2016年东北三省三校高三第一次联合模拟(文)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．若集合A?[2,3]，B?{x|x2?5x?6}，则A?B?
A．{2,3} B．? C．2 D．[2,3] 2．若复数z满足zi = 1 ＋ i，则z的共轭复数是
A．?1 ? i B．1 ? i C．?1 ? i D．1 ? i 3．若m = 6，n = 4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是
1 B．100C．10D．1 100
4．已知向量a，b满足a?b?(1,?3)，a?b?(3,7)，a?b?
A．－12B．－20C．12D．20 A．
?2x?2,x?0,f(x)?5．若函数则f(f(1))的值为 ?x?2?4,x?0,
A．－10 B．10 C．－2 D．2
11??0，则p是q的 ba
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
π??7．若点P(cos?,sin?)在直线y??2x上，则cos?2???的值等于 2??
4433A．? B． C．? D．
5555
6．设a,b?R，若p:a?b，q:，则根据上表可得回归直线方程为D．96．8
?π?9．若函数f(x)?sin(2x??)(?π???0)为偶函数，则函数f(x)在区间?0,?上的取值范围?4?A．－104．4B．104．4C．－96．8
是
A．[?1,0]
?C
．? ????? B
．??? D．[0,1]
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．7 3 B．17C．13 D
2x2y2
11．双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0)，F2(c,0)，M，N两点ab
在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|?4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|?|QN|，则双曲线C的离心率为
A
B．2 C
D
x2?y2?2?0，12．在平面直角坐标系xOy中，已知x12?lnx1?y1?0，则(x1?x2)2?(y1?y2)2
的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
?x?y?1?0,?13．若实数x，y满足?x?y?0,则z?x?2y的最大值是__________．
?x?0，?
14．已知三棱锥P－ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P
－ABC外接球的体积为__________．
15．已知圆(x?1)2?y2?4与抛物线y2?mx(m?0)的准线交于A、B
两点，且|AB|?则m的值为__________．
16．已知ΔABC为等边三角形，点M在ΔABC外，且MB = 2MC = 2，则MA的最大值是
__________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1?31，且an?1?3an?1，bn?an?． 22
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
bn?1?m对?n?N*恒成立，求实数m的取值范围． （2）若不等式bn?1?1
18．（本小题满分12分）
某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．
（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；
（2）若已从年龄在[35,45)，[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD = 2，BD = 4，点M、N分别为BD、BC的中点，将其沿对角线BD折起成四面体QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P为QC的中点．
（1）求证：PM⊥BD；
（2）求点D到平面QMN的距离．
20．（本小题满分12分）
x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)A(2,0)． ab
（1）求椭圆C的方程；
?3?D两点，（2）过点M?,0?的直线l交椭圆于B、设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2．求?2?
证：k1k2为定值，并求此定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(2x?1)ex，g(x)?ax?a(a?R)．
（1）若y?g(x)为曲线y?f(x)的一条切线，求实数a的值；
（2）已知a < 1，若关于x的不等式f(x)?g(x)的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，多答按所答第一题评分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D．设⊙O的半径是r，OM = m．
（1）证明：AM2?BM2?2(r2?m2)；
（2）若r = 3m，求AMBM?的值．
CMDM
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
?x?2cos?,xOyly = 8C在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是?（φ为y?2?2sin??
参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ = α，其中0???π与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：2
|OP||OQ|π?????与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值． |OM||ON|2
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?m?|x?3|，不等式f(x)?2的解集为(2,4)．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式|x?a|?f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
（注：题∵，∴选项也不正确，此题无答案．建议：任意选项均可给分）13．2 14．1 415．8 16．3 17．（1）【证明】?an?1?131???3an??3?an??， 222??
bn?11??3， b1?a1??1，bn2
∴数列?bn?是以1为首项，以3为公比的等比数列．
n?1（2）【解】由（1）知，bn?3，
n?114bn?13?1??m． ?m由得n?m，即3n33?1bn?1?13?1
14c??设n， 333n?1∴数列?cn?为减数列，?cn?max?c1?1，?m?1． 18．【解】（1）各组年龄的人数分别为10，30，40，20人．
估计所有玩家的平均年龄为0.1?20?0.3?30?0.4?40?0.2?50?37岁
（2）在?35,45?的人数为4人，记为a,b,c,d；在?45,55?的人数为2人，记为m,n．所以抽取结果共有15种，列举如下：?ab?，?ac?,?ad?,?am?，?an?,?bc?,?bd?, ?bm?，?bn?,?cd?,?cm?，?cn?，?dm?，?dn?,?mn?．
设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A 所包含的基本事件有8种，则P(A)?8 15?这两人在不同年龄组的概率为8． 15
19．【解】（1）?平面QBD?平面BCD， QD⊥BD，平面QBDI平面BCD?BD， ?QD⊥平面BCD，?QD?DC, 同理QB?BC,
1?P是QC的中点，?DP?BP?QC, 2
又M是DB的中点 ，?PM⊥BD．
（2）?QD⊥平面BCD，QD＝BC＝2，AB＝4， M，N，P分别是DB、BC、QC的中点，
?QM?MNQN?
?S?QMN?，又S?MND?1，
设点D到平面QMN的距离为h，
11?
VQ?MND?VD?QMN??1?2?h， 33
?点D到平面QMN
?a2?b2?c2,?a?2,???c?,20． 【解】（1
）由题意得?解得?b?1, 2??a
?c??a?2?
x2
所以C的方程为?y2?1． 4
（2）由题意知直线l斜率不为0，
可设直线l方程为x?my?3， 2
x2
与?y2?1联立，得 4
(m2?4)y2?3my?7?0，??0，设B(x1,y1),D(x2,y2)， 4
7
?3m 则y1?y2?2,y1y2?2．m?4m?4
y1y2y1y2y1y2k1k2???，(x1?2)(x2?2)(my?)(my?)m2yy?m(y?y)?
12121222247?7???． 7314?m2?m2?(m2?4)424
7?k1k2为定值，定值为?． 4?
21．【解】（1）函数f(x)的定义域为R，f?(x)?ex(2x?1)．
ex0(2x0?1))，则切线的斜率f?(x0)?ex0(2x0?1)， 设切点(x0，
∴切线为y?ex0(2x0?1)?ex0(2x0?1)(x?x0)．
∵y?g(x)恒过点(1，0)，斜率为a，且为y?f(x)的一条切线， ∴0?ex0(2x0?1)?ex0(2x0?1)(1?x0)，
33∴x0?0或，由a?ex0(2x0?1)，得a?1或a?4e2． 2
（2）令F(x)?ex(2x?1)?ax?a，x?R，F?(x)?ex(2x?1)?a，
1， 当x≥0时，∵ex≥1，2x?1≥1，∴ex(2x?1)≥
??)上递增， 又a?1，∴F?(x)?0，∴F(x)在(0，
?F(0)??1?a?0，F(1)?e?0，则
存在唯一的整数x0?0使得F(x0)?0，即f(x0)?g(x0)；
0)上不存在整数使F(x)?0， 当x?0时，为满足题意，F(x)在(??，
?1]上不存在整数使F(x)?0， 即F(x)在(??，
∵x≤?1，∴ex(2x?1)?0．
?1]上递减， ①当0≤a?1时，F?(x)?0，∴F(x)在(??，
33∴当x≤?1时，F(x)≥F(?1)???2a≥0，得a≥， e2e
∴3≤a?1； 2e
3②当a?0时，F(?1)???2a?0，不符合题意． e
3≤a?1． 2e
22．【解】（1）作AA'?EF交EF于点A'，作BB'?EF交EF于点B'． 因为A'M?OA'?OM，B'M?OB'?OM， 综上所述，
所以A'M2?B'M2?2OA'2?2OM2．
从而AM2?BM2?AA'2?A'M2?BB'2?B'M2?2(AA'2?OA'2?OM2)． 故AM2?BM2?2(r2?m2)．
（2）因为EM?r?m，FM?r?m，所以AM?CM?BM?DM?EM?FM?r2?m2．
AMBMAM2BM2AM2?BM2
因为， ????CMDMAM?CMBM?DMEM?FM
AMBM2(r2?m2)所以． ??22CMDMr?m
又因为r?3m，所以AMBM5??．
CMDM2
23．【解】（1）直线l的极坐标方程分别是?sin??8．
圆C的普通方程分别是x2?(y?2)2?4，
所以圆C的极坐标方程分别是??4sin?．
（2）依题意得，点P,M的极坐标分别为?
所以|OP|?4sin?，|OM|????4sin?,??sin??8, 和?????,????.8， sin?
|OP|4sin?sin2???从而|OM|82． sin?
sin2(??)同理，|OQ|． ?|ON|2?
?2|OP||OQ|sin(??)2?sin?sin2(2?)， 所以??|OM||ON|?2216
故当???
4时，|OP||OQ|1?的值最大，该最大值是． |OM||ON|16
24．【解】（1）由已知得x?3?m?2，得5?m?x?1?m，即m?3． （2）x?a?f(x)得x?3?x?a?3恒成立，
?x?3?x?a?x?3?(x?a)?a?3（当且仅当(x?3)(x?a)?0时取到等号）， ?a?3?3解得a?6或a?0， 故a的取值范围为 a?0或a?6．
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