2016 年竞赛与自主招生专题第六讲 导数与积分 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。
一、知识精讲
一．导数的定义：设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若极限limf(x)?f(x0)（*）存在，则称函数f在点x0可导，并称其极限值为函数f在x?x0x?x0
x0的导数，记作f'(x0)。
若令x?0x?,?x?y(?0f
?x?0x?)?x(0，?f)则x（*）式可改写为limf(x0??x)?f(x0)?y?lim ?x?0?x?x
?f'(x0)。
二．导数的几何意义：
函数f在点x0的导数f'(x0)是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。若?表示这个切线与x轴正向的夹角，则f'(x0)?tan?。
三．基本求导法则：
(cu)'?cu（'c①(u?v)'?u'?v'；②(uv)'?u'v?uv'，
为常数）； v'dy1?u?u'v?uv'?1?③??'?；④反函数导数； ,'?????22dxvvvvdx????
dy
⑤复合函数导数dydydu??。 dxdudx
四．基本初等函数导数公式
①(c)'?0（c为常数）；②(xa)'?axa?1（a为任何实数）；
③(sinx)'?cosx，(cosx)'??sinx， (tanx)'?sec2x，(cotx)'??csc2x， (secx)'?secxtanx，(cscx)'??cscxcotx；
④(arcsinx)'??(arccosx)'?
1； 1?x2x|?1)， (arctanx)'??(arccotx)'?
⑤(ax)'?axlna,(ex)'?ex； ⑥(logax)'?11,(lnx)'?。 xlnax
五.原函数：设f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)，对任意x?D都有F'(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)?C表示f(x)的全体原函数.
六．不定积分：设F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)?C为f(x)的不定积分。记为?f(x)dx，即?f(x)dx?F(x)?C。
七.不定积分的性质：
①??f(x)dx?'?f(x)； ②?f'(x)dx?f(x)?C，
③?kf(x)dx?k?f(x)dx， ④?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。
八．常见积分公式
ax， dx?x?C?dx??1a?1x?C， a?1
11xxdx?ln|x|?Cadx?a?C， ， ?x?lna
xxedx?e?C， ?sinxdx??cosx?C， ?
?cosxdx?sinx?C， ?
1?sin2xdx??cotx?C。 1?tanx?C， cos2x
九．函数的单调性：若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内递增（递减）的充
(,b)要条件是f'(x)?0（f'(x)?0），x?a。
竞赛题目精练
【2012年江苏】12. 已知a,b为实数，a?2，函数f(x)?|lnx?
f(1)?e?1,f(2)?
e
?ln2?1. 2
a
.若|?b(x?0)
x
（1）求实数a,b；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）若实数c,d满足c?d,cd?1，求证：f(c)?f(d).
解：（1）由题设f (1) ? e + 1，f (2) ??ln2 + 1得|a| + b ? e + 1，|ln2?| + b ?? ln2 + 1，
因为a > 2，所以a > 2ln2，从而a + b ? e + 1，且+ b ?+ 1， 解5分
（2）由（1）得f (x) ? |lnx?| + 1.
因为lnx，?在(0,+∞)上均单调递增，lne ?? 0. 令g(x) ? lnx ?，所以有
当x > e时，g(x) > g (e) ? 0，从而f (x) ? lnx ?+ 1单调递增； 当0 < x < e时，g(x) < g (e) ? 0，从而f (x) ? lnx?+ 1单调递减. 故
e
xex
exex
a2
e2
e2
e2a2
得a ? e，b ?
1. ..........................................................
ex
ee
f (x)的单调递减区间为(0,e)；单调递增区间为(e,+
1c
∞). ................................ 15分 （3）因为c > d，cd ? 1，所以d?，c > 1，
于是f (c) ? |? lnc| + 1，f (d) ? f () ? |ec + lnc| + 1 ? ec + lnc + 1.
又因为当c > 1时，ec + lnc > lnc +> |lnc?|，所以f (c) < f (d). 三、典例精讲
例1．已知f(x)在x?a处可导，且f'(a)?b，求下列极限：
f(a?h2)?f(a)f(a?3h)?f(a?h)
（1）lim； （2）lim
h?0h?02hh
e
c
ec
ec
1c
?分析：在导数定义中，增量?x的形式是多种多样，但不论?x选择哪种形式，?y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x?a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
f(a?3h)?f(a?h)f(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h)?lim?解答：（1）lim h?0h?02h2h
f(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?limh?0h?02h2h
3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a) ?lim?lim2h?03h2h?0?h
31?f'(a)?f'(a)?2b22?lim
?f(a?h2)?f(a)?f(a?h2)?f(a)（2）lim?lim?h? 2h?0h?0hh??
f(a?h2)?f(a)?lim?limh?f'(a)?0?0h?0h?0h2
,)练习1：若函数y?f(x)在区间(ab内可导，且x0?(a,b)则
f(x0?h)?f(x0?h)lim h?0h
的值为（ ）
A．f'(x0) B．2f'(x0) C．?2f'(x0) D．0 ?答案：B
f(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0?h)?lim2[] ?解答：limh?0h?0h2h
f(x0?h)?f(x0?h)?2f'(x0)?2limh?02h
练习2：（2000上海交大）已知f(x)在x0处可导，则
f2(x0?3h)?f2(x0?h)lim? h?0h
?答案：8f'(x0)f(x0)
?解答：由导数定义知 f2(x0?3h)?f2(x0?h) limh?0h ?lim4h?0(f(x0?3h)?f(x0?h))(f(x0?3h)?f(x0?h)) 4h
f(x0?3h)?f(x0?h)(f(x0?3h)?f(x0?h)) (x0?3h)?(x0?h) ?lim4h?0
?4f'(x0)?2f(x0)?8f'(x0)f(x0)。
例2．求函数y?(x?a)(x?b)(x?c)的导数。
?解答：y'?(x?a)'(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)'(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)' ?(x?b)(x?c)?(x?a)(x?c)?(x?a)(x?b)
练习3.f(x)?ax3?3x2?2,若f'(?1)?4,则a的值等于（ ）
A．19161310B． C． D． 3333
?答案：D
?解答：f'(x)?3ax2?6x,f'(?1)?3a?6?4,a?
例3．函数y?
'10 3sinx的导数为_________________； x(sinx)'x?sinx?(x)'xcosx?sinx??解答： y? x2x2
例4．求函数y?(1?cos2x)3的导数。
?解答：y?(1?cos2x)3?(2cos2x)3?8cos6x
y'?48cos5x?(cosx)'?48cos5x?(?sinx)
??48sinxcos5x。
例5．观察(xn)??nxn?1，(sinx)??cosx，(cosx)???sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
f(x??x)?f(x)?f?(x) ?解答：若f(x)为偶函数 f(?x)?f(x) 令lim?x?0?x
f(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?lim f?(?x)?lim ?x?0?x?0??x??x
f(x??x)?f(x)??f?(x) ?lim??x?0??
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：f??[f(?x)]??f?(?x)?(?x)???f?(x)
例6．求证下列不等式
x2x2
（1）x? x?(0,??)（相减） ?ln(1?x)?x?22(1?x)
（2）sinx?2x
? x?(0,?
2)（相除）
（3）x?sinx?tanx?x x?(0,?
2)
x21x2?1?1?x??0 ?证明：（1）f(x)?ln(1?x)?(x?) f(0)?0 f?(x)?21?xx?1
∴ y?f(x)为(0,??)上? ∴ x?(0,??) f(x)?0 恒成立
x2x2
∴ ln(1?x)?x? g(x)?x??ln(1?x) g(0)?0 22(1?x)
4x2?4x?2x212x2
g?(x)?1????0 221?x4(1?x)4(1?x)
x2
∴ g(x)在(0,??)上? ∴ x?(0,??) x??ln(1?x)?0恒成立2(1?x)
（2）原式?sinx2?? 令 f(x)?sinx/x x?(0,) cosx?0 x?tanx?0 x?2
cosx(x?tanx)???f(x)?0∴ f?(x)? ∴ (0,)? x?(0,)x222
?22x f()? ∴ sinx? 2??
（3）令f(x)?tanx?2x?sinx f(0)?0
(1?cosx)(cosx?sin2x)f?(x)?secx?2?cosx? 2cosx2
x?(0,?
2) f?(x)?0 ∴ (0,?
2)?
∴ tanx?x?x?sinx
例7．已知函数f(x)?x，g(x)?ln(1?x)，h(x)?
（1）证明：当x?0时，恒有f(x)?g(x);
（2）当x?0时，不等式g(x)?
kx(k?0)恒成立，求实数k的取值范围; k?xx. 1?x
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