2016 年竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 一、知识精讲
1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：
①a2?b2?2ab(a,b?R)，当且仅当a?b时等号成立。
②a?b?ab(a,b?R*)，当且仅当a?b时等号成立。 2
2.最值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P，则：
①如果P是定值, 那么当x?y时，S的值最小；
②如果S是定值, 那么当x?y时，P的值最大。
注意：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
1.均值不等式：设a1,a2,a3,?an是n个正实数，
记Qn?，An?a1?a2???an，
n
Gn?Hn?n
????a1a2an，则Qn?An?Gn?Hn，其中等号成立的
条件是a1?a2???an。Qn,An,Gn,Hn分别称为平方平均、算术平均、几何平均、
调和平均。
2.柯西不等式：
柯西不等式的二维形式：若a,b,c,d都是实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)，当且仅当ad?bc时，等号成立。 柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,...,an，b1,b2,b3,...,bn是实数，则 222222(a1?a2?...?an).(b1?b2?...?bn)?(a1b1?a2b2?...?anbn)2，当且仅当bi?0
(i?1,2,...,n)或存在一个数k，使得ai?kbi(i?1,2,...,n)时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论：
（1）当b1?b2??bn?1时，
2柯西不等式即为22n(a12?a???)a?a(??2an1an，若)ai?R?（i?1,2,?n），
则
a1?a2???an，此即上面提到的平方平均?算术平均。 n
（2）当bi?
（3）当1111（i?1,2,?n）时，有(a12?a22??an2)(2?2??2)?n2。 aia1a2anai,bi?R?（i?1,2,?n），则?a1a2an?2??????
b1?b2???bn??。 bn??b1b2
4.排序不等式（又称排序定理）：
给定两组实数a1，a2，?，an；b1，b2，?，bn．如果a1?a2???an；b1?b2???bn．那么
a1bn+a2bn?1??+anb1?a1bi1+a2bi2??+anbin?a1b1+a2b2??+anbn
（反序和） （乱序和） （同序和） 2，??，n的一个排列． 其中i1，i2，??，in是1，
n
该不等式所表达的意义是和式?ajbij在同序和反序时分别取得最大值和最小j?1
值．
二、竞赛题目精练
1
?b?1. 证明：2(b?a)?cos?a?cos?b．
2
证明：设f (x) ? 2x+cos?x，欲证不等式转化为f (b) ≤ f (a). 【2013江苏竞赛】13. 设实数a，b满足0?a?由于f ′(x) ? 2??sin?x，f ″(x) ? ? ?2cos?x.
11
)时，f ″(x) ? ? ?2cos?x＜0，当x∈(,1)时，f ″(x) ? ? ?2cos?x＞0， 22
11
所以f ′(x)在区间[0,]上单调减，在区间[,1]上单调增.
22
11
因为f ′(0) ? f ′(1) ? 2和f ′() ? 2??＜0，所以存在?和?，0＜?＜＜?＜1，使得f ′(?) ? f ′(?)
22
? 0，f ′(x)＜0当且仅当x∈(?,?). .......................................................10分 当x∈(0,
于是函数f (x)在区间[0,?]和[?,1]上单调增，在区间[?,?]上单调减.
111
) ? f (1) ? 1，故对于x∈[0,]有f (x)≥1，对于x∈[,1]有f (x)≤1. 特别地，222
f (b) ≤ 1 ≤ f (a). .......................................................20分 因为f (0) ? f (
三、典例精讲
例1.证明柯西不等式
?证法一：若a1?a2???an?0，则柯西不等式
(a12?a22???an2)(b12?b22??bn2)?(a1b1?a2b2???anbn)2显然成立。 若ai不全为零，（i?1,2,?n），
令f(x)?(a12?a22??an2)x2?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b12?b22??bn)2。 一
方
面
2
，因
f(?
2
1
x)?
1
(a?
1
?n
2
x2
1?
n
a)
?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2???(anx?bn)2?0 （*） 另一方面，由a12?a22???an2?0，f(x)?0恒成立
???[2(a1b1?a2b2??anbn)]2?4(a12?a22??an2)(b12?b22??bn2)?0
此即柯西不等式。?(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a22???an2)(b12?b22??bn2)，由(*)知等号成立的条件为ai??bi（i?1,2,?n）。 ?证法二：
?
将平面向量、空间向量推广到n维向量。令a?(a1,a2,?,an)，
?
b?(b1,b2,?bn)，
??????????
a?b?a1b1?a2b2???anbn。a?b?|a|?|b|cos(a,b)，由于|cos(a,b)|?1，
???
?故a?b?|a|?|b|?|a1b1?a2b2??anbn|?
?(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a22???an2)(b12?b22???bn2)
??
等号成立的条件是a,b共线，即ai??bi（??R）
?注：柯西不等式的证明方法很多，有十几种，以上两种方法是中学生比较容易接受的。
a2b2
??8 . 例2.证明：对任意实数a>1,b>1， 有
b?1a?1
?分析：由对称性，容易算出当a?b?2时等号成立，此时
a2b2
?4(b?1)??4(a?1)?4 b?1a?1
a2?
证明：?4(b?1)?
b?1
a2
?4(b?1)?4a即
b?1
b2
?4(a?1)?4b 同理
a?1
a2b2
??8，a?b?2时等号成立． 两同向不等式相加得
b?1a?1
?说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性． ?链接：本题可以稍作引申：
a2b2c2
???12 当a＞1、b＞1、c＞1时，证明：
b?1c?1a?1
1
的最小值是_____
b(a?b)
例3.设a＞b＞0，那么a2?
?分析：本题取自人教社版课本的一个习题（第二册（上）），题中有两个变量a，b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和a?b之和为a，因式
b(a?b)?b?a?ba? 22
a14??2 2b(a?b)a?解：(a?b)?
a2?411?a2?2?4，因此a2?的最小值是4． ab(a?b)b(a?b)
?a?
当?时取得最小值． ??b???说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．
?链接：如果题目变为a＞b＞
0，求a2的最小值，你会做吗？ ab?，求f(x)的最小值. x1?x
?分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻ab找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和，可看作x1?x例4. a、b为正的常数，0?x?1，f(x)?
22，如再能出现b12、b2，则可用，注意到1?x?x?1. a12、a2
?解法一：用柯西不等式 ababab2??(x?1?x?)?(x.??x.)?(a?b)2， x1?xx1?xx1?x
因此f(x)min?(a?)2，当且仅当a
x.x?b
?x?x，即x?a
a?时，
取得最小值。
?解法二：用平均值不等式 ababa(1?x)bx??(x?1?x)(?)?a?b???a?b?2ab，同时 x1?xx1?xx1?x
可以算得，当且仅当a(1?x)bx?时，即x?x1?xaa?时取得最小值。 ?说明：解法一和解法二都作了凑配1?x?x?1，凑配之后，才能用上相应的不等式。
1例5. （2011复旦千分考）设n是一个正整数，则函数x?n在正实半轴上的最nx
小值是（ ）。
n?1n?2n?1n（B）（C） （D） nn?1nn?1?分析与解：
由n?1个正实数的算术平均根≥几何平均数，
即a1?a2??n?a1?
1n?1（A）
x?11111n?1?x?x???x??(n?1)，等号成立当且仅当nnxn???nnnnxn??????
n个
11x?n,x?1时， nnx
故选C。
例6. （2002交大）若a,b满足关系
：?1，则a2?b2?。
?分析与解：
由柯西不等式
，1?(?(a2?1?a2)(b2?1?b2)?1，
当a2?b2?1。 ?a例7. （2009南大）P为?ABC内一点，它到三边BC,CA,AB的距离分别为
abc(a?b?c)2
（这里a,b,c分别d1,d2,d3，S为?ABC的面积。求证：???d1d2d32S
表示BC,CA,AB的长）。
?分析与解：
如图2-1，易见S?111ad1?bd2?cd3。 222由柯西不等式，(ad1?bd2?cd3)(abc??)?(a?b?c)2 d1d2d3abc??)?(a?b?
c)2d1d2d3?2S(
abc(a?b?c)2
。 ????d1d2d32S例8. （2010浙大）有小于1的正数x1,x2,?xn，且x1?x2?x3??求证： ?x?1。n
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