2016 年竞赛与自主招生专题第十讲数列的极限与数列综合从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。
一、知识精讲
一．数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列?an?的项an无限地趋近于某个常数a，那么就说数列?an?以a为极限.
注：a不一定是?an?中的项.
二．几个常用的极限：（1）limC?C（C为常数）; n??
（2）lim1?0 n??n
n??（3）limqn?0（q＜1）.
ank?ba（4）limk?（k?N*，a、b、c、d?R且c?0） n??cn?dc
?1， a?ba?b??（5）limn?0， a?bn??a?bn??1， a?b?nn
三．数列极限的四则运算法则：设数列?an?、?bn?，当liman?a,limbn?b时： n??n??
lim(an?bn)?a?bn??
lim(an?bn)?a?b n??
limana? （b?0） n??bbn
四．无穷等比数列：若无穷等比数列a1,aq,?,aqn?1?有q?1，其所有项的和（各项的和）为：S?limSn?n??a1． 1?q
五．常见的数列极限可以归纳为两大类:
第一类是两个关于自然数n的多项式的商的极限:
limn???aaknk?ak?1nk?1???a1n?a0?,当l?k时;*?(k,l?N,ak?0,bl?0) b?ll?1bln?bl?1n???b1n?b0??0，当l?k时.
当k?l时,上述极限不存在.
第二类是关于n的指数式的极限:
?0,当|q|?1时； limqn??
n???1，当q?1时
当|q|?1或q??1时,上述极限不存在.
?1??1?一．特殊数列的极限：an??1??，an??1?? ?n??n?
1an
?0(a?0)；（1） lima?0(a?0,a是常数）； （2） limn??nn??n!nn
nk?1?（3）limn?0（a＞1，k为常数）； （4） lim?1???e． n??an???n?n下面证明第四个公式
1?1??1?证明：令M??1??，取自然对数得到lnM?nln?1??，令x?，得n?n??n?n
lnM?ln(1?x)， x
ln(1?x)1?lim()?1，即limlnM?1 x?0x?0x?0x1?x
n由洛比达法则得lim?1?所以：limlnM?1，则limM?e，即lim?1???e． n??n??n???n?
n???1???另外，数列??1???是单调递增的，理由如下：由Gn?1?An?1(n?1个正实???n???
数的几何平均数
?它们的算术平均数）有
?1?n?1???1n?1?11?n?????1?，所以 n?1n?1n?11??1??1??1??????n??n?1?
nn?1。
二．夹逼定理：如果数列?xn?、?yn?以及?zn?满足下列条件：
2，3?）（1）从某项起，即当n＞n0（其中n0?N），有xn?yn?zn（n?1，；
（2）limxn?a且limzn?a； n??n??
那么数列?yn?的极限也存在，且limyn?a n??
三．分期付款问题： 分为两种类型：等额本金、等额本息。
等额本金是这样一种还款方式：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。这样，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，因此贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数额越来越少。
等额本金贷款计算公式：每月还款金额=（贷款本金?还款月数）+（本金-已归还本金累计额）×每月利率。
等额本息是这样一种还款方式：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）。
设贷款本金为a，月利率为r，还款月数为n，则每月还款额计算公式为：ar(1?r)n
。 n(1?r)?1
二、竞赛题目精练
例1．（2006复旦）设a
n是(2n的展开式中x项的系数（n?2,3,4?），则极?22232n?限lim??????（ ） n??aan??2a3
（A）15 （B）6 （C）17（D）8
?答案：D
?分析与解答：
(2?2?C?2(?C?2nn1
nn?12nn?2(??，故an?C?222
nn?22n,? an
48?2Cnn(n?1)
，所以
l
n?
?n2k
???k?2ak????
1??
?i??????????n??2?21??
。 ?????
3?n?
l
1
?
n
n
i
例2．（2009
清华）（1）求A,B； （2）求A2?B2?
n??
的整数部分为A，小数部分为B。 AB； 2
（3）求lim(B1?B2???Bn)。 ?分析与解答：
26?31
（1
，
????2?
422又0?
11。?
1，故A?2,B?
22
2
11（2
）A2?B2?AB?22???2?4?5。 2??2
（3）B?B???B?B?(1?B???B
2nn?1
1?Bn
)?B?，故lim(B?B2???Bn)?
n??1?B
?1?Bn?1?Bn
。 lim?B???B?limn??n??1?B?1?B?
B??ilBn0?，
又0?B?1，故m所以lim(B?B2??
?Bn)?n??n??1?B?
?
1
上的点与x轴上的点顺次构成等x
例3．（2000上海交大）如图所示，设曲线y?腰直角三角形OB1A1，
A1B2A2,?直角顶点在曲线y?
的面积之和是否存在。
?分析与解答：
1上。试求An的坐标表达式，并说明这些三角形x
1??y?,（因为x?0） ?x?x???y?x?An?1
An?An?1?(x?An?1)?2，即An2?An?12?4。又A1?2，故 An2?A12?(n?1)?4?
4n，即An?
第n
个三角形面积Sn?
22(An?An?1)?2?
4211111?????，而不存在极限（见第八讲习题??4n23n16），故
n1?11??1?????也不存在极限，?Si不存在极限。 4?2n?i?1
例4．（2002上海交大）A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷；若A掷不到一点，下次换B掷。对B同学同样适用该规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。
（1）求An?1与An的关系；
（2）求limAn。 n??
?分析与解答：
1525（1）An?1?An?(1?An)??An?，A1?1。 6636
251（2）解法一：两边同时取极限，设??limAn，则?????,??。 n??362
12 解法二：设An?1????(An??)，解得???。 23
112?1?11?2? An?1????An??，故An?1?????，limAn?。 n??223?2?22?3?n
例5．（2009北京理）已知数集A??a1,a2,?,an?(1?a1＜a2＜?＜
an,n?2)具有性
质P；对任意
的i、j(1?i?j?n)，aiaj与ai两数中至少有一个属于A. aj
（1）证明：a1?1，且a1?a2???an?an； ?1?1?1a1?a2???an
（2）证明：当n?5时，a1、a2、a3、a4、a5成等比数列. ?分析与解答： （1）∵A??a1,a2,?an?具有性质P，∴anan与于A，
由于1?a1?a2???an，∴anan? 从而1?an?A，∴a1?1.anan中至少有一个属ana，故anan?A.
∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?.
由A具有性质P可知an?A?k?1,2,3,?,n?. ak
又∵anaaa?n???n?n， anan?1a2a1
∴anaaa?1,n?a2,?n?an?1,n?an， anan?1a2a1
ananaa????n?n?a1?a2???an?1?an anan?1a2a1从而：
∴a1?a2???an?an. ?1?1a1?1?a2???an
a5a?a2,5?a3，即a5?a2a4?a32， a4a3（2）由（1）知，当n?5时，有
∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，
由A具有性质P可知
a4?A. a3
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