六校联盟高三年级联考试卷
文科数学试题
时量：120分钟 分值：150分
命题人：（醴陵一中）（浏阳一中）（株洲二中）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数Z满足Z?i?1?i，则Z的共轭复数Z的虚部是 （ ）
A．1B．?i C．i D．?1
22．已知集合A?xy?lg(x?1)，B?xx?2x?0，则A?B?() ????
A．xx?1B. xx?0 C. x0?x?2 D. x1?x?2 ?????3．已知向量a??1,2?,b??x,?2?，若a?b与a?b平行，则实数x的值是（ ）
A．4 B．1C．?1D．?4 ????????
a2
4．设a,b?R，则“?0”是“a?b”的（） a?b
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数f(x)?xex?x?1的零点的个数为（）
A．0 B. 1C． 2 D． 3
6．已知等比数列?an?为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2) ＝
5an＋1，则数列?an?的公比q＝（ ）
11A．2或B.2 C．D．-2 22
??????（ ） ,??,则3cos2??sin????,则sin2?的值为24????
111717A．B．?C．D．? 181818187．若???
8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．?1B．1 C．?2 D．2
9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞
士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（）
3132 B．C． D． 10255
10．已知三棱锥S???C外接球的表面积为32?，底面???C为正三角形，SC=4 A． 其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）
A
．B
． C
．D
．
正视图 侧视图
??x2?4x?3,x?111．已知函数f(x)??，若f(x)?a?ax，则a的取值范围是（ ）
?lnx,x?1
A．??2,0? B．?0,1? C．?0,1? D．??2,0?
x2y2x2y2
12．已知P是椭圆2?2?1(a1?b1?0)和双曲线2?2?1(a2?0,b2?0)的一个交a1b1a2b2
?点，F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率?F1PF2?，3
11则?的最大值是（ ） e1e2
A
． 3
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校为了解全校高中同学十一小长假参加实践活动的情况，抽查了
200名同学，统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方图如图所示， 则这200名同学中参加活动的时间在6~10小时内的人数为 . D
．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分） B
C
． ?x?y?1?0?14.若实数x,y满足不等式组?x?k，目标函数z?2x?y
?x?2y?11?0?
的最大值为16，则
实数k? ．
15． 已知数列?an?中，an?0，a1?1，an?2?
16．若f(x)?x?1?alnx??(a?0)??,g(x)?1，a6?a2，则a2 a?016?3an?1ex，且对任意的x1,x2??4,5??x1?x2?， ex
f(x1)?f(x2)?|11?|恒成立，则实数a的取值范围为． g(x1)g(x2)
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
??设向量a?x,sinx)，b?(cosx,sinx) ??（1）设函数f(x)?a?b，求f(x)的单调递增区间；
3（2）在△ABC中，锐角A满足f(A)?，
b?c?4,aABC 的面积． 2
18．（本小题满分12分）
数列?an?的前n项和为Sn，a1?1,an?1?2Sn?1，等差数列?bn?满足b3?a2,b5?a3.
（1）分别求数列?an?，?bn?的通项公式；
（2）若对任意的n?N,(Sn?)?k?bn恒成立，求实数k的取值范围．
?12
19.（本小题满分12分）
四棱锥P?ABCD中，底面为菱形，且?DAB?60?,PA?PD，平面PAD?平面ABCD，M为CD上一点，且BD?PM
（1）求证：M为线段DC的中点；
（2）若?PAD?60?,求二面角P?BM?A的余弦值。
P
A
20.（本小题满分12分） C
1x2y2
已知椭圆E:2?2?1的离心率为,点F1,F2是椭圆E的左、右焦点, 过F1的直线与椭圆2ab
E交于A,B两点, 且?F2AB 的周长为8.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）动点M在椭圆E上，动点N
在直线l:y?OM?ON，探究原点O到直线MN的距离是否为定值，并说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?a2lnx?x2?ax(a?0),g(x)?(m?1)x2?2mx?1．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若a?1时，关于x的不等式f(x)?g(x)恒成立，求整数m的最小值．
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
?在平面直角坐标系xoy中，直线l过点M?3,4?，其倾斜角为45，圆C的参数方程为
?x?2cos?（?为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它??y?2?2sin?
与直角坐标系xoy有相同的长度单位.
（1）求圆C的极坐标方程； ????????（2）设圆C与直线l交于不同的两点A,B，求MA?MB的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?a?x?2
（1）当a＝3时，求不等式f(x)?7的解集；
（2）若f(x)?x?4的解集包含?1,2?，求实数a的取值范围．
六校联盟高三年级联考试卷
文科数学答案与评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1
D C A C B C D B C D A 答案 A
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 116 14. 515．
【15．解析】由an?233． [4?e,0) 4111?a2，整理得a22?2?a2?1?0，?，得a6??1an?1a4?1?1a2?1
an
?0?a2?
1111，?a4?，?a6?， ??a2?
12a4?12
5?111?，则a2016?
a3?，又a3? 2a1?12依次类推， a2?a4?a6???a2016?【16．解析】易知f(x),1在x??4,5?上均为增函数，不妨设x1?x2，则 g(x)
11|f(x1)?f(x2)|?|?| g(x1)g(x2)
1111等价于f(x2)?f(x1)?即f(x2)? ??f(x1)?g(x2)g(x1)g(x2)g(x1)
1ex
令h(x)?f(x)??x?1?alnx?，则h(x)在x??4,5?为减函数， g(x)ex
xae?x?1?则h?(x)?1???0在x??4,5?上恒成立， xex2
ex?1ex?1
x?1x?1?a?x?e?,x??4,5?恒成立. 令u?x??x?e?,x??4,5?， xx
2?ex?1?x?1?1?3?'x?1x?1?1?u?x??1?e??1?e??????,x??4,5? 24?x???x2??
2?113?33??x?1Qe???????e?1,?u'(x)?0，?u(x)为减函数， ???x2?4??4
3?u(x)在x??4,5?的最大值为u(4)?4?e3 4
综上，实数a的取值范围为[4?33e,0). 4
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） ???12解：（1
）f(x)?a?b?xcosx?sinx?sin(2x?)?┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 62
??????? 由2k???2x??2k??得增区间为：?k??,k???(k?Z)；┄┄6分 26263??
3?（2）由f(A)?，得A?； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
23
222又因为b?c?4,a?a?b?c?2bccosA得：bc?3；┄┄┄10分
所以S?ABC?112分 bcsinA?218．（本小题满分12分）
解：（1）由 an?1?2Sn?1 ① ， 得n?2时an?2Sn?1?1 ②
①－②得an?1?an?2(Sn?Sn?1)?an?1?3an ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
又?a1?1,a2?2S1?1?3 ，?a2?3a1┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
??an?为等比数列，通项公式为：an?3n?1；┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
b?b3?3， 依题意b3?a2?3,b5?a3?9，设等差数列?bn?的公差为d，则d?5
2
∴bn?3?(n?3)?3?3n?6.┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
1a1(1?qn)3n?1?（2）Sn?，则对任意的n?N,(Sn?)?k?bn恒成立，即 ?21?q2
2(3n?6)?k?对任意的n?N恒成立，┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 n3
2(3n?6)2(3n?6)2(3n?9)?2(2n?7)?C?C???令Cn?，┄┄┄┄9分 nn?1nnn?1n?13333
当n?3时，Cn?Cn?1，n?4时，Cn?Cn?1 ∴(Cn)max?C3?22 ,则实数k的取值范围k?┄┄┄┄┄┄12分 99.
19.（本小题满分12分）
解:（1）取AD的中点H，连接PH，MH，AC
?PA=PD ?PH?AD
又平面PAD?平面ABCD，交线为AD
?PH?面ABCD ?PH?BD
又?BD?PM ， PH?PM?P
?BD?面PHM ?BD?HM┄┄┄┄┄┄┄4分
又在菱形ABCD中， BD?AC
?HM∥AC ?M为线段DC的中点。┄┄┄┄6分
（2）取BM的中点E，连接PE，HE，
可证得?PEH为二面角P?BM?A的平面角┄┄8分
设AB=a，则PH=3
a ， HE=a 42
?PE=PH2?HE2?21HE21 ??COS?PEH?4PE7
则二面角P?BM?
A的余弦值为。┄┄┄┄┄12分 7
20.（本小题满分12分）
?a2?b21??解：（1）由题意得?a24，解得a?2,b，┄┄┄┄┄┄┄┄3分
?4a?8?
x2y2
所以椭圆E的标准方程为??1.┄┄┄┄┄┄┄4分 43
（2）①若直线ON的斜率不存在，
O?O?┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分 ON?OM?2，MN?4 ，
d?MN
②若直线ON的斜率存在
12x2y212k2
22??1得x?设直线OM方程为：y?kx，代入，y?┄┄ 7分 223?4k433?4k
1直线ON的方程为y??
x代入y?
N(?┄┄┄┄┄┄┄ 8分
k
12(1?k2)48(1?k2)222222MN?ON?OM?(?)?? ? 223?4k3?4k
设原点O到直线l的距离为d
MN?d?OM?ON?d2?OM?ON
MN222?
3，则d? 11分
综上所述，原点O到直线MN
┄┄┄┄┄┄┄ 12分 21．（本小题满分12分）
2a22x?ax?a=?(2x?a)(x?a)，x＞0， 解：（1）f′（x）=﹣2x+a=?xxx2
①当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，由f′（x）＜0，得x＞a，
∴f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜﹣
∴f（x）在（0，﹣aa，由f′（x）＜0，得x＞﹣， 22aa）上递增，在（﹣，+∞）；上递减。 22
2┄┄┄┄┄ 5分 （2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣mx+（1﹣2m）x+1，x＞0，
1(2mx?1)(x?1)?2mx2?(1?2m)x?1=? 则h′（x）=﹣2mx+1﹣2m=xxx
当m≤0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
12+（1﹣2m）+1=﹣3m+2＞0， ∵h（1）=ln1﹣m×
∴关于x的不等式f（x）≤g（x）不恒成立，舍去。┄┄┄┄┄ 7分
当m＞0时，由h′（x）＞0，得0＜x＜11，由f′（x）＜0，得x＞， 2m2m
11），单调减区间为（，+∞）； 2m2m
111112+1=∴h（x）max=h（）=ln﹣m?（）+（1﹣2m）×﹣ln（2m）， 2m2m2m2m4m∴h（x）的单调增区间为（0，
┄┄┄┄┄ 9分
令φ（m）=1111﹣ln（2m），∵φ（）=，φ（1）=﹣ln2＜0， 2244m
又φ（x）在（0，+∞）是减函数，∴当m≥1时，φ（m）＜0，满足题意。
故整数m的最小值为1． ┄┄┄┄┄ 12分
选做题(请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号)
22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲
解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程为x2?(y?2)2?4┄┄┄┄┄┄┄2分 由极坐标与直角坐标互化公式得(?cos?)?(?sin??2)?4，
化简得??4sin?；┄┄┄┄┄┄┄ 5分 22
?x?3???x?3?tcos45??（为参数）（2）直线l的参数方程为?（t为参数）
，即?，代入
ty?4?tsin45???y?4???2
2圆方程得：t??9?0，┄┄┄┄┄┄┄ 7分
设A,B对应的参数分别为t1,t
2，则t1?t2??t1t2?9┄┄┄┄┄┄┄ 8分 ????????????????所以MA?MB?MA?MB?cos0??t1t2?9┄┄┄┄┄┄┄ 10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当a＝3时，f(x)?7?x?3?x?2?7
由绝对值的几何意义得x??3或x?4 故不等式解集为xx??3或x?4?．┄┄┄┄┄┄ 5分
（2）原命题?f(x)?x?4在1,2上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 6分 ?x?a?x?2?x?4在?1,2?上恒成立
?x-2≤a≤x+2在?1,2?上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ 8分
?0≤a≤3. 故a的取值范围是a??0,3?．┄┄┄┄┄┄ 10分 ???
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