高一数学（必修1必修4）综合训练试题
注意事项：
1．本试卷满分100分，考试用时120分钟．2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内，答案写在试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题卡． ．．．．．．．．．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上． ．．．．．．．．．
1．已知全集U?{1,2,3,4}，集合A?{1,4}，B?{2,4}，则A?eUB=▲ ．
2．cos300?的值为▲ ．
π3．函数y?tan(2x?的最小正周期为 6
4．已知函数f(x)?x2?3x的定义域为{1,2,3}，则f(x)的值域为▲ ．
????5．已知向量a?(1,2)，b?(?2,?2)，则|a?b|的值为▲ ．
6．已知函数f(x)?ax?1?1(a?0,且a?1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为．
π7．若tan(??)?2，则tan?= 4
8
．函数f(x)?ln(4?2x)
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为cm2．
10．已知a?3，b?log3?1211，c?log1，则a,b,c按从大到小的顺序排列为223
11．已知函数f(x)?3sin(?x??)(??0,0≤??π)的部分图象如
图所示，则该函数的解析式为f(x)?▲ ．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，
????????????且CF?2DF．若AC??AE??AF，?,?均为实数，则
（第11题图）
???的值为▲ ．
13．已知f(x)是定义在R上且周期为6的奇函数，当x?(0,3)时，f(x)?lg(2x2?x?m).若函数f(x)在区间[?3,3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围 是▲ ．
???????????????????14．对任意两个非零的平面向量?,?，定义?和?之间的新运算?：????.
已知非???
1
?????????k?Z}中，且|a|≥|b|．设a零的平面向量a,b满足：a?b和b?
a都在集合{x|x????ππ与b的夹角??(,)，则(a?b)sin?= ▲ ． 64
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字．．．．．．．
说明，证明过程或演算步骤.
15． 已知集合A?{x|?2≤x≤3}，B?{x|1?x?6}.（1）求A?B；（2）设C?{x|x??A且B,C的所有子集． ?xZ，写出集合}
16．已知cos??值．
45，cos(???)?，?,?均为锐角. （1）求sin2?的值；（2）求sin?的513
????7ni?co?s?为第二象限角．17．已知向量a?(sin?,1)，b?(cos?,?2)，（1）若a?b??，求s3
??3?cos2?的值； （2）若a∥b，求?3tan2?的值． sin2?
?
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y?ekx?b （e?2.718?为自然对数的底数，k,b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时.（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
2
119．已知函数f(x)?4?log2x，g(x)?log2x．（1）当x?(,8)时，求函数h(x)?f(x)?g(x)2
的值域；（2）若对任意的x?[1,8]，不等式f(x3)?f(x2)?kg(x)恒成立，求实数k的取值范围．
20．本题有A、B两道选做题.
A. 已知函数f(x)?x2?mx?|1?x2|(m?R)．（1）若m?3，求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在区间(0,2)上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．
111B．已知函数f(x)?2?(x?0)．（1）当0?a?b且f(a)?f(b)时，①求?的值；xab
②求12的取值范围；（2）已知函数g(x)的定义域为D，若存在区间[m,n]?D，当?a2b2
x?[m,n]时，g(x)的值域为[m,n]，则称函数g(x)是D上的“保域函数”，区间[m,n]叫做“等域区间”.试判断函数f(x)是否为(0,??)上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由.
3
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．
1．{1} 2．1π1 3． 4．{?2,0} 5．5 6．(?1,0) 7． 8．(?2,4] 9．1 223
ππ719210．c,a,b 11．3sin(x?)12．13．(,1]?{ 14． 445883
二、解答题：本大题共6小题，共计58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）
解：（1）A?B?{x|?2≤x?6}.??????????2分
（2）∵A?B?{x|1?x≤3}，∵x?Z，∴C?{2,3}. ??????????5分 ∴集合C的所有子集为：?,{2},{3},{2,3}. ??????????8分
16．（本小题满分8 分）
解：（1）∵cos??4，?为锐角， 5
3
∴sin??， ??????????2分 5
3424∴sin2??2sin?cos??2???. ??????????4分 5525
（2）∵?,?均为锐角，∴????(0,?)，又∵cos(???)?5，
13
12∴sin(???)?， ??????????6分 13
∴sin??sin[(???)??]?sin(???)cos??cos(???)sin??1245333. ????13513565
??????????8分
17．（本小题满分10 分）
??771解：（1）∵a?b??，∴sin?cos??2??，∴sin?cos???. ?????????2分 333
5∴(sin??cos?)2?1?2sin?cos??. ??????????4分 3
∵?为第二象限角，∴sin??0,cos??0，
∴sin??cos??. ??????????5分 ??1（2）∵a∥b，∴?2sin??cos??0，∴tan???. ??????????7分 2
3?cos2?3sin2??2cos2?2∴??3??11， ??????????8分 sin2?sin2?tan2?
4
tan2??2tan?4， ??????????9分 ??21?tan?3
3?cos2?∴?3tan2??11?4?7. ??????????10分 23sin?
18．（本小题满分10分）
?eb?160,?160?e,?解：（1）由题意，?∴?10k1 ??????????2分 20k?b.?e?.?40?e?2b
1∴当x?30时，y?e30k?b?(e10k)3?eb??160?20. ??????????4分 8
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时. ??????????5分
（2）由题意y?ekx?b≥80，∴ekx≥80110k??e， ??????????7分 1602
∴kx≥10k. 1由e10k?可知k?0，故x≤10. ??????????9分 2
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃. ??????10分
19．（本小题满分10 分）
解：（1）由题意，h(x)?(4?log2x)?log2x，
令t?log2x，则y??t2?4t??(t?2)2?4， ??????????2分 1∵x?(,8)，∴t?(?1,3)，y?(?5,4] 2
即函数h(x)的值域为(?5,4]. ??????????4分
（2）∵f(x3)?f(x2)?kg(x)，令t?log2x，则t?[0,3]﹒
∴(4?3t)(4?2t)?kt对t?[0,3]恒成立.??????????5分 令?(t)?(4?3t)(4?2t)?kt?6t2?(k?20)t?16，
则t?[0,3]时，?(t)?0恒成立.??????????6分 ∵?(t)的图象抛物线开口向上，对称轴t?
∴①当k?20， 12k?20≤0，即k≤-20时，∵?(0)?0恒成立， 12
∴k≤-20； ??????????7分 ②当k?20≥3，即k≥16时， 12
5
由?(3)?0，得k?
③当0?
由?(10，不成立； ??????????8分 3k?20?3，即?20?k?16时， 12k?20)?
0，得?20?k??20?
12
∴?20?k??20???????????9分
综上，k??20?. ??????????10分
20．（本小题满分12 分） A：
解：（1）当m?3时，f(x)?x2?3x?|1?x2|.
317①当?1≤x≤1时，f(x)?2x2?3x?1?2(x?)2?. 48
33∴f(x)在(?1,?)递减，在(?,1)递增.??????????2分 44
②当x??1或x?1时，f(x)?3x?1. ∴f(x)在(??,?1)和(1,??)递增. ??????????4分
33综上，f(x)的单调递增区间为(??,?1)和(?,??)，单调递减区间为(?1,?). 44
??????????5分
（2）∵f(x)在区间(0,2)上有且只有1个零点， ∴方程x2?mx?|1?x2|?0在区间(0,2)上有且只有1解， ??????????6分 |1?x2|即方程m??x在区间(0,2)上有且只有1解， x
|1?x2|从而函数y??x,x?(0,2)图象与直线y?m有且只有一个公共点. ?????8分 x
?1?2x,0?x?1,??x作出函数y??的图象， 1??,1≤x?2，??x
1结合图象知实数m的取值范围是：m≥?或m??1.??????????12分 2
B：
6
1?1?2,0?x?,??x2解：（1）由题意，f(x)?? 11?2?,x?.?x2?
11∴f(x)在(0,)上为减函数，在(,??)上为增函数． ?????????1分 22
111①∵0?a?b，且f(a)?f(b)，∴0?a??b，且?2?2?， 2ab
∴11??4. ?????????3分 ab
②由①知
∴11?4?， ab121223814232， ??(4?)????16?3(?)?a2b2bb2b2bb33
11232?2，∴2?2?[,16).?????????5分 bab3∵0?
（2）假设存在[m,n]?(0,??)，当x?[m,n]时，f(x)的值域为[m,n]，则m?0. 11∵f()?0，∴?[m,n].?????????7分 22
①若0?m?n?11，∵f(x)在(0,)上为减函数， 22
?1?2?n,??m∴?解得m?n
1或m?n=1，不合题意. ?????????9分 1??2?m.??
n
②若11?m?n，∵f(x)在(,??)上为增函数， 22
1?2??m,??m?1,?m∴?解得?不合题意. ?????????11分 n?1.1??2??n.?n?
mn,]时，f(x)的值域为[m,n]，综上可知，不存在[m,n]?(0,??)，当x?[即f(x)不是(0,??)
上的“保域函数”. ?????????12分
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