第三讲函数
一、基础知识
定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
定义2单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x?y, 都有f(x)?f(y)则称之为单射。 定义3满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。
定义4一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。
定义5函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.
定义6反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=11的反函数是y=1-(x?0). 1?xx
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7函数的性质。
（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x-)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义8如果实数a<b，则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤
b,x∈
R}
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=
∞,2）上是减函数，y=1, u=2-x在（-2?x11在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。 u2?x
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，
求导之后是显然的。
二、方法与例题
1．数形结合法。
例1 求方程|x-1|=
1的正根的个数. x
例2 求函数f(x)=x?3x?6x?13?
2函数性质的应用。 42x4?x2?1的最大值。
2??(x?1)?1997(x?1)??1例3 设x, y∈R，且满足?，求x+y. 3??(y?1)?1997(y?1)?1
例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。
例5 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
例6 解方程：(3x-1)(9x2?6x?5?1)+(2x-3)(4x2?12x?13+1)=0.
3.配方法。
例7 求函数y=x+2x?1的值域。
4．换元法。
例8 求函数y=(?x+?x+2)(?x2+1),x∈[0,1]的值域。
5．判别式法。
x2?3x?4例9 求函数y=2的值域。 x?3x?4
6．关于反函数。
例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。
例11 设函数f(x)=
三、基础训练题 4x?1，解方程：f(x)=f-1(x). 3x?2
1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。
2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。
3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。
4．函数y=f(x)的值域为[,34]，则函数g(x)=f(x)+?2f(x)的值域为_______。 89
5．已知f(x)=1，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 x?1
6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。
1，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。 2
8．若函数y=?(x)存在反函数y=?-1(x)，则y=?-1(x)的图象与y=-?(-x)的图象关于直线7．设y=f(x)在定义域（_______对称。
9．函数f(x)满足f?111?x?1??=1-?2，则f()=_______。 xxx?x?
10. 函数y=x?1?x?1, x∈(1, +∞)的反函数是_______。
x?1; (2)y=x?11．求下列函数的值域：（1）y=x?2?1
x?x?1?1; x
(3)y=x+2x?1; (4) y=x?1.x2?2
12. 已知y?f(x)定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。
四、高考水平训练题
1．已知a∈???1?,0?, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 2??
2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。
3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，这样的映射f有_______个。
4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q的关系为：P_______Q（填=、?、?）。 ??
5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)1?x；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) 1?x
?(x)=x2?1??x2；（4）y=x?1?x?1.
6. 设函数y=f(x)(x∈R且x?0)，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-1)≤0的解集为_______。 2
7．函数f(x)=??x
??xx?P，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P}, x?M
f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=?，则f(P) ∩f(M)=?；②若P∩M??，则f(P) ∩f(M)??；③若P∪M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪M?R，则f(P) ∪f(M)?R. 其中正确的判断是_______。
8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _______。
9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=1?2f(x)?[f(x)]2，求证：f(x)为周期函数。
4x?t（,1）求f(α)、x2?111．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=
f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：
?x1??x2?f??x?x2?1
??????x1??x2??f??x?x??<2|α-β|. 2?1?
五、联赛一试水平训练题
1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________.
2．若a>0，a?1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)?1??1??是________（奇偶性）.x?a?12?
3．若F??1?x??1?x?则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= F??=x，?；1?x1?x????③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________.
5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________.
6. 函数f(x)=1
x?2x?32的单调递增区间是________.
7. 函数f(x)=xx?的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。 1?2x2
8. 函数y=x+x2?3x?2的值域为________.
9．设f(x)=??1
?x?1x?[1,2], x??2,3?
对任意的a∈R，记V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
?1?x2?y?10．解方程组：?1?y2?z. （在实数范围内）
?1?z2?x?
11．设k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+, 都有2kk?1n. n≤f(n)≤k?12
六、联赛二试水平训练题
1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f??；
（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f?f(x)??1??x??
?1??=1，试求f
(1). x?
7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=??n?3
?f[f(n?5)](n?1000)，求f(100)的值。 (n?1000)
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