专题二：椭圆的简单几何性质（1）
要点梳理： 椭圆的几何性质
x2y21
1．若椭圆1m等于
2m2383332
C. D 232883x2y2x2y22．曲线＋1与曲线＝1(k＜9)的
25925－k9－k
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 典例探究
题型一 利用椭圆的方程研究几何性质
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
1．(1)椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为 A．(－1,0)，(1,0)C．(6，0)，6，0)
B．(－6,0)，(6,0) D．(06)，(06)
3
，求m的值及椭圆的长轴和短2
x22→→
(2)椭圆y＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，MF1·MF2＝0，则M到y轴的距离
4为
2263 B. C. D.3
333
1
题型二 由椭圆的几何性质求标准方程
分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程：
4(1)长轴长为20，离心率等于； 5
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
2．分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程：
4(1)长轴长是10，离心率是； 5
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 题型三 椭圆的离心率问题
(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 213 B.2 C. D 222
x2y2
(2)过椭圆C：＋＝1的左焦点作直线l⊥x轴，交椭圆C于A，B两点，若△OAB(Oab
为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C的离心率e为 3－13＋15－15＋1 B． D． 2222
x2y2
(3)已知F1，F2是椭圆1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得ab
∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是 22112≤e＜1 B．0＜e＜ C.≤e＜1 D．≤e
22222
x2y2
3．(1)椭圆1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.ab
若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
151 B．C. D．5－2 452
(2)如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1
PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为
A.?0，
??＋1?－1?＋1? C.??－1? B．? D．????1?04?2?4???2，1?2
431，2?，N?－2，2?两点． 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M??3??2?
(1)求椭圆的离心率；
(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)
的距离的最小值为1？若存在，求a的值及P点的坐标；若不存在，请给予证明．
xy1．已知椭圆方程为1，则其左焦点到右顶点的距离为 43
A．1 B．2 C．3 D．4
x222．若椭圆y＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为 a
3125 BC.D．222222
13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆3
的方程是
x2y2x2y2x2y2x2y2
＋1 B．＋1 C.＝1 D．＋＝1 144128362032363632
4．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________．
x2y2
5．已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分94
别为A，B，线段MN的中点在
C上，则|AN|＋|BN|＝________.
[时间30分钟，满分68分]
一、选择题(每题5分，共20分)
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
x2y23a2．设F1、F2是椭圆E：1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△ab2
F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
1234 B. C. D. 2345
x2y2
3．若AB＝1的中心的弦，F1为椭圆的左焦点，则△F1AB面积的最大2516
3
值
A．6 B．12 C．24 D．36
x2y2→→4．已知F1、F2是椭圆1(a＞b＞0)的两个焦点，若椭圆上存在点P使PF1·PF2＝ab0，则椭圆的离心率的取值范围是
A．(0,1) B．?0，?1?2 C.?1? D．??2，1? 2?2?
二、填空题(每题5分，共10分)
5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝3，则椭圆的方程是________．
x2y2
6．过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线l，点P为直线l与椭圆的一个ab
xy交点，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则直线＝1的斜率是________． ab
三、解答题(本大题共3小题，前两题每题12分，后一题14分，共38分)
3－1. 7．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A?2?(1)求满足条件的椭圆方程；
(2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率．
x2y2
8．设F1、F2分别是椭圆E＋1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆Eab
于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|。
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
3(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 5
x2y2
9．如图，已知椭圆1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
A为椭圆的ab
上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
→→→→3(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝ 2
4
专题二：椭圆的简单几何性质（2）
要点梳理
点与椭圆、直线与椭圆的位置关系
1．点与椭圆的位置关系
x2y2
设点P(x0，y0)，椭圆1(a＞b＞0)． ab位
置
关
系??xy点P在椭圆内＋1?abxy??点P在椭圆外ab22222xy2点P在椭圆上＋＝1ab
2．直线与椭圆的位置关系及判定
[即时应用]
x221．点P(1,3)与椭圆＋y＝1的位置关系是点P在椭圆________(填“内”“外”或2
“上”)．
12．椭圆x2＋4y2＝16被直线yx＋1截得的弦长为______． 2
典例探究
题型一 直线与椭圆的位置关系问题
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
x2y251．已知椭圆C：1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为ab3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的 5
轨迹方程．
题型二 弦的中点问题
焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的1 2
2．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为3，若椭圆被直线x＋y
2＋1＝0 3
题型三 直线与椭圆的综合问题
已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
x2y213．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(03)，离心率为，左ab2
右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
1(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为2
|AB|53
直径的圆交于C，D两点，且满足l的方程． |CD|4
x2y2
已知椭圆1，过点P(2,1)引一条弦，使弦被这点平分．求此弦所在的直164
6
线方程．
x2y2
1．点(1,2)在椭圆1的
32A．内部 C．外部
B．曲线上 D．无法判断
x2y2
2．直线y＝ax－a与椭圆＝1的位置关系是
54A．相交 C．相离
B．相切
D．以上皆有可能
x2y2
3．椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，
254则|AF1|＋|BF1|的值为
A．10 C．16
B．12 D．18
1x2y2
1，作圆x2＋y2＝1的切线，4．若椭圆1的焦点在x轴上，过点?切点分别为A，?2abB，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是____________________．
5．已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A、B两点，则|AB|＝
________.
[时间30分钟，满分68分]
一、选择题(每题5分，共20分)
1．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为 1252 B． C.D．5555
x2y2
2．直线y＝kx＋1与椭圆＋1总有公共点，则m的取值范围是
5mA．m＞1
C．0＜m＜5或m≠1
B．m≥1或0＜m＜1 D．m≥1且m≠5
x2y2
3．AB为过椭圆＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为
abA．b2 B．ab C．ac D．bc
π
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为
3
7
61677 B． C. D． 77166
二、填空题(每题5分，共10分)
x2y25．若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，43
→→则OP·FP的最大值为________．
x22→→6．设F1，F2分别为椭圆y＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B，3
则点A的坐标是________．
三、解答题(本大题共3小题，前两题每题12分，后一题14分，共38分)
x2y2
7．已知F1，F2分别为椭圆＋1(a＞1)的左、右两个焦点，一条直线l经过点aa－1
F1与椭圆交于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求实数a的值；
π(2)若l的倾斜角为|AB|的值． 4
x228．已知椭圆C1：y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 4
(1)求椭圆C2的方程；
→→(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．
9．已知椭圆的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定
→→点E(m,0)，使PE·QE恒为定值，求m的值．
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