参数方程为?（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取
?y???相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为???。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P
的坐标为，求|PA|+|PB|。
10、（2010福建理数）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)?|x?a|。
（Ⅰ）若不等式f(x)?3的解集为?x|?1?x?5?，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)?f(x?5)?m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
11、（2009福建卷理）已知矩阵M?
解:依题意得
?2?3??所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标 ?1?1?
12、（2009福建卷理）、选修4-4：坐标系与参数方程;已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:??x??1?2cos? (?为参数 )试判断他们的公共点个数
13、（2009福建卷理）选修4-5：不等式选讲
解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
14、选修4 - 2：矩阵与变换；求矩阵A???3
?2
?y?2?2sin?2?1?的逆矩阵. ?
15、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=，点A、B、C????01??10?在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
华安一中2013届高三数学理科星期六练习（2）答案
2、解：∵A?1A=E，∴A=A?1???1。 ∵A?1?1??4???1
?2?3?，∴4??1???2??1?2 3?A=?A?1????。 2 1??
???2 ?3?2 ∴矩阵A的特征多项式为f???=??=??3??4。 ?2??1 ??
令f???=0，解得矩阵A的特征值?1=?1，?2=4。 3：
4：
5、解：（I）设矩阵M的逆矩阵M?1?x1???x2y1??10??1，则MM????. y2??01?
?20??20??x1又M???，所以???03???03??x2y1??10?????， y2??01?
11,y1?0,x2?0,y2?, 23所以2x1?1,2y1?0,3x2?0,3y2?1,即x1?
故所求的逆矩阵
M?1?1?2???0???0? ?.1??3?
（II）设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y')，则?a0??x??x'??ax?x'x'2a2x2
2?y'?1,,则?b2y2?1为曲线C的方程， ，又点P'(x',y')在曲线C'上，所以???????,即?44?0b??y??y'??by?y'
2?a?4,?a?2,?22又已知曲线C的方程为x?y?1,故?2又a?0,b?0,所以? b?1.???b?1.
P(4,)2化为直角坐标，得P（0，4）6、（I）把极坐标系下的点。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x?y?4?0，
所以点P在直线l上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q
的坐标为?,sin?)，
从而点Q到直线l的距离为
?
2cos(??)?4?d?????)?6， cos(??
由此得，当??6)??1
时，d
7、解：（I）由|2x?1|?1得?1?2x?1?1,解得0?x?1.所以M?{x|0?x?1}.
（II）由（I）和a,b?M可知0<a<1,0<b<1，
所以(ab?1)?(a?b)?(a?1)(b?1)?0.故ab?1?a?b.
?c?0?2?a??1?2?ad?0?b??1??8、【解析】（Ⅰ）由题设得?，解得?； bc?0??2c?2?????2b?d?0?d?2
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y?3x上的两（0，0），（1，3），
?1?1??0??0??1?1??1???2?由?，（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），??????，???????得：点（0，0）
??11??0??0???11??3??2?
从而
直线y?3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y??x。
9、【解析】
（Ⅰ）由??
?得x2?y2??
0,即x2?(y2?5. （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得(3即t2??4?0,由
于??(222)?)?5，
2)??44?，2?故可0设t1,t2是上述方程的两实根，所
以??t1?t2?又直线l过点P故由上式及t的几何意义得： ???t1t2?4
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t
2=10、【解析】（Ⅰ）由f(x)?3得|x?a|?3，解得a?3?x?a?3，又已知不等式f(x)?3的
?a?3??1解集为?x|?1?x?5?，所以?，解得a?2。（Ⅱ）当a?2时，f(x)?|x?2|，设g(x)=f(x)?f(x?5)，于是 ?a?3?5
??2x?1,x<?3?g(x)=|x-2|?|x?3|=?5,?3?x?2，所以
?2x?1,x>2?
当x<-3时，g(x)>5；当-3?x?2时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。
?2 ?3?11、解:依题意得由M???,得1?1???x???1 3??13???1?13?3?5??2??????????????A(2,?3) ?y???12??5???1?13?2?5???3???1 3??2 ?3??x??13?,M?1,故M?1??从而由?????????121?1?????y??5?得
12解:圆的方程可化为(x?1)2?(y?2)2?4.其圆心为C(?1,2),半径为2. 圆心为C(?1,2)到直线l:3x+4y-12=0
距离d??7?2 5
13、解:当x<0时,原不等式可化为?2x?1??x?1,解得x?0又?x?0,?x不存在; 当0?x?1时,原不等式可化为?2x?1?x?1,解得x?0 2
1111又?0?x?,?0?x?;当x?,??x?2综上,原不等式的解集为x|0?x? 2222
?xy??32??xy??10?14、解：设矩阵A的逆矩阵为??,则?21??zw???01?, zw????????
?3x?2z3y?2w??10??3x?2z?1,?3y?2w?0,即????01?,故?2x?z?0,?2y?w?1, 2x?z2y?w??????
??12?解得：x??1,z?2,y?2,w??3，从而A的逆矩阵为A???. 2?3???1
15、MN???k0??01??0k??0k??0?2?2??00k?，由、B1（0，-2）、C1（k，-2）。???10??10??10??001???0?2?2?，可知A1（0，0）01????????????
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。所以k的值为2或-2。
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