2016-2017学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分命题人、校对人：高三备课组
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U?R，A?{x|x?0}，B?{x|x??1}，则集合CU(A?B)?（ ）
A．{x|x??1}B．{x|x?1} C．{x|?1?x?0} D．{x|0?x?1}
2. 设复数z满足?2z?i??2?i??5，则z?（ ）
A．1?i B．1?i C．1?2i D．1?2i
x2y2
b?0）3.已知双曲线2?2?1（a?0，经过点?2,3?，且离心率为2，则它的焦距为（ ） ab
A．2
4.命题p:“若x?R且B．4 C．6 D．8 xx?0，则x??1或x?0”的否命题是：?0，则“若x?1x?1
:?x?R,sinx?1”?1?x?0”；命题q“的否定是“?x?R,sinx?1”，则四个命题?p??q，
p?q，?p?q，p??q中，正确命题的个数为（）
A．1B．2 C．3D．4
5.抛物线y2?4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.
A．161816B.C. D. 2921531
7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是1圆弧）（ ）
4
A．4?π B．π?2 C．1?π 2D．1?π 4
8.设各项都是正数的等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn，若a2，S3，a2?S5成等比数列，则d?（ ） a1
3 2C．A．0 B．2D．1 3
9.将函数y?sin?2x??
?ππ?的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） ?24?B．在区间??A．在区间???π3π?,?上单调递减 44??
?π3π?,?上单调递减 ?88??π3π?,?上单调递增 44???π3π?,?上单调递增 ?88?C．在区间??D．在区间??
?x?3y?4?0y?10.已知x,y满足：?3x?y?4?0,若z?,则z的最大值和最小值分别为（ ） x?3?x?y?0?
11 B．最大值是3,最小值是? 22
11C．最大值是2,最小值是? D．最大值是3,最小值是? 33A．最大值是2,最小值是?
x2y2
11. 已知顶点为坐标原点O的抛物线C1与双曲线C2:2?2?1?a?0,b?
0?都过点ab
?2M??3,且它们有共同的一个焦点F,则双曲线C2的离心率是（ ） ??
A．3 B．2 C
12.
值为（ ）
A
．y2?x2?3，则(x1?x2)2?(y1?y2)2的最小 B
12第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
x? x?0?2, 13.已知函数f?x???,则f?log29??． ??f?x?1??1,x?0
14.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x?0时，f(x)?x2?2x，那么，不等式f(x)?3的解集是 .
????????????????????????????15.已知向量AB与AC的夹角为120?,且AB?3,AC?2,若AP??AB?AC,且
????????AP?BC,则实数?? ．
16.函数f(x)?，给出函数f(x)下列性质：|x?2|?2
（1）函数的定义域和值域均为；
（2）函数的图象关于原点成中心对称；
（3）函数在定义域上单调递增；
（4）A、B为函数f（x
）图象上任意不同两点，则＜|AB|≤2．
请写出所有关于函数f（x）性质正确描述的序号______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分）
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3,BC?4,AB?5,AA1?4，
点D是AB的中点.
（1）求证：AC?BC1
（2）求证：AC1//平面CDB1
18.(本小题满分12分）
已知数列{an}是首项为a1?11，公比q?的等比数列，设bn?2?3log1an(n?N*)，数列444
{cn}满足cn?an?bn.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn.
19.(本小题满分12分）
在?ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c
，且
B?cosBC?cosC)?4cosBcosC.
（1）求角A；
（2）若sinB?psinC，且?ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．
20.(本小题满分12
成等差数列，记(x,y)所对应点的曲线是C.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点M(1,0)，点N32,()B两点，，过点M任作直线l与曲线C相交于A，设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问k1?k2是否为定值？请证明你的结论。
21.(本小题满分12分）设函数f(x)?lnx?
（1）当a?b?12ax?bx． 21时，求f(x)的最大值； 2
12a（2）令F(x)?f(x)?ax?bx?(0?x?3)，以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的2x
1切线的斜率k?恒成立，求实数a的取值范围； 2
（3）当a?0，b??1时，方程2mf(x)?x2有唯一实数解，求正数m的值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l是过点P(?1,2)，倾斜角为
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆C相交于M、N两点，求|PM|?|PN|的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?a，g(x)?x2．
（1）当a?2??的直线，圆C的极坐标方程为??2cos(??). 331时，求不等式f(x)?g(x)的解集； 4
（2）设a?0，且当x?[1,??)时，f(x)?g(x)，求a的取值范围.
2016-2017学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试卷答案
1、C 2、A 3、B 4、B 5、B 6、D 7、D 8、B 9、C 10、A 11、A 12、B 13、?55 16
14、（﹣3，3）
15、7
12
16、（2）
17、
解：（1）在?ABC中：AC?BC?AB?AC⊥BC ?????（1分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中：CC1?面ABC，AC?面ABC，? AC⊥CC1??（2分） 又BC?CC1?C，? AC⊥面BC1，BC1?面BC1 故AC⊥BC1。??（4分）
（2）略?????（8分）
18、
解:（1）由题意知，an?()(n?N*) ，?????2分 2221n
4
又bn?3log1an?2，
4
故 bn?3n?2(n?N*)?????4分
（2）由（1）知，an?(),bn?3n?2(n?N*) 1
4n
1?cn?(3n?2)?()n,(n?N*)?????6分 4
11111?Sn?1??4?()2?7?()3???(3n?5)??)n?1?(3n?2)?()n,??7分 44444
111111?Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)??)n?(3n?2)?()n?1?9分 444444两式相减，得
31111111Sn??3[()2?()3???()n]?(3n?2)?()n?1??(3n?2)?()n?1.?12分 44444424
23n?21n?Sn???()(n?N*)?????12分 334
19、
解：（1）
由题意得3sinBsinC?cosBcosCBcosCBsinC?
4cosBcosC
??
6?C??
2?tanC1??p?2. 32
20、
（1）
? 所以点P?x,y?对应的曲线方程C是椭圆
??a? 得? ．
??c? 故b=1 椭圆C方程为y＝1 3x22
x＝1，x＝1，????2 (2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.由?x解得?6 2＋y＝1，y＝±.??3?3?
不妨设A（1，66），B（1，－）， 33
662－2＋33因为k1＋k2＝2，且k1＋k2＝2k3， 22
所以k3＝1，
所以m，n满足的关系式为n－21，即m－n－1＝0. m－3
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
将y＝k(x－1)＋y＝1， 3
整理得(3k＋1)x－6kx＋3k－3＝0.
6k3k－3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2. 3k＋13k＋1
又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 222222x22
2－y12－y2所以k1＋k2＝＝ 3－x13－x2
（2－y1）（3－x2）＋（2－y2）（3－x1）＝ （3－x1）（3－x2）
[2－k（x1－1）]（3－x2）＋[2－k（x2－1）]（3－x1） x1x2－3（x1＋x2）＋9
2kx1x2－（4k＋2）（x1＋x2）＋6k＋12 x1x2－3（x1＋x2）＋9
3k－36k2k×2－（4k＋2）×26k＋1223k＋13k＋12（12k＋6）＝2， 2223k－36k12k＋6－3×＋93k＋13k＋1
所以定植为2.
21、
21.解：（1）依题意，知f(x)的定义域为(0,??). ?????????????（1分） 22当a?b?1211时，f(x)?lnx?x?x， 242
f?(x)?111??x?2??x?1??x??. ????????????（2分） x222x
令f?(x)?0，解得x?1.
当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)单调递增；
当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)单调递减. ???????????（3分）
所以f(x)的极大值为f(1)??
（2）F(x)?lnx?
所以k?F(x0)?'3，此即为最大值 . ????????（4分） 4a,x?(0,3]， xx0?a1?，在x0?(0,3]上恒成立，??????（6分） 2x02
所以a????12?x0?x0? ，x0?(0,3]?????????????（7分） ?2?max
1211x0?x0取得最大值．所以a?． ??????（9分） 222
2当x0?1时，?2（3）因为方程2mf(x)?x有唯一实数解，所以x?2mlnx?2mx?0(x>0)有唯一实数
解．
2x2?2mx?2m设g(x)?x?2mlnx?2mx(x>0)，则g?(x)?. x2
令g?(x)?0，得x?mx?m?0．
因为m?0,x?0，
2
所以x1?，x2? ???（10分） ?0（舍去）
当x?(0,x2)时，g?(x)?0，g(x)在(0,x2)单调递减，
当x?(x2,??)时，g?(x)?0，g(x)在(x2,??)单调递增．
当x?x2时，g?(x2)?0，g(x)取最小值g(x2). ????????（11分） 因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0．
2??g(x2)?0?x2?2mlnx2?2mx2?0则?，即?2 ?g(x)?0??2?x2?mx2?m?0
所以2mlnx2?mx2?m?0，
因为m?0，所以2lnx2?x2?1?0
设函数h(x)?2lnx?x?1，
因为当x?0时，h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解． ???（13分） ???． ??????????（12分）
因为h(1)?0，所以方程???的解为x2?
1?1， 解得m?
22、 1. ?????????????????（14分） 2
??x?1??解：
（Ⅰ）将??y?1???2消去参数，化为普通方程x?y?2?0 t2
?x??cos?再将?代入x?y?2?0，得?cos???sin??2???????????5分 y??sin??
（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程
??cos???sin??2 ?2??4?(sin??cos?)?4?0?
???2??1?2?2
因为??0,0???2?，所以可解得?或??，
??1?0??2??2
因此l与C交点的极坐标分别为(2,0)，(2,
23、
解：（Ⅰ）当a??2)．???????????????10分 11时，不等式f(x)?g(x)化为x??x2 44
11??x?x?????44将上式化为不等式组，得?或?
?x?1?x2??x?1?x2
???4?4
解得?11，
?x?22
??
???x?．?????????????5分 ??所以原不等式的解集为?x|（Ⅱ）不等式f(x)?g(x)化为x?a?x2，
因为a?0，x?[1,??)，所以x?a?x|?|a?x?a且 x?a?a|?|x?a?x 从而有x2?x?a且 x2?a?x，
即对于a?0，x?[1,??)，a?x?x2且 a?x2?x成立
因此0?a?2．?????????????????????????????10分
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