1.如图，已知?F?平面??CD，四边形???F为矩形，四边形??CD为直角梯形，?D???90?，??//CD，?D??F?CD?2，???4． （I）求证：?C?平面?C?； （II）求三棱锥???CF的体积．
2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE， AE?EB，AE?EB?BC?2，F为CE上的点，且BF?CE．
（I） 求证：AE⊥平面BCE； （II）求三棱锥C?GBF的体积．
3.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA?CB，
o
AB?AA1，?BAA1
?60．
G
C
B
（Ⅰ）证明：AB?AC； 1
（Ⅱ）若AB?CB?1，AC，求三棱锥A?A1BC?1 1
4.如图4，在直三棱柱??C??1?1C1中，底面???C为
等腰直角三角形，???C?90?，???4，??1?6，
点?是??1中点．
（Ⅰ）求证：平面?1?C?平面??1C1C；
（Ⅱ）求点?到平面?1?C的距离．
5.如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，
且?ABC?60，AB=PC=2，
.
（Ⅰ）求证：平面PAB?平面ABCD；
（Ⅱ）求点D到平面APC的距离.
6.如图3， ABCD是平行四边形，已知AB?2BC?4, ?
BD?BE?CE,平面BCE?平面ABCD.
（Ⅰ）证明：BD?CE；
（Ⅱ）若BE?CE?B?ADE的高.
7.如图3，正方形ABCD
的边长为E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将?CEF折起到?PEF的位置，使得PH?AH，连结PA，PB，PD（如图4）．
（Ⅰ）求证：BD?AP；
（Ⅱ）求三棱锥A?BDP的高.
8.如图,四棱锥P?ABCD,侧面PAD是边长为2的正
三角形,且与底面垂直,底面ABCD是?ABC?60?
的菱形,M为PC的中点．
⑴ 求证:PC?AD；
⑵ 求点D到平面PAM
的距离．
9.如图，四棱锥P?ABCD底面ABCD为平行四边形，且AC?BD?O，PA?PC，PB?BD，平面PBD?平面PAC
(I)求证PB?面ABCD
(II)若?PAC为正三角形，?BAD?60?，且四棱锥P?
ABCD的体积为
?PCD的面积.
第19题图
1.解：（I）过C作CM?AB，垂足为M，因为AD?DC,所以四边形ADCM为矩形…2分 所以AM?MB?2，又因为AD?2,AB?4所以AC?22，CM?2，BC?22
222所以AC?BC?AB，所以AC?BC；…………4分
因为AF?平面ABCD，AF//BE,所以BE?平面ABCD，所以BE?AC，……6分 又因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE?BC?B
所以AC?平面BCE．…………………8分
（II）因为AF?平面ABCD，所以AF?CM，
AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，又因为CM?AB，
所以CM?平面ABEF．……10分 AF?AB?A
VC?BEFVE?BCF?VC?BEF 11118?S?BEF?CM???BE?EF?CM??2?4?2?……………………12分 33263
2.（I）证明：?AD?面ABE，AD//BC，
?BC?面ABE，AE?平面ABE
?AE?BC．………………………4分
又?AE?EB，且BC?EB?B，
?AE?面BCE．………………………………5分
（II）∵在?BCE中，EB?BC?2，BF?CE，
∴点F是EC的中点，且点G是AC的中点，…………… 7分
1∴FG//AE且FG?AE?1． ………………8分 2
?AE?面BCE，?FG?面BCE．
∴GF是三棱锥G?BFC的高 ……………………………9分
在Rt?BCE中，EB?BC?2，且F是EC的中点，
111 ?S?BCF?S?BCE??BE?BC?1．…………………………11分 222
11 ?VC?BFG?VG?BCF?S?BCF?FG?．…………………………12分 33
3.解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．
?CA?CB，CO?AB，………. 2分
o又AB?AA，． ?BAA?6011??A1AB为等边三角形．
?AO?AB，………….…….3分 1?平面COA1，又因为CO?平面COA1，AO1
CO?AO?O． 1
?AB?平
COA1．………………………………………..………….5分 面1?平面COA1，因此AB?AC 又AC；…………………………….6分 11
（Ⅱ）解：在等边?ABC中CO?1?33，在等边?ABA中； ?A
O
?1??112222
333???A1C2． 442
是直角三角形，且?AOC?AOC?90o，故CO?A1O．……….….8分 11
由（Ⅰ）得CO?AB
又AB?平面ABA1，A1O?平面ABA1，AB?A1O?O， 22在?AOC中CO?A1O?1
?CO?平面ABA1．
故CO是三棱锥C?ABA1的高．……………………………..…………….9分
1． ?1?1sin60??24
1131VA?A1BC?VC?ABA1?S?ABA1?CO????……………….12分 33428
4.解：（Ⅰ）记AC1与A1C的交点为E.连结ME.
?直三棱柱ABC?A1B1C1,点M是BB1中点
, 又S?ABA1?
?MA1?MA?MC1?MC??5……2分
因为点E是AC1、A1C的中点，
所以ME?AC1 ， ME?A1C， ……4分
又AC1?AC?E从而ME?平面AAC11C. 1
因为ME?平面A1MC，所以平面A1MC?平面AAC11C. ……6分
H， （Ⅱ）过点Ａ作AH?AC1于点
由（Ⅰ）平面A1MC?平面AAC， 11C，平面A11C?AC11MC?平面AAC而AH?平面AAC11C ……2分
?AH 即为点A到平面A1MC的距离． ……3分
在?A1AC中，
?A，
AC?AC11AC?90?，AA1?6
?AH?AA1?AC ??AC1
……6分 即点A到平面
A1MC5.解：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，----1分
由
AB=2知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO⊥AB，PO=1，------------------------------------------------------------------2分
?又AB=BC=2，?ABC?60知△ABC为等边三角形，∴CO?---3分
又由PC?2得PO?CO?PC, ∴PO⊥CO，-----------4分 ∴PO⊥平面ABC，-------------------------------------------5分
又∵PO?平面PAB，∴平面PAB?平面ABCD--------6分
（Ⅱ）设点D到平面APC的距离为h，
由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形， 由VD?PAC?VP?ADC得
∵S?ADC22211S?PAC?h?S?ADC?PO---------------------------------------------8分
3312,---------------------10分 ?2?
S?PAC?PA?22
S?ADC?
PO，即点D到平面APC
.-------12分 ??7S?PAC6.解：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形，且CD?AB?2BC?4,BD?， ∴CD2?BD2?BC2，故BD?BC.（1分）
取BC的中点F，连结EF，∵BE?CE，∴EF?BC. （2分）
又∵平面BCE?平面ABCD，∴EF?平面ABCD. （3分）
∵BD?平面ABCD， ∴EF?BD（4分）
∵EF?BC?F,EF,BC?平面BCE，∴BD?平面BCE， ∵EC?平面BCE，∴BD?CE （6分） ∴h?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF是三棱锥E?ABD的高，且EF3（7分） ∴三棱锥E?ABD的体积：
1111VE?ABD?S?ABD?EF??AD?BD?EF??2?3?（8分） 3326
在?ABE中，AB=4，BF=1，?ABF=120?，
222所以AF?AB?BF?2AB?BFcos?ABF?21.（9分）
222在Rt?AFE中，AE?AF?FE?30.
AB2?BE2?AE2在?ABE中，cos?ABE?，所以sin?ABE?， ?2AB?BE1所以
S?ABE?AB?BE?sin?ABE?
（10分） 2
1设三棱锥D?ABE的高为h，则其体积为VD?ABE?S?ABE?h? （11分） 3由VD?ABE?VE?ABD，得
， ?h?313
即三棱锥
B?ADE. （12分） 7.（Ⅰ）证明： ∵E、F分别是CD和BC的中点，
∴EF//BD. （1分）
又∵AC?BD，∴AC?EF，
故折起后有PH?EF. （2分）
又PH?AH，所以PH?平面ABFED． （3分）
又∵BD?平面ABFED，∴PH?BD， （4分）
∵AH?PH?H，AH,PH?平面APH，
∴BD?平面APH， （5分）
又AP?平面APH，∴BD?AP（6分）
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的边长为
∴AC?BD?4，AN?2,NH?PH?1，PE?PF （7分） ∴?PBD是等腰三角形，连结PN，则PN?BD，PN?
∴?PBD的面积S?PBD??11BD?PN??4?（8分） 22
设三棱锥A?BDP的高为h，则三棱锥A?BDP的体积为
1 （9分） VA?BDP?S?PBD?h?33
由（Ⅰ）可知PH是三棱锥P?ABD的高，∴三棱锥P?ABD的体积：
111114VP?ABD?S?ABD?PH??AB?AD?PH???1? （11分） 332323
4∵VA?BDP?VP?ABD，
解得h?即三棱锥A?
BDP（12分） ?，
3
8.【解析】 ⑴ 方法一:取AD中点O,连结OP,OC,AC
,
依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形, ………………1分
所以OC?AD,OP?AD,又OC?OP?O,OC?平面POC,OP?平面POC,……4分
所以AD?平面POC,又PC?平面POC,所以PC?
AD． ……………6分 方法二:连结AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形, ……………1分 又M为PC的中点,所以AM?PC,DM?PC, …………………4分
又AM?DM?M,AM?平面AMD,DM?平面AMD,
所以PC?平面AMD,又AD?平面AMD,所以PC?AD．………………6分
⑵ 点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离,由⑴可知PO?AD,又平面PAD?平面ABCD,平面PAD?平面ABCD?AD,PO?平面PAD,所以PO?平面ABCD,即PO为三棱锥P?ACD的体高．在Rt?POC中,
PO?OC?
PC?
在?PAC中,PA?AC?2,
PC?
所以?PAC的面积S?PAC?边PC上的高AM??, 11, …………………8分
PC?AM??22设点D到平面PAC的距离为h,由
VD?PAC?VP?ACD得
111
S?PAC?h?S?ACD?PO,又,S
△ACD??? …………………
10分 332
11所以
, h?解得h?33
所以点D到平面PAM的距离为． …………………12分 5
9.(I)证明：由于四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC
的中点；连接PO ?PA?
PC?AC?PO ———1分
?平面PBD?平面PAC，
又?平面PBD?平面PAC=PO，AC?平面PAC
?AC?面PBD?AC?PB —————4分
又?PB?BD，且AC?BD?O，AC、BD?面ABCD
?PB?面ABCD —————6分
(II)解：由(I)知AC?面PBD，所以AC?BD，可知底面ABCD为菱形;设AB?BC?a，又因为?BAD?60?，所以BD?
a，AC? 因为?
PAC为正三角形，所以PC? —————7分
由(I)知PB?BC，从而?
PBC为直角三角形，?PB? —————8分
V11P?ABCD?3SABCDPB?3?6a?1 ———9分
所以PC?CD?
1、PB?
?PD?? —————10分
取CD的中点E，连接PE，可知PE?
CD
PE?
?1SPCD?2CD?PE? —12分
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