2016 年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分应用 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。
一、知识精讲
一．定积分：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b。把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为?xi?xi?xi?1(i?1,2?)并作和S??f(fi)?xi，记??max??x1,?x2,??xn?，如果不论对[a,b]
i?1n
怎样的分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点fi怎样的取法，只要当??0时，和S趋于确定的
b]极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,上的定积分，记为
?f(f)?x。 ?f(x)dx?I?lim?a?0ii
i?1bn
二．定积分存在定理：
①当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，则f(x)在区间[a,b]上可积；
②设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
三．定积分的几何意义：
b
f(x)?0时，?f(x)dx?A，则A表示f(x)的图像与x?a,x?b及x轴围成的曲边梯形面
a
积；
b
若f(x)?0，令?f(x)dx??A，则?A表示f(x)的图像与x?a,x?b及x轴围成的曲边梯
a
形面积的负值。
四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式
b
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F'(x)?f(x)，则?f(x)dx?F(b)?F(a)。若
a
记
b
F(b)?F(a)?F(x)|，则?f(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)。
a
b
a
牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。
五．洛必塔法则：设（1）如果当x?a时，函数f(x),g(x)都趋于零；（2）在?(a,?)内，
f'(x),g'(x)都存在，且g'(x)?0；（3）极限lim
x?a
f'(x)f(x)
存在（或为无穷大）；则lim存在，
x?ag(x)g'(x)
且lim
x?a
f(x)f'(x)
?lim。 g(x)x?ag'(x)
上述准则称为洛必塔法则。
六．二次曲线在某点处的切线方程：
①设P(x0,y0)是圆x2?y2?R2上一点，则过P(x0,y0)的圆切线方程为x0x?y0y?R2；
xxyyx2y2
②设P(x0,y0)是椭圆2?2?1上一点，则过点P(x0,y0)的椭圆切线方程为02?02?1；
ababxxyyx2y2
③设P(x0,y0)是双曲线2?2?1上一点，则过P(x0,y0)的双曲线切线方程为02?02?1；
abab
④设P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则过P(x0,y0)的抛物线切线方程为y0y?p(x?x0)； 七．函数的单调性：若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内递增（递减）的充要条件是
f'(x)?0（f'(x)?0）(,b)，x?a
。
八．函数的极值：
1.定义： 已知函数y?f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有
f(x)＜f(x0)
则称函数y?f(x)在点x0处取得极大值，记作y极大值?f(x0)，并把x0称为函数y?f(x)的一个极大值点；如果都有
f(x)＞f(x0)
则称函数y?f(x)在点x0处取得极小值，记作y极大值?f(x0)，并把x0称为函数y?f(x)的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 注意：
（1）.函数y?f(x)的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；
（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。
2.极值的必要条件：若函数f在x0可导，且在x0处取得极值，则f'(x0)?0。
九．两个重要的极限：
sinx1
?1， 2. lim(x?)x?e 1.lim
x?0x??xx
三、典例精讲
例1．（2011复旦）设a为正数，f(x)?x3?2ax2?a2，若f(x)在区间(0,a)上大于0，则a的取值范围是（ ）。
（A）(0,1] （B）(0,1) （C）(1,??) （D）[1,??) ?答案：A
?分析与解：f'(x)?3x2?4ax，当x?(0,a)时，f'(x)?0，所以f(x)在(0,a)上单调递减，所以f(x)在(0,a)上大于0，当且仅当f(a)?0，即a3?2a3?a2?0,0?a?1。
例2．（2011“华约”）已知y?x3?x2?2x?1，过(?1,1)的直线与该函数图像相切，且(?1,1)不是切点，求直线斜率。
?分析与解：显然(?1,1)在y?x3?x2?2x?1的图象上。设切点为(x0,x03?x02?2x0?1)，
(x03?x02?2x0?1)?1x0(x02?x0?2)
所以k?3x0?2x0?2。另一方面，k? y'?3x?2x?2，?
x0?(?1)x0?1
2
2
?x0(x0?2)。所以x0(x0?2)?3x02?2x0?2，2x02?2,x0??1，而x0??1，所以x0?1，所以
k??1。
x3???
例3．（2010南开）求证：sinx?x?,x??0,?。
6?2?
1x3??????分析与解：令f(x)?sinx?x??x??0,??，则f(0)?0.f'(x)?cosx?1?x2， 26??2??f''(x)??sinx?x。 ?????由三角不等式x?sinx?x????，由f''(x)?0知f'(x)单调递增。又f'(0)?0，故?2???
f'(x)?0，从而f(x)单调递增。
x3
所以，f(x)?f(0)?0，即sinx?x?。得证。 6
x3x3x5x7
?注：在高等数学中sinx的泰勒展开式为：sinx?x?????(???x???)。x?63!5!7!为其前两项。
例4．（2003复旦）已知过两抛物线C1:x?1?(y?1)2,C2:(y?1)2??4x?a?1的交点的各自的切线互相垂直，求a。
2??x?1?(y?1),?分析与解：联立?
2???4x?a?1?(y?1)
?a?a得交点坐标为??5,1或??5,1?。
?
??a,1由对称性，不妨设切线在?处互相垂直。 ?5?
对C1求导，有：2(y?1)y'?1,y'?11； 2y?1
?2。
y?1对C2求导，有：2(y?1)y'??4,y'?
??????1?a?0。 例5．（2009清华）一元三次函数f(x)的三次项系数为a，f'(x)?9x?0的解集为(1,2)。 3
（1）若f'(x)?7a?0有两个相等实根，求f'(x)的解析式；
（2）若f(x)在R上单调递减，求a的范围。 ?分析与解：设f(x)?a3x?bx2?cx?d3，则f'(x?)2a?x2?，bxcf'(x)?9x?ax2?2bx?c?9x
?a?2b?c?9?0,a?0 f'(x)?9x?0的解集为(1,2)，故有，且?得2b??3a?9,c?2a。 4a?4b?c?18?0,?
（1）f'(x)?7a?ax2?(3a?9)x?9a?0，f'(x)?7a?0有两个相等实根，??(3a?9)2?36a2?0
整理得a2?2a?3?0,a??1或a?3（舍去），2b??6,c??2，所以f'(x)??x2?6x?2。
（2）f'(x)?ax2?2bx?c?ax2?(3a?9)x?2a，要使f(x)在R上单调递减，只需ax2?(3a?9)x
?2a?0在R上恒成立即可，故只需
?a?0,?a?0,?a?0,?
????22???0?(?3a?9)?4a?2a?0?a?54a?81?0
解得?27??a??27?a
的范围为?27??a??27?
例6．（2010武大）已知f(x)是定义在区间(0,??)上的可导函数，满足f(x)?0，且f(x)?f'(x)?0。
（1）讨论函数F(x)?exf(x)的单调性；
（2）设0?x?1，比较函数xf(x)与1?1?f??的大小。 x?x??分析与解：（1）由于F'(x)?exf(x)?exf'(x)?ex(f(x)?f'(x))?0。所以F(x)在(0,??)上单调递减。
（2）当0?x?1时，有xf(x)?1?1?f??。证明如下： x?x?
11?x11??x注意到，当0?x?1时，x?，故由（1）可得ef(x)?exf??，即f(x)?exfx?x??1? ??。?x?
1?xx下证e?11?x?2lnx?0。 ，即证xx2
为此，考虑函数g(x)?1?x?2lnx,0?x?1。 x
'12(x?1)2
?0， 因为，当0?x?1时，有g(x)??2?1???2xxx
所以g(x)在(0,1)上单调减少，故g(x)?g(1)?0，即e
1?1?1?1?，即fxf(x)?f??。 ??x2?x?x?x?1?xx?1。 x2于是f(x)?
例7．（2011“卓越联盟”）（1）设f(x)?xlnx，求f'(x)；
1（2）设0?a?b，求常数C，使得|lnx?C|dx取得最小值； b?a?a
（3）设（2）中的最小值为ma,b，证明ma,b?ln2。
?分析与解：（1）f'(x)?lnx?x?1?lnx?1； x
b（2）若C?lna，则|lnx?C|?lnx?C，显然，当C?lna,lnx?C取最小；
若C?lnb，则|lnx?C|?C?lnx，当C?lnb,C?lnx取最小。 故不妨设lna?C?lnb。 1b|lnx?C|dx ?ab?a
b1?ec?(C?lnx)dx?(lnx?C)dx ? c???eb?a??a?
b1?ec?((C?1)?(lnx?1))dx?((lnx?1)?(C?1))dx ?。 c????aeb?a??
由（1）知?((C?1)?(lnx?1))dx??(C?1)dx??(lnx?1)dx?(C?1)(eC?a)?xlnx|e
a， aaa
C因?C((lnx?1)?(C?1))dx??C(lnx?1)dx??C(C?1)dx?xlnx|bC?(C?1)(b?e)， eeeebbbecececC
1b1C|lnx?C|dx?(alna?blnb?2e?aC?bC?a?b) （*） 所以?ab?ab?a
记g(C)?alna?blnb?2eC?(a?b)C?(a?b)，
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