2017届黑龙江省肇东市第一中学高三12月月考数学（理）试题
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合A?{x2?x?0}，B??xy?ln?1?x??，则AIB=（ ） x
A．?0,1?B．?0,1?C．?0,2?D．?1,2?
2.复数z?2?i在复平面上对应的点位于（） 1?i
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A．134石B．169石C．338石 D．1365石
4.在等比数列?an?中，a3，a15是方程x2?7x?12?0的两根，则a1a17的值为（） a9
A
．．
4C. ? D．?4
rrrrrrrrr5.已知向量a,b满足，a?b?2，a?a?2b，则a?2b为（） ??
A
．．
4C.
．6.已知函数f?x??asin2x?bcos2x的图象向右平移?6个单位后所得到的图象关于直线x??
4对称，则
b的值为（） a
A
B．
D．2 7.从A,B,C,D,E五名歌手中任选三人出席义演活动，当三名歌手中有A和B时，A需要排在B的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有（ ）
A．51种B．45种C.42种D．36种
8.已知sin(7?17???)?，则sin(2??)的值为（ ） 636
第页 1
A．? B．1
9177C.? D． 999
9.已知?ABC的边长为1的等边三角形，D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得
uuuruuurDE?2EF，则AF?BC的值为（ ）
A． ?
uuuruuruurr10.在?ABC中，P是BC边中点，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若cAC?aPA?bPB?0，则?ABC
的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C.等边三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形 51111 B．C. D． 8848
uuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuurBO为边AC上的中线，11.如图，在?ABC中，设CD//AG，若AD?AB??AC(??R)，BG?2GO，5
则?的值为（ ）
A． 116 B．C. D．2 525
12.设函数f??x?是函数f?x?(x?R)的导函数，f?0??1，且3f?x??f??x??3，则4f?x??f??x?的解集为（ ）
A．(3eln4ln2,??) B．(,??)C. (,??) D．(,??) 2332
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.(x?a)(2x2?)6展开式中的常数项为60，则实数a的值为． 1
x
?2x?y?8?x?y?6?14.若实数x,y满足?，则z?60x?20y的最大值为 ． x?0???y?0
2c?a15.已知a,b,c是锐角?ABC的内角A,B,C所对的边，b?3，且满足cosB?cosA，则?ABCb
的周长的取值范围是 ．
第页 2
16.对于函数f?x???2cosx,x??0,??与函数g?x??12x?lnx有下列命题： 2
?无论函数f?x?的图像通过怎样的平移所得的图像对应的函数都不会是奇函数；
?函数f?x?的图像与两坐标轴及其直线x??所围成的封闭图形的面积为4；
?方程g?x??0有两个根；
④函数g?x?图像上存在一点处的切线斜率小于0；
⑤若函数f?x?在点P处的切线平行于函数g?x?在Q处的切线，则直线PQ的斜率为
其中正确的命题是 ． 1； 2??
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知?ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，且
acosC?ccosA?2bcosB,b?3.
（I）求证：角A,B,C成等差数列；
（II）求?ABC面积的最大值.
18.（本小题满分12分）等差数列?an?中，Sn为其前n项和，已知a2?2,S5?15，数列?bn?，b1?1，对任意n?N?满足bn?1?2bn?1
（I）数列?an?和?bn?的通项公式；
（II）设cn?an，设数列?cn?的前n项和Tn，证明：Tn?2. bn?1
19.（本小题满分12分）某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示45名同学的饮食指数。说明：如图中饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类。
（I）根据茎叶图，完成下面2?2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关，说明理由：
3 第页
（II）根据饮食指数在?10,39?,?40,69?,?70,99?进行分层抽样，从全班同学中抽取15名同学进一步调查，记抽取到的喜食肉类的女同学为?，求?的分布列和数学期望；
下面公式及临界值表仅供参考：附：
n(ad?bc)2
K?，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，AD//BC，
?ADC?90?,AD?2BC,PA?平面PCD；
（I）设E为线段PA的中点，求证：BE//平面PCD；
（II）若PA?AD?DC，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知函数f?x??lnx,g?x??e. x
（I）若函数??x??f?x??x?1，求函数??x?的单调区间； x?1
（II）设直线l为函数f?x?的图像上的一点A?x0,f?x0??处的切线，证明：在区间?1,???上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y?g?x?相切。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?2?2cos?（?为参数），在极坐标系（与直角坐标y?2sin??
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为
第页 4
?sin(???
4)?22.
（I）求曲线C在极坐标系中的方程；
（II）求直线l被曲线C截得的弦长。
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f?x??x?2?2x?a,a?R.
（I）当a?1时，解不等式f?x??5；
（II）若存在x0满足f?x0??x0?2?3，求a的取值范围。
试卷答案
一、选择题
1-5: ADBAD 6-10: CADBC 11、12：CC
二、填空题 13. 1 14. 20015. ?3?3,33? 16.
三、解答题
17.（1）sinAcosC?sinCcosA?2sinBcosB，
所以sin(A?C)?sinB?2sinBcosB，
第页 5 ?⑤
因为sinB?0，所以cosB?
因为B??0,??，所以B?
则2B?A?C，
所以角A,B,C成等差数列； 1， 2， ?3
（2）由余弦定理b2?a2?c2?2accosB得a2?c2?ac?3， 则3?ac?a2?c2?2ac，ac?3，当且仅当a?c时等号成立；
所以S?11；
acsinB??3?22
所以通项公式bn?2n?1；
n1n?n?()， n22
11111Tn?1??2?()2?3?()3?L??n?1??()n?1?n?()n ① 22222
111111Tn?1?()2?2?()3?3?()4?L?(n?1)()n?n?()n?1 ② 222222
n?2①-②得：Tn?2?n， 2
n?2Tn?2?n?2。 2（2）cn?
19.（1）
245(19?3?17?6)29??2.706； 根据表中数据可计算K的观测值k?36?9?20?2516
p(k?2.706)?0.100
第页 6
所以没有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关。
（2）X所以可能取值为0,1,2,3，
312C6C3C6451520; P(X?0)?3?;P(X?1)???3C984C98428
13C32C6C31831; P(X?2)???;P(X?3)??33C98414C984
X的分布列如下表：
E?x??1。
20.（1）取PD中点F，连接FE,FC，
EF//AD且EF?1AD， 2
1AD， 2又因为已知BC//AD且BC?
所以BC//EF且BC?EF，
所以四边形BEFC为平行四边形，则BE//CF， 又因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE//平面PCD；
uuur（2）以A为原点，AD方向为y轴，建立空间直角坐标系，
设PA?2，则P?0,0,2?,D?0,2,0?,C?2,2,0?,B?2,1,0?, uuuruuuruuuruuurAP??0,0,2?,AB??2,1,0?,PD??0,2,?2?,DC??2,0,0?,
r设平面PAB的法向量为n??x,y,z?，
ruur?r?z?0?ngPA?0则?ruu，即?，可取n??1,?2,0
?， ur2x?y?0???n
gAB?0
ur同理可求平面PCD的法向量为m??0,?1,?1?，
urr从而cosm, 所以平面PAB与平面PCD第页 7
x2?121.（1）f?x?定义域为?xx?0且x?1?,??x??， x(x?1)2
因为x?0，所以当x?(0,1)?(1,??),f??x??0，所以f?x?的增区间是(0,1)?(1,??)；
（2）A(x0,lnx0)，直线l的切线斜率为f??x0??
x1， x0x设直线l与函数g?x?相切与B(x1,e1)，直线l的切线斜率为g??x1??e1， 由斜率公式可得kABlnx0?ex1 ?x0?x1
?1x1?e?xx0?1?0两式联立可得， lnx??0x1x?1lnx?e100???x0?x1?x0
x?12由（1）??x??lnx?在(1,??)上单调递增，??e??0,??e??0 x?1
所以存在唯一实数x0?(1,??)，使直线与g?x?相切。
22.（1）曲线C的直角坐标方程为?x?2??y2?4，即x?y?4x?0， 222
根据极坐标与直角坐标互化公式有：??4?cos??0，即??4cos?；
（2）直线l的普通方程为x?y?4?0，
圆心?2,0?到直线x?y?4?
0的距离为d2
根据垂径定理：l??
23.（1）当a?1时，f?x??x?2?2x?1，不等式为x?2?2x?1?5， 1??1x???x?2????x?2等价于?或或， 2?2??x?2?2x?1?5??2?x?2x?1?52?x?2x?1?5??
即x??4或x??或x?2， 3
所以不等式的解集为???,??U?2,???； 3??4??
（2）f?x0??x0?2?2x0?2?2x0?a，
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所以存在x0满足f?x0??x0?2?3，即2x0?2?2x0?a?3有解， 所以只需3?2x0?2?2x0?a??max， 根据绝对值三角不等式2x0?2?2x0?a?2x0?4?2x0?a?a?4， 所以问题转化为a?4?3， 则?3?a?4?3，
a?(?7,?1).
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