2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学2016.12
本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
（1）已知集合A?xx?2，B?xx?2x?3?0，则A?B?
(Ａ) ??2,3?(Ｂ) ??1,2? (Ｃ) ?2,1(Ｄ) ?1,2? ???2???
（2）设(1?i)(x?yi)?2，其中x,y是实数，则2x?yi?
（A）1（B（C） （D（3）等比数列?an?的前n项和为Sn，若a2?S3?0，则公比q?
(A) ?1(B) 1(C) ?2(D) 2
1y2x2
（4）已知双曲线C2?2?1（a?0,b?0）的渐近线方程为y??x, 则双曲线C的离心率2ab
为
(A) 5(B) 2(C)(D) 26
（5）若将函数f(x)?sin2x?cos2x的图象向左平移?个单位，所得图象关于y轴对称，则?的
最小正值是
（A）??3?3?（B）（C） （D）8484
（6）GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C三期播出, A期播出两间学校, B期，C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有
（A）140种 （B）420种 （C）840种 （D）1680种
?x2,x?0,?（7）已知函数f(x)??1 g(x)??f(?x)，则函数g(x)的图象是
?,x?0,?x
（8）设a?0.7，b?0.40.40.7 ，c?0.4 ，则a,b,c的大小关系为 0.4
(A) b?a?c (B) a?c?b (C) b?c?a(D) c?b?a
（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
(A) 7
（10）已知抛物线C:yN两点，若PF (Ａ) 21 2（11）如图, (C) 29? (A) 25?
(12) 若函数f?x??e(A) ???,1?
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
????????（13）已知菱形ABCD的边长为2，?ABC?60, 则BD?CD?________． ?
（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布??N10,??2?, 根据检测
结果可知P?9.9???10.1??0.96,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该
公司有2000名职工, 则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为 .
?2x?y?2?0,?（15）已知x,y满足约束条件?x?2y?2?0,若z?x?ay?a?0?的最大值为4，则a?
?x?y?2?0,?
（16）在数列?an?中,a1?2,a2?8,对所有正整数n均有an?2?an?an?1，则
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若a?1，2cosC?c?2b. （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若b?2017n?1?an?. 1, 求sinC. 2
（18）（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,…,8，其中X?5为标准A，X?3为标准B. 已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙
厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相 应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数
X的概率分布列如下所示：
且X1的数学期望EX1?6, 求a,b的值;
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等
级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可
购买性？说明理由.
注: ①产品的“性价比”
(19) （本小题满分12分）
如图, EA^平面ABC，DB^平面ABC, △ABC是等边三角形，AC?2AE, M是AB的中点. D （Ⅰ）求证：CM?EM;
（Ⅱ）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2， E
求二面角B?CD?E的余弦值.
(20) （本小题满分12分） ；②“性价比”大的产品更具可购买性. ACB
22已知动圆P与圆F且与圆F2:(x?2)2?y2?1相内切，记圆心P的轨1:(x?2)?y?49相切，
迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行
线交曲线C于M,N两个不同的点, 求△QMN面积的最大值．
(21) （本小题满分12分）
（e,f(e))处的切线方程为 设函数f(x)?(mx?n)lnx. 若曲线y?f(x)在点P
y?2x?e（e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若a,b?R，试比较
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
?f(a)?f(b)a?b)的大小，并予以证明. 与f(22
(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
f?x??3的解集是?x|?1?x?2?.
（Ⅰ）求a的值；
（II）若f?x??f??x??|k|存在实数解，求实数k的取值范围. 3
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
（1）B （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C
（7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A
二、填空题
（13）6（14）40（15）3 （16）2
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为a?1，2cosC?c?2b，
12?b2?c2
?c?2b,即b2?c2?1?bc. ……………………2分 由余弦定理得2?2b
b2?c2?12bc1??. …………………………………………4分 所以cosA?2bc2bc2
由于0?A??, 所以A??
3. …………………………………………6分
211?1?22（Ⅱ）法1: 由b?及b?c?1?bc, 得???c2?1?c, ……………………7分 22?2?
即4c?2c?3?0, ………………………………………………………………8分
解得c?
2或c?(舍去). …………………………………………9分 ca?, …………………………………………10分 sinCsinA 由正弦定理得
得sinC?sin60??. ………………………………………12分
法2: 由b?1ba?及正弦定理得, …………………………………………7分 2sinBsinA
得sinB?1.…………………………………………8分 sin60??2?? 由于b?a, 则0?B?A?60,
则cosB??
?. …………………………………………9分 ? 由于A?B?C?180, 则C?120?B. ………………………………………10分
? 所以sinC?sin120?B ??
?sin120cosB?cos120sinB ………………………………………11分
???1?2……………………………………………………………12分
?
(18) 解:
（Ⅰ）EX1?5?0.4?6a?7b?8?0.1?6, 即6a?7b?3.2, ? ……………………1分
又由X1的概率分布列得0.4?a?b?0.1?1,a?b?0.5, ② ……………………2分
由??得a?0.3,b?0.2. …………………………………………………………4分
……
……
…………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数
X的概率分布列如下：
………………………………………………………………6分
所以EX2?3?0.3?4?0.2?5?0.2?6?0.1?7?0.1?8?0.1?4.8. ……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为4.8. ……………………………………………8分 （Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6, 价格为6元/件，所以其性价比为6?1， 6
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8, 价格为4元/件，所以其性价比为4.8?1.2， 4
……………………………………………………………………………10分
据此，乙厂的产品更具可购买性.……………………………………………12分
(19) 解:
（Ⅰ）因为△ABC是等边三角形，M是AB的中点,
所以CM?AB. …………………………………1分
因为EA?平面ABC, CM?平面ABC,E
所以CM?EA. …………………………………2分
因为AM?EA?A,
所以CM?平面EAM. ……………………3分
因为EM?平面EAM,
所以CM?EM. ……………………………4分 （Ⅱ）法1: 以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且
与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M?xyz.
因为DB^平面ABC,
所以?DMB为直线DM与平面ABC所成角. ……………………………………5分 由题意得tan?DMB?
从而BD?AC.
不妨设AC?2, 又AC?2AE,
则CM?AE?1.…………………………7分 故B
?0,1,0?,CBD?2, 即BD?2MB,…………………………………6分 MB, D?0,1,2?, E?0,?1,1?. ……………………………8分
?
????于是BC?????
????????
?1,0, BD??0,0,2?,CE??1,1,CD?, ?????
???设平面BCD与平面CDE的法向量分别为m?(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2),
????????m?BC?0,1?y1?0,由??????
得 令x1?1,
得y1? ????2z1?0,?m?BD?0, ??
所以m?. …………………………………9分 ??
????????n?CE?0,?2?y2?z2?0,由?????
得? 令x2?1,
得y2?
, z2?. ????n?CD?0,?2?y2?2z2?0,???
所以n???1,?33??. …………………………………10分 ?? ??????m?n所以cos?m,n???0. …………………………………11分mn
所以二面角B?CD?E的余弦值为0. …………………………………12分 法2: 因为DB^平面ABC,
所以?DMB为直线DM与平面ABC所成角. …………………………………5分
由题意得tan?DMB?BD?2, 即BD?2MB,…………………………………6分 MB
从而BD?AC.
不妨设AC?2, 又AC?2AE,
则CMAE?1, AB?BC?BD?2. …………………………………7分 由于EA^平面ABC,DB^平面ABC, 则EA∥BD.
取BD的中点N, 连接EN, 则EN?AB?2.
在Rt△END中
, ED?
在Rt△EAC中
, EC?
在Rt△CBD中
, CDDEPACBN, ??取CD的中点P, 连接EP,BP, BE,
则EP?CD,BP?CD. …………………………………8分 所以?EPB为二面角B?CD?E的平面角. …………………………………9分 在Rt△EPC中
, EP在Rt△CBD中
, BP?
在Rt△EAB中
, EB22?1CD?22因为EP?BP?5?EB, …………………………………10分 所以?EPB?90. …………………………………11分 所以二面角B?CD?E的余弦值为0. …………………………………12分
(20) 解：
（Ⅰ）设圆P的半径为R, 圆心P的坐标为(x,y)，
22由于动圆P与圆F1:(x?2)?y?49相切，且与圆F2:(x?2)2?y2?1相内切， ?
所以动圆P与圆F1只能内切. …………………………………1分
??PF1?7?R,所以? …………………………………2分 PF?R?1.??2
则|PF. …………………………………3分 1|?|PF2|?6?|F1F2|?4
所以圆心P的轨迹是以点F1,F2为焦点的椭圆,
且a?3,c?2, 则b?a?c?5. 222
x2y2
所以曲线C的方程为??1. …………………………………4分 95
（Ⅱ）设M(x1,y1), N(x2,y2), Q(x3,y3)，直线MN的方程为x?my?2，
ìx=my+2,??22 由?可得（5m+9）y+20my-25=0， 22íxy?+=1,??95? 20m25,yy??则y1?y2??. …………………………………5分 12225m?95m?9
所以
MN= …………………………………6分
=
=
因为MN//OQ，所以△QMN的面积等于△OMN的面积. …………………8分 点O到直线MN:x?my
?2的距离d=30(1+m2)5m+92. …………………………………7分 . ……………………………9分
1 所以△QMN
的面积S=MN?d2
130(m2+1)25m2+9=. …………………………………10分
?t，则m2?t2?1(t?1) ，S=30t30t30. ==25t2-1+95t+45t+4
t
445t2-4设f(t)=5t+(t?1)，则f￠. (t)=5-2=ttt2
5t2-4>0. 因为t31, 所以f￠(t)=2t4所以f(t)=5t+在[1,+?)上单调递增. t
所以当t=1时, f(t)取得最小值, 其值为9. …………………………………11分 所以△QMN的面积的最大值为
说明: △QMN
的面积S=1OF?y21230. …………………………………12分 9. y2=
(21) 解:
（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,??).
f?(x)?mlnx?mx?n. ………………………………………………………………1分 x
?me?n?e,?依题意得f(e)?e,f?(e)?2，即? ……………………3分 me?nm??2,?e?
所以m?1,n?0. ………………………………………………………………4分 所以f(x)?xlnx，f?(x)?lnx?1. 1
e
11所以函数f(x)的单调递减区间是(0,), 单调递增区间是(,??).………………6分 ee
f(a)?f(b)a?b??f(). （Ⅱ）当a,b?R时，22
f(a)?f(b)a?balna?blnba?ba?b?f()等价于?ln， 22222
a2aaa?(1?)ln(1?)?ln2?0. ………………………………………7分 也等价于lnbbbb
不妨设a?b， 当x?(0,)时, f?(x)?0; 当x?(,??)时, f?(x)?0.
设g(x)?xln?2x??(1?x)ln(1?x)?ln2（x?[1,??)）,
则g?(x)?ln(2x)?ln(1?x). …………………………………………………………8分 1e
)g?(x)?0，所以函数g(x)在[1,??)上为增函数， 当x?[1,??时，
即g(x)?xln2x?(1?x)ln(1?x)?ln2?g(1)?0， ……………………9分 故当x?[1,??)时，g(x)?xln2x?(1?x)ln(1?x)?ln2?0（当且仅当x?1时取等 号）. aa?1，则g()?0， …………………………………………10分 bb
a2aaa?(1?)ln(1?)?ln2?0（当且仅当a?b时取等号），……………11分 即lnbbbb
f(a)?f(b)a?b??f()（当且仅当a?b时取等号）. 综上所述，当a,b?R时，22令x?
………………………………………………………………12分
(22) 解:
(Ⅰ) 由??x?tsin?,消去t得xcos??ysin??sin??0, ……………………1分
?y?1?tcos?,
所以直线l的普通方程为xcos??ysin??sin??0.……………………2分
由?cos2??4sin?, 得??cos???4?sin?, ……………………3分 把x??cos?,y??sin?代入上式, 得x?4y,
所以曲线C的直角坐标方程为x?4y. …………………………………………5分
(II) 将直线l的参数方程代入x?4y, 得tsin
222222??4tcos??4?0, ………………6分当
??
时, AB的最小值为4.…………………………………………10分
（II）因为f?x??f??x?2x??2x??2x?1???2x?1?2???.………………7分
3333
8分
9分
10分
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