云南师大附中2017届月考卷（三）文数
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）
21.设函数y?lgx的定义域为集合A，集合B?{x|x?x?0}，则A?B?（）
A.(0,??)B.[0,1]C.[0,1)D. (0,1]
2．已知复数z?3?4i，z是z的共轭复数，则z为（）
2?i
3.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最多的那份有面包（）
A.43个B.45个C.46个D.48个
4.下列说法正确的是（ ）
A.若命题p，?q为真命题，则命题p?q为真命题
B.“若???
6，则sin??1?1”的否命题是“若??，则sin??” 262
”的否定?p：“??xRx,?x??502C. 若命题p：“?x?x,0?x2?0R0?50”
D.若f(x)时定义在R上的函数，则“f(0)?0是f(x)是奇函数”的充要条件
5.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N?n(modm)，例如
11?4(mod7).如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩
余定理》，执行该程序框图，则输出的n?（）
A.16B.17C.19D.15
????????6.平面内有三个向量a,b,c，其中a,b向量的夹角为90
°，且a?b?1,c?，若
???c??a??b，则?2??2?（）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
x2y2
??1,曲线f(x)?ex在点(0,2)处的切线方程为2mx?ny?2?0，7. 已知双曲线C:mn
则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y? B. y??
2x C. y??x D. 2
1y??x 2
8. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则S4?S2的值为 （ ） S5?S3
A. 3 B. ?3 C. 2 D. ?2
9. 某四棱锥的三视图如图2所示，则该四棱锥的外接球的表面积是 （ ）
A. 4? B. 6? C. 7? D. 12?
10. 在区间[0,1]内任取两个数x,y，则满足2x?y的概率是 （ ）
A. 1312 B. C. D. 4423
11. 已知定义在R上的函数y?f(x)满足：函数y?f(x?1)的图像关于直线x??1对称，且当x?(??,0)时，f(x)?xf(x)?0（f(x)是函数f(x)的导函数）成立.若 ''
1111a?(sin)?f(sin),b?(ln2)f(ln2),c?(log1)f(log1)，则a,b,c的大小关系是 222424
（ ）
A. a?b?c B. b?a?c C. c?a?b D. a?c?b
12. 在锐角?ABC中
，siAn?5,Cc?sBC?7,,若动7点P满足
?????????????P的轨迹与直线AB,AC所围成的封闭区域的面积为 AP?A?(B1??)?A?(C,则点)R2
（ ）
A.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
2?x??5,x??1?x13. 设f(x)??则f[f(?8)]?
1?3??x,x??1,
14. 已知倾斜角为?的直线l与直线m:x?2y?3?0垂直，则tan2?=
15.记函数f(x)的导数为f(1)(x)，f(1)(x)的导数为f(2)(x)，??，f(n?1)(x)的导数为f(n)(x)(n?N?).若f(x)可进行n次求导，则f(x)均可近似表示为：
f(1)(0)f(2)(0)2f(3)(0)3f(n)(0)nf(x)?f(0)?x?x?x，若取n?4，根据这个1!2!3!n!
结论，则可近似估计cos2? （用分数表示）.
16. 设数列{an}为等差数列，且a11?
数列{bn}的前21项和为
三、解答题（共70分） 3?2，若f(x)?sin2x?2cosx，记bn?f(an)，则8
???17.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m?(2b?c,a),n?(cosC,cosA),
???且m∥n.
（Ⅰ）求角A的大小；
????????（Ⅱ）若AB?AC?4，求边a的最小值.
18.如图3甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,?BAD??
2,AB?BC?1,AD?2,E是AD
的中点，O是AC与BE的交点，将?ABE沿BE折起到?A1BE的位置，如图乙. （Ⅰ）证明：CD?平面AOC； 1
B与平面ACD（Ⅱ）若平面平面A的距离. 11BE?平面BCDE，求点
19. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]），得到如图4所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
（Ⅰ）求x；
（Ⅱ）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）；
（Ⅲ）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
（ⅰ）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
（ⅱ）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想
.
22320.已知椭圆C:x?y?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，椭圆上一点P(1,)与椭圆右22ab2
焦点的连线垂直于x轴.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线y?4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A、B两点，与x轴交于点2
M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值.
21.设函数f(x)?
（Ⅰ）若a??12ax?2x?lnx. 23，判断函数f(x)的单调性； 4
（Ⅱ）若函数f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当a??11时，关于x的方程f(x)?x?b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实22
数b的取值范围.
22. 〖选修4—4：坐标系与参数方程〗
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为?cos2???
2sin?，它在点M)处的切线为直线l. 4
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
x2y2
??1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围. （Ⅱ）已知点P为椭圆34
23.〖选修4-5：不等式选讲〗 已知函数f(x)?x?a?x?
（Ⅰ）当a?3时，求不等式f(x)?x?3a的解集； （Ⅱ）若f(x)?x?4的解集包含[0,1]，求a的取值范围.
云南师大附中2017届高考适应性月考卷（三）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1]，故选D． 1．A?{x|x?0}，B?{x|0≤x≤1}，则A∩B=(0，
2．z?
3?4i(3?4i)(2?i)??
故选B． ??2?i，z?2?i，∴|z|?2?i5
a2，a3，a4，a5，设公差为d，则有3．把每个人得到的面包数按由少到多的顺序记为a1，
1
120?5a1?10d①，a1?a1?d??120②，d?11，a5?2?4?11?46，联立①②解得a1?2，
8故选C．
4．选项A中命题p?q为假命题，选项B中命题的否命题应为“若??D中结论应为必要不充分条件，故选C． ?1则sin??”，选项，62
5．选项中被5和3除后的余数为2的数为17，故选B．
????6．由a与b的夹角为90?可建立平面直角坐标系，则a?(1，0)，b?(0，1)，得
???c??a??b?(?，
?)?2??2?12，故选D．
n?1，渐
7．∵f?(0)?e0?1，f(x)?ex在点(0，2)处的切线方程为：x?y?2?0，∴2m?1，
近线方程为y??，故选A． 8．由已知设公差为d，则(a1?2d)2?a1(a1?3d)?a1??4d，选A． S4?S2a3?a4?3d???3，故S5?S3a4?a5?d
9．由三视图知四棱锥B?ADD1A1为长方体的一部分，如图1，所以
外接球的直径2R
R?
2
棱锥的外接球的表面积是S?4?，故选C． ?7?
??
0≤y≤1，所以基本事件空间?是边10．如图2，由题意，0≤x≤1，图1
长为1的正方形，所以S??1，满足2x≥y的事件A的区域是梯形区S3113域，SA?1???1?，根据几何概型得：所求概率为P?A?，S?4224
故选B． 图2
?(x)?011．易知f(x)关于y轴对称，设F(x)?xf(x)，当x?(??，0)时，F?(x)?f(x)?xf，
∴F(x)在(??，0)上为递减函数，且F(x)为奇函数，∴ F(x)是R上的递减函
11?11数，∵0?sin?sin?
，?ln2?1，log1?2?1， 262224
?1?1??∴F?sin??F(ln2)?F?log1?，即a?b?c，故选A． 2?4??2?
????????????12．取AB的中点D，则AP??AD?(1??)AC∴P，D，C三点共线，P的轨迹为CD.
，
∵sinA?51BC?sinCcosC?，
∴cosA?，sinC?由正弦定理：AB??5，75sinA由sinB=sin(A+C
51??故点P的轨迹与直线AB，AC所围成的封75
闭区域的面积为S△ADC?
111S△ABC???5?7?故选A． 222第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．f(?8)?2，∴f[f(?8)]?f(2)?2?
14．由已知tan???2，∴tan2??
2?5??2． 22?(?2)4?． 1?(?2)2315．设f(x)?cosx，则f(1)(x)??sinx，f(2)(x)??cosx，f(3)(x)?sinx，f(4)(x
)?cosx，∴T?4，
0?12011故当n?4时，f(2)?cos2?(0f)??????3??4??． 1!2!3!4!3
????3??16．由题意f(x)?sin2x?cos2x?1??2x???1，易知f(x)关于?，1?中心对称，数4??8??
?3??列{an}为等差数列，故f(a1)?f(a21)?2f(a11)，且f(a11)?f???1，故数列{bn}的前?8?
21项和S21?f(a1)?f(a2)???f(a21)?21．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
???解：（Ⅰ）由m?n可得(2b?c)cosA?acosC?0，
由正弦定理得：(4sinB?2sinC)cosA?2sinAcosC?0，
即2sinBcosA?sin(A?C)?sinB，
∵sin
B??0，∴2cosA?1，∴A
?60?. ?????????（6分）
????????（Ⅱ）AB?AC?cbcos60??4?bc?8，
又a2?b2?c2?2bccos60?≥2bc?bc?8，当且仅当b?c? ∴amin? ????????????????（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在图3甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=?错误！未找到引2
用源。，
∴BE⊥AC，即在图乙中，BE⊥OA1，BE⊥OC．
又OA1∩OC=O，∴BE⊥平面A1OC．
∵BC∥DE，BC=DE，
∴BCDE是平行四边形，
∴CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC． ??????????（6分）
图
3 （Ⅱ）解：由已知，CD?BE平面A1BE⊥平面BCDE，BE⊥OA1， ∴OA1?平面BCDE，∴OA1?OC， ∴A1C?1，又由（Ⅰ）知，BE⊥平面A1OC，A1C?平面A1OC， ∴BE?A1C．
∵CD∥BE，∴CD?A1C．
设B到平面A1CD的距离为d，
113?11由VB?A1CD?
VA1?BCD得??
1???1， 32432
∴d?11，故B到平面A1CD的距离为． ????????????（12分） 22
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得第一组频率为0.01?5?0.05， ∴6?0.05，∴x?120． x ??????????????（2分） （Ⅱ）设中位数为a，则0.01?5?0.07?5?(a?30)?0.06?0.5， ∴a?95?32， 3
????????????????（5分） ∴中位数为32．
1（Ⅲ）（i）5个年龄组的平均数为x1?(93?96?97?94?90)?94， 5
1方差为s12?[(?1)2?22?32?02?(?4)2]?6， 5
15个职业组的平均数为x2?(93+98+94+95+90)=94， 5
12方差为s2?[(?1)2?42?02?12?(?4)2]?6.8． 5 ????（10分）
（ii）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可． ?????????（12分）
20．（本小题满分12分）
3??解：（Ⅰ）∵点P?1，?与椭圆右焦点的连线垂直于x轴， 2??
∴c?1，将P点坐标代入椭圆方程可得19??1． 22a4b
又a2?b2?1，联立可解得a2?4，b2?3， x2y2
所以椭圆的方程为? ?1． ????????????（4分）43
22??y0?y02?（Ⅱ）设切点坐标为?，y0?(y0?0)，则l：y?y0??x??． y0?4??4?
整理，得l：y?y2x?0，y02 2?y0?∴M??，0?.
?4?
B(x2，y2)， 设A(x1，y1)，
?16?2联立直线方程和椭圆方程可得?3?2?x2?8x?y0?12?0， y0??
?????0，
2??8y0?∴?x1?x2?2，3y?160?
42?y0?12y0?x1x2?，23y?16?0?
????????????（7分） 33??y0?2??4y0∴AB的中点坐标为?2，2?， 3y?163y?160?0???
1333?y0y02y0?4y0?∴AB的垂直平分线方程为y?2， ???x?2?，令x=0，得y?23y0?163y0?162?3y0?16?
13???y0???2y0，即N?0，2∴． k??MN23y?163y?1600????
∵y0?0，
∴kMN??2y0?2，
?≥23y0?163y?0y0
当且仅当y0? ∴直线MN
的斜率的最小值为21．（本小题满分12分） ． ????????????（12分）
ax2?2x?1解：（Ⅰ）f?(x)?(x?0)． x
3?x2?2x?13?0， ∵a??时，由f?(x)?x4
得3x2?8x?4?0，∴2?x?2， 3
?2?2?内递增， 故f(x)在?，?3?
2??f(x)在?0，?和(2，??)内递减． 3?? ????????????（4分）
（Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0，??)，依题意f?(x)≤0在x?0时恒成立， 即ax2?2x?1≤0在x?0时恒成立， 1?2x?1?则a≤2???1??1在x?0时恒成立，即a≤?1， x?x?
?1]． ∴a的取值范围是(??，2 ?????????????（8分） 1113（Ⅲ）a??，f(x)?x?b，即x2?x?lnx?b?0． 4222
设g(x)?
则g?(x)?
列表：
123x?x?lnx?b(x?0)， 42(x?2)(x?1)(x?0)． 2x
4]上恰有两个不相等的实数根， ∵方程g(x)?0在[1，
?g(1)≥0，5?则?g(2)?0，?ln2?2?b≤?， 4?g(4)≥0?
5?
???． ∴b的取值范围为?ln2?2，4?? ?????????????（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为?cos2??2sin?， ∴?2cos2??2?sin?，
12x， 2∴曲线C的直角坐标方程为y????∴y??x，又M?
?的直角坐标为(2，2)， 4??
∴曲线C在点(2，2)处的切线方程为y?2?2
?(x?2)，
即直线l的直角坐标方程为2x?y?2?0． ?????????????（5分）
x2y2
（Ⅱ）P为椭圆2sin?)， ??1上一点，设P?，34
?则P到直线l的距离
d?， ??1?当sin????=?时，d有最小值0． 3?2?
???当sin????=1时，d． 3??
?∴P到直线l的距离的取值范围为?0． ?????????????（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
??2x?2，x≤?3，??3?x?1，解：（Ⅰ）当a?3时，f(x)??4，
?2x+2，x≥1，?
不等式f(x)≥x?3a，即f(x)≥x?9．
当x≤?3时，由?2x?2≥x+9，解得x≤?11； 3
当?3?x?1时，由4≥x?9，解得x≤?5，故不等式无解； 当x≥1时，由2x+2≥x?9，解得x≥7．
11?????[7，??)． 综上，f(x)≥x?3a的解集为???，3?? ?????????（5分）
（Ⅱ）f(x)≤|x?4|等价于|x?a|≤|x?4|?|x?1|．
当x?[0，1]时，|x?a|≤|x?4|?|x?1|等价于|x?a|≤3，即?3?a≤x≤3?a， 若f(x)≤|x?4|的解集包含[0，1]，
??3?a≤0，则??3?a≥1，
即?3≤a≤2．
2]． 故满足条件的a的取值范围为[?3， ???????????（10分）
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