2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次质检数学试卷
（理科）（实验班）
一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．
1．设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（）
A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x≤3} D．{x|1＜x≤3} 2．复数z满足z?i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（）
A
．
4
．已知
A．4 B．﹣4 C
． D
． B
． C
． D
． ，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（）
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（）
A．36 B．72 C．144 D．70
6．已知函数f（x）=3cos
（﹣ωx）（ω＞0），函数f（x
）相邻两个零点之间的绝对值为，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（）
A．[0
，] B．
[，π] C．
[
，] D．
[
，]
7．1]恒成立， 设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞
，] B．
[] C．
[] D．
[，+∞）
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）
A
． B
． C
． D
．
9．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
10
．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（ ）
A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6
11．已知偶函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（x）
=，则函数g（x）=4f（x）﹣log7（|x|+1）的零点个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：
y=
底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（ ）
A
． B
． C
． D
． ，（其中e为自然对数的
二.填空题（每题5分，共20分）
13．若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 14．已知变量x，y
满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．
15．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是 ．
①若m∥β，n∥β，m、n?α，则α∥β．
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n?γ，则m⊥n．
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n．
16
．已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B
两点，若= ．
三.解答题（共8题，共70分）
17．数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列
{}的前n项和，求证Tn
＜．
18．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部
160）介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，；第二组[160，
165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2． （Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；
（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．
20．如图：A，B，C
是椭圆的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF
的距离为
，且椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数λ，
使得
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）?ex的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n． （1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；
（2）求证：m＜n；
（3）求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t）
，满足
=（t﹣1）2；又若
方程
=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围．
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l
的参数方程是
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|
=
（t是参数） ，求直线的倾斜角α的值．
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次质检数
学试卷 （理科）（实验班）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．
1．设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（ ）
A．{x|﹣2≤x≤﹣1} B．{x|﹣2≤x＜﹣1} C．{x|﹣1＜x≤3} D．{x|1＜x≤3}
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合B，再由交集的运算求出A∩B．
【解答】解：由题意得，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，
又集合A={x|﹣2≤x≤3}，则A∩B={x|﹣1＜x≤3}，
故选：C．
2．复数z满足z?i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：由z?i=3﹣i
，得
∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．
故选：C．
3．春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过3秒的概率是（ ）
A
． B
． C
． D
． ，
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】作出基本事件对应的平面区域和符合条件的平面区域，求出对应的几何度量．
【解答】解：设两串彩灯分别在通电后x秒，y秒第一次闪亮，
则所有的可能情况对应的平面区域为正方形OABC，
作出直线x﹣y=3和直线y﹣x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过3秒对应的平面区域为六边形ODEBGF，
∴
P=
故选B． =
=．
4
．已知
A．4 B．﹣4 C
． D
． ，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】由题意可得
与共线，进而可得4k﹣1×（﹣1）=0，解之即可．
【解答】解：∵A，B，C
三点共线，∴
与共线
又∵
∴4k﹣1×（﹣1）=0，
解得
k= ，
故选C
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（ ）
A．36 B．72 C．144 D．70
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】把已知转化为含有首项和公差的等式，求出a5，然后直接由S9=9a5得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，
由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．
∴S9=9a5=9×8=72．
故选：B．
6．已知函数f（x）=3cos
（﹣ωx）（ω＞0），函数f（x
）相邻两个零点之间的绝对值为，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（ ）
A．[0
，] B．
[，π] C．
[
，] D．
[
，]
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
【解答】解：由函数f（x）=3cos
（
值为
可得
?
，
=﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对
，∴ω=2，函数f（x）=3cos
（
≤2kπ+π，求得kπ
+
，kπ
+≤x≤kπ
+]，k∈Z． ﹣2x）=3cos（2x
﹣， ）． 令2kπ≤2x
﹣可得函数的减区间为[kπ
+
结合所给的选项，
故选：C．
7．1]恒成立， 设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣∞
，] B．
[] C．
[] D．
[，+∞）
【考点】指数函数综合题．
【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，
利用配方法求得
的范围得答案．
【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，
即m
≤
=，
∵x∈[0，1]
，∴
则∈
[，1]，
∈
[]，
∴∈
[]，
则
m．
故选：A．
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ）
A
． B
． C
． D
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．
【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．
由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积
=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，
∴四棱锥的体积为=4．
． ∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为
故选C．
9．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
【解答】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，
∵F（1，0），则|PF|+d2
=
则d1+d2
的最小值为
故选D． ． =，
10
．如图所示的程序框图，若执行后的结果是，则在①处应填写的是（
A．i≤3 B．i≤4 C．i≤5 D．i≤6
【考点】程序框图．
【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足输出结果为的条件即可．
【解答】解：第一次循环，i=1，满足条件，
A=
=，i=2， 第二次循环，i=2，满足条件，
A=，i=3，
第三次循环，i=3，满足条件，
A=，i=4，
第四次循环，i=4，满足条件，
A=
=，i=5，
此时i=5，不满足条件，程序终止，输出
A=，
即当i=1，2，3，4时，满足条件，当i=5时，不满足条件．
则条件应该为i≤4，
故选：B ）
11．已知偶函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，f（x）
=，则函数g（x）=4f（x）﹣log7（|x|+1）的零点个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】令g（x）=0得f（x）
=log7（|x|+1），分别作出f（x）和
y=log7（|x|+1）在（0，+∞）上的函数图象，根据函数的图象和奇偶性得出零点个数．
【解答】解：令g（x）=0得f（x）
=log7（|x|+1），
作出y=f（x）和
y=log7（|x|+1）在（0，8）上的函数图象如图所示，
由图象可知y=f（x）和
y=log7（|x|+1）在（0，+∞）上有6个交点，
∴g（x）在（0，+∞）上有6个零点，
∵f（x），g（x）均是偶函数，
∴g（x）在定义域上共有12个零点，
故选：D．
12．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：
y=
底数），O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为（ ）
A
． B
． C
． D
． ，（其中e为自然对数的
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，当x≤0时，曲线y=与直线y=k1x无限接近，考虑渐近线，求出k1=﹣3；当x＞0时，设出切点，求出
切线的斜率，列出方程，求出切点（1，2），即得k2=2，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．
【解答】解：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，
当x≤0时，曲线
y=与直线y=k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1=﹣3； 当x＞0时，y′=ex﹣1+xex﹣1，设切点为（m，n），则n=k2m，
n=mem﹣1+1，k2=em﹣1+mem﹣1，即有m2em﹣1=1，
由x2ex﹣1（x＞0）为增函数，且x=1成立，故m=1，k2=2，
由两直线的夹角公式得，tanθ=
|
故曲线C相对于点O的“确界角”
为
故选：B．
． |=1，
二.填空题（每题5分，共20分）
13．若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 [﹣
2．
【考点】命题的真假判断与应用． ，
【分析】将条件转化为2x2﹣3ax+9≥0恒成立，通过△=9a2﹣72≤0，从而解出实数a的取值范围．
【解答】解：命题“?x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，
即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题．
△=9a2﹣72≤0，解得﹣
2≤a≤
2，
故答案为：[﹣
2，
2]
14．已知变量x，y
满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+2y得y=
﹣x
+z，
平移直线y=
﹣x
+z，
由图象可知当直线y=
﹣x
+z经过点A，y=
﹣x
+z的截距最大，此时z最大．
由，
解得，即A（1，4），
代入z=x+2y=1+2×4=9．
即目标函数z=x+2y最大值为9．
故答案为：9．
15．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是 ②④ ．
①若m∥β，n∥β，m、n?α，则α∥β．
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n?γ，则m⊥n．
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么m∥n．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：①若m∥β，n∥β，m、n?α，则α与β相交或平行，故①错误． ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n?γ，则由平面与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确． ③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β或n?β，故③错误．
④若n∥α，n∥β，α∩β=m，那么由直线与平面平行的性质得m∥n，故④正确． 故答案为：②④．
16
．已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B
两点，若
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，
c=
此可知．
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
=3，∴y1=﹣3y2，
∵
e=，设a=2t，
c=t，b=t， =
． t，b=t，设直线AB方程为x=sy
+t，由
∴x2+4y2﹣4t2=0①，
设直线AB方程为x=sy
+t，
代入①中消去x，可得（s2+4）y2+
2
∴y1+y2=﹣，y1y2=
﹣sty﹣t2=0， ，﹣2y2=
﹣，﹣
3=
﹣， 解得
s2=，
k=．
故答案：．
三.解答题（共8题，共70分）
17．数列{an}是首项a1=4的等比数列，sn为其前n项和，且S3，S2，S4成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2|an|，设Tn为数列
{}的前n项和，求证Tn
＜．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．
【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，先看当q=1时，S3，S2，S4不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S3，S2，S4，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{an}的通项公式可得．
（Ⅱ）把（1）中的an代入bn=，进而利用裂项法求得前n项的和，
根据
式得证．
【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q．
当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列
∴q≠1
，
2S2=S3+S4，
∴， ．原
即q4+q3﹣2q2=0．∵q≠0，q≠1，∴q=﹣2，
∴an=4（﹣2）n﹣1=（﹣2）n+1
（Ⅱ）bn=log2|an|=log2|（﹣2）n+1|=n+1，
∴
∴
∴．
，
18．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部
160）介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，；第二组[160，
165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图前五组频率为0.82，从而后三组频率为0.18，由此能求出这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数．
（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.04，人数为2，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，从而求出第六组人数为4，第七组人数为3，由此能求出其完整的频率分布直方图．
（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，身高在[190，195]内的人数为2，由此利用列举法能求出事件“|x﹣y|≤5”的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，
∴这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为800×0.18=144．…． （2）由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，
设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，
又m+2=2（7﹣m），解得m=4，所以第六组人数为4，
第七组人数为3，频率分别等于0.08，
0.06.
直方图如图．… 分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布
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