2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x－2x＞0}，B＝{x|
x
，则()． 2
A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B?AD．A?B
2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．
44
A．－4B．5C．4D．5 ?
3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样
x2y24．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C2?2=1(a＞0，b＞0)
ab则C的渐近线方程为()．
111?xx?x
A．y＝4B．y＝3 C．y＝2D．y＝±x ?
5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出
的s属于()．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．
500π866π
A．3cm3 B．3cm3
1372π2048π
C．3cm3D．3cm3
7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．
A．3B．4C．5D．6
8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积为()．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
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22＋19．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)展开式
的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
x2y2
10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2?2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交Eab
于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．
x2y2x2y2x2y2x2y2
?=1?=1?=1?=1453636271892718A． B． C． D．
??x2?2x，x?0，11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )． ln(x?1)，x?0.?
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn?anb?an，cn＋1＝n，则( )． 22
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b2c＝0，则t＝__________.
14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和
15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
Sn?21an?33，则{an}的通项公式是an＝_______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB
BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝1，求PA； 2
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
.
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18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质品相2
互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
222220．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动
圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
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221．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝e(cx＋d)．若曲线y
＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC
CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐y?5?5sint?
标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈???a1?,?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
22??
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.
∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B.
2．
答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， 55(3?4i)34???i. 3?4i(3?4i)(3?4i)55
4故z的虚部为，选D. 5∴z?
3．
答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．
答案：C
c2a2?b25c2?. 解析：
∵e??，∴e?2?2aa4ab122∴a＝4b，=?. a2
b1∴渐近线方程为y??x?x. a2
5．
答案：A
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
2若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.
6．
答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
222由R＝(R－2)＋4，得R＝5， 所以球的体积为43500π5?π(cm3)，故选A. 33
7．
答案：C
解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.
∴d＝am＋1－am＝3－2＝
1.
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m?m?1?m?131＝0，∴a1??. 22
m?1?m?3. 又∵am＋1＝a1＋m31＝3，∴?2∵Sm＝ma1＋
∴m＝5.故选C.
8．
答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr343
9．
答案：B
m解析：由题意可知，a＝Cm，b＝C2m2m?1， 21＋43232＝8π＋16.故选A. 2
又∵13a＝7b，∴13?
即?2m?!?2m?1?!=7?， m!m!m!?m?1?!132m?1?.解得m＝6.故选B. 7m?1
10．
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上， ?x12y12??1,①??a2b2
∴? 22?x2?y2?1,②??a2b2
①－②，得
?x1?x2??x1?x2??y1?y2??y1?y2??=0， a2b2
?y?y2??y1?y2?b2
即2=?1， a?x1?x2??x1?x2?
∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2， 0???1?1b21y1?y2=，∴2=. 而＝kAB＝3?12a2x1?x2
又∵a－b＝9，∴a＝18，b＝9. 2222
x2y2
?=1.故选D. ∴椭圆E的方程为189
11．
答案：D
解析：由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
22②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x＋2x|＝x－2x.
2故由|f(x)|≥ax得x－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2,0]．
12．
答案：
B
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
2∴b2c＝ta2b＋(1－t)|b|.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
0＝1t＋1－t. 2
∴t＝2.
n－114．答案：(－2)
21an?，① 33
21∴当n≥2时，Sn?1?an?1?.② 33
22①－②，得an?an?an?1， 33
a即n＝－2. an?1
21∵a1＝S1＝a1?， 33解析：∵Sn?
∴a1＝1.
n－1∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2).
15．
答案： 解析：f(x)＝sin x－2cos x
?xx?， ?
令cos α
sin α
＝? 则f(x)
α＋x)，
π当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)
2
π即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)， 2
π???π?所以cos θ＝cos?2kπ+???＝cos????＝sin α
＝?2???2?16．答案：16
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，
∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
?b??15?16?4a?b?,即? 0??8?9?3a?b?,?
?a?8,解得?
?b?15.
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432∴f(x)＝－x－8x－14x＋8x＋15.
32由f′(x)＝－4x－24x－28x＋8＝0，
得x1＝－2
x2＝－2，x3＝－2
易知，f(x)在(－∞，－2
上为增函数，在(－2
2)上为减函数，在(－2，－2
上为增函数，在(－2
∴f(－2
＝[1－(－2
][(－2
＋8(－2
＋15] 22
＝(－8
－
－＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋83(－2)＋15]
＝－3(4－16＋15)
＝－9.
f(－2
＝[1－(－2
2][(－2
2＋8(－2
＋15]
＝(－8
＋
＋＝80－64＝16.
故f(x)的最大值为16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA＝3?2
117?2cos 30??. 424
故PA
. (2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA
中，由正弦定理得sin?，
?sin150?sin(30???)
α＝4sin α.
所以tan α
tan∠PBA
18．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直． ????????以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0
0)，C(0,0
，B(－1,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
?????????????则BC＝(1,0
，BB1＝AA1＝(－1
0)，AC1＝(0
，
．
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??n?BC?0,??x?0,则?????即?可取n＝
1，－1)．
??n
?BB1?0,???x??0.????n?AC1故cos〈n，AC〉＝＝. ?15n
AC1
所以A1C与平面BB1C1C
所成角的正弦值为. 5
19．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以
P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝41113????. 161616264
411111??，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝. 161616164
(2)X可能的取值为400,500,800，并且 P(X＝400)＝1?所以X的分布列为
EX＝400?1111+500?+800?＝506.25. 16164
20．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x
，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，
x2y2
?=1(x≠－2)． 其方程为43
(2)对于曲线C
上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
22所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)＋y＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝若l的倾斜角不为
90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则
4,0)，所以可设l：y＝
k(x＋4)
．
由l与圆M解得k＝?|QP|R可求得
Q(－?，|QM|r1， x2y2x??=1， 当k时，将y?43并整理得7x＋8x－8＝0，
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7
所以|AB|
x2?x1|?
当k?18. 718时，由图形的对称性可知|AB|＝. 718综上，|AB|＝|AB|＝. 7
21．
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
x而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
2x(2)由(1)知，f(x)＝x＋4x＋2，g(x)＝2e(x＋1)．
x2设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke(x＋1)－x－4x－2，
xx则F′(x)＝2ke(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(ke－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
2①若1≤k＜e，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即
F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)． 而F(x1)＝2x1＋2－x12－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
22x－2②若k＝e，则F′(x)＝2e(x＋2)(e－e)．
从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．
而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
2－2－22③若k＞e，则F(－2)＝－2ke＋2＝－2e(k－e)＜0.
从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
2综上，k的取值范围是[1，e]．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
(1)证明：连结DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB
⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF23． . ?x?4?5cost,22解：(1)将?
消去参数t，化为普通方程(x－4)＋(y－5)＝25，
?y?5?5sint
即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0.
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将?
2?x??cos?,22代入x＋y－8x－10y＋16＝0得 ?y??sin?ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
2ρ－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
22(2)C2的普通方程为x＋y－2y＝0.
?x2?y2?8x?10y?16?0,由?2 2?x?y?2y?0
?x?1,?x?0,解得?或? y?2.?y?1?
π??π?所以C1与C2
交点的极坐标分别为?，?2,?. 4??2?24．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
1??5x,x?,?2?1?则y＝??x?2,?x?1, 2??3x?6,x?1.??
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈???a1?,?时，f(x)＝1＋a. ?22?
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
?a1?,?都成立． ?22?
a4故?≥a－2，即a?. 32
4??从而a的取值范围是??1,?. 3??所以x≥a－2对x∈??
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