函数图像变换及对称性

常见图像变化规律：(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)

1. 平移变换：y?f(x) → y?f(x?a)，y?f(x)?b

注意：(1) 有系数，要先提取系数。如：把函数y?f(2x)经过______平移得到函数y?f(2x?4)的图象。

?(2) 会结合向量的平移，理解按照向量a??m,n?平移的意义。

2. 对称变换

y?f(x) → y?f(?x)：关于y轴对称y?f(x) → y??f(x)：关于x轴对称

y?f(x) → y??f(?x)：关于原点中心对称y?f(x) → y?f(|x|)：把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称(注意：它是一个偶函数)

y?f(x) → y?|f(x)|：把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

如：y?f(x)的图象如图，作出下列函数图象：

(1)y?f(?x)；

(3)y??f(?x)；

(5)y?|f(x)|； (2)y??f(x)； (4)y?f(|x|)；(6)y?f(2x)；

(8)y?f(x)?1；(9)y?f?1(x)。 (7)y?f(x?1)；

3. 伸缩变换：y?f(x) → y?f(ωx)

y?f(x) → y?Af(ωx?φ)?B 具体参照三角函数的图象变换。

???如：把函数y?sinx经过________平移得到函数y?4sin?2x???9的图象。(“先?后?”或“先?后?”) 6??

4. 几个重要结论：

(1) 曲线C1：f(x,y)?0关于y?x?a (y??x?a)的对称曲线C2的方程为f(y?a,x?a)?0 (或f(?y?a,?x?a)?0)；

(2) 曲线C1：f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a?x,2b?y)?0；

(3) 若函数y?f(x)对x?R时，f(a?x)?f(a?x)恒成立，则y?f(x)图像关于直线x?a对称；

(4) 函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于直线x?

11. 常见的图象变换

?x①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。如设f(x)?2,g(x)a?b对称； 2

的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))

②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（1）若

（2）要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgxf(x?199)?4x2?4x?3，则函数f(x)的最小值为____(答：2)；

关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

③函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；

④函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向下平移a个单位得到的；如将函数

b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线y?x对称,那么 x?a

(A)a??1,b?0(B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R(答：

C) y?

⑤函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的1得到的。如（1）将函数y?f(x)的a

图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；（2）如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是____(答：x??⑥函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

12. 函数的对称性。

①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?131)． 2a?b对称。如已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)2

12满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，则f(x)＝_____(答：?x?x)； 2

②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?；

④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；

⑤点(x,y)关于直线y??x?a的对称点为(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方程为f(y,x)

?0；点(x,y)关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的对称曲线的方程为

x?33,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称图像是f(?y,?x)?0。如己知函数f(x)?2x?32

x?2）； C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：y??2x?1

⑥曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a?x,2b?y)?0。如若函数y?x2?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x?7x?6） ⑦形如y?(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x?? 2cx?dc

(由分母为零确定)和直线y?(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(?,)。如已知函数图象C?与ccc

C:y(x?a?1)?ax?a2?1关于直线y?x对称，且图象C?关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称（答：y轴）

提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称

x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,?1)a?x

3成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是y?x?x,将C沿x轴, y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如（1）已知函数f(x)?

①写出曲线C1的方程（答：y?(x?t)?(x?t)?s）；②证明曲线C与C1关于点A?

补充：1。若函数f(x)?x3?ax2?bx的图象关于(1,1)点对称,求a,b的值

2.设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f(x),g(x)的图象关于直线x?1对称,且当x?[2,3]

3时,g(x)?2(x?1)?4(x?2) 求f(x)的表达式 3?ts?,?对称。 2?2?

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