宜昌市第一中学2017届高三11月阶段性检测
数学(理科)试题
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1设集合A={2,lnx}, B={x,y}若A?B={0},则y的值为()
A．2 B．0 C．eD．
1
e
2. 已知i为虚数单位，复数z=(
A. ?i
3. “?x
i-13
)，则z=() i+1
D. ?1?i
B. i C. 1?i
??
1?x
?
1?”是“?x lnx…0?”的() ?
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知公差不为0的等差数列?an?满足a1,a3,a4成等比数列，Sn为数列?an?的前n项和，则()
A.?2
5.“?x?R,x?a?0”的否定形式是() ．．．．
A．?x?R,xC．?x?R,x
2
2
S3?S2
的值为
S5?S3
B.?3C.2D.3
?a?0B．?x?R,x?a?0 ?a?0D．?x?R,x2?a?0
2
2
6. 刍甍(chú hōnɡ),中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩
形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为()
A．14B． C．16D．
页
1第
7.已知函数f?
x??2016x?log2016
( )
A．??,??? ?x?2016?x，则关于x的不等式f?3x?1??f?x??0的解集为??1
?4??B．???,?? ?
?1?4?C．?0,??? D．???,0?
8.函数y?sin(2x??
3)与y?cos(2x?
B. 2?)的图象关于直线x?a对称，则a可能是( ) 3A. ?
24 ?
12 C. ?
8 D. 11? 24
9. 如图，在?ABC中，N为线段AC上靠近A的四等分点，点P在BN
?????2????2???AP=(m+)AB+BC，则实数m的值为( ) 99
A. 3 1 B. 1 C. 31D. 9ìx-2y?0??10. 若关于x,y的不等式组í表示的平面区域被直线y=kx平分面积，则k的取值为 ( ) ???y?0
A B C D
11. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2(n∈N*)，则S2 017＝( )
A． 21 010－1
B．21 010－3 n C．3·21 008－1
12. 已知函数 D．21 009－3 f(x)?x?e存在单调递减区间，且y?f(x)的图象在x?0处的切线l与曲线y=ex 相xa
切，符合情况的切线l( )
A．有3条B．有2条 C．有1条 D．有0条
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13. 向量(3,4)在向量(1,-2)上的投影为 . ．．
页 2第
14.
函数f(x)=
的最小值为 .
15.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60?，若球半径为R，则弦AB的长度为____________.（用R表示）
16.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如右图，在区域y
{(x,y)|x?0,y?0}内植树，第一颗树在点A1(0,1)，第二颗树在点
B1(1,1)，第三颗树在点C1(1,0)，第四颗树在点C2(2,0)，接着按图中箭
头方向每隔一个单位种一颗树，那么
（1）第n颗树所在点的坐标是(10,10)，则n?____________;
（2）第2016颗树所在点的坐标是____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x?A1 1 C1 C2 ?)cos(x?)?sin2x． 44?
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若将f(x)的图象向左平移
和最小值．??个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,]上的最大值62
页 3第
18.（本小题满分12分）
某小区设计四边形花圃如图所示，由于A,C间有水池，花圃边缘点P设计在△ABC内，已知AB和CP长为2米，BC边长为3米，∠ P与∠B互补，记∠B=α．
（I）试用α表示AP的长f(a)；
（II）求花圃面积的最大值，并写出此时α的大小．
19.（本小题满分12分）
已知数列{an}的首项a1?
（1）证明：数列{
20.（本小题满分12分）
页 4第 2an2,an?1?,n?1,2,3,....... 3an?11n?1}是等比数列；（2）求数列{的前n项和Sn． anan
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=1，?ABC?60?，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，CF=1.
（Ⅰ）求证：BC?平面ACFE；
（Ⅱ）点M为线段EF的三等分点（靠近F），设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为q，求cos?.
21.（本小题满分12分）
设函数f(x)=x+aln(x+1),a?R.
(1)若函数f(x)在[1,+?)上单调递增,求a的取值范围; MECFDBA2
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2.求证0<
f(x2)1<ln2-. x12
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
ì??x=??已知C
1在直角坐标系下的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为í???y=-1???
极轴建立极坐标系，有曲线C2:??2cos??4sin?.
（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数f(x)?2x?a?a．
页 5第
（Ⅰ）若不等式f(x)?6的解集为x?2?x?3，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f(n)?m?f(?n)成立，求实数m的取值范围. ??页 6第
宜昌市第一中学2017届高三11月阶段性检测
数学(理科)参考答案
13. -
?
?
17. (1) Qf?x???2x?
由?
???
2
骣p÷? ………2分 ?sin2x?2x?sin2x=2sin2x+÷??÷?桫2?3?2k?，解得?
5??
?k??x??k?， 1212
?
2
?2k??2x?
?
3
?
所以函数的单调递增区间??（2）Q将f?x?的图象向左平移
??5??
?k?,?k??,k?Z………6分
12?12??
个单位，得到函数g?x?的图象， 6
?
? ………8分 ?
????????2???
?g?x??f?x???2sin?2?
x?????2sin?2x?
6?6?3?3????
2??2?5?????
Qx??0,?,?2x???,?………10分
23???33??当2x?
2??32?2??
时，sin?2x?，g?x? ???
3233??
2?3?2???
时，sin?2x?????1，g?x?取最小值?2. ………12分
323??
当2x?
18.解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠ B=α，∠ P=π﹣α， 由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①
AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②
由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，解得：AP=f(a)=3﹣4cosα，α∈(0,p)；………6分 （2）∵AP=3﹣4cosα，α∈(0,p)， ∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC=
11
×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α） ………8分 22
=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα?cosα=2sin2α，α∈(0,p)， 则当α=
页
7第
p
时，Smax=2（平方米）………12分 4
19. （1）∵an?1?
又a1?2ana?11111111，? ?n???，\?1?(?1)，………2分 an?1an?12an22anan?12an211，??1?， ………4分 3a12
111?1}是以为首项，为公比的等比数列． ………6分 22an? 数列{
（2）由（Ⅰ）知111111nn?1??n?1?n，即?n?1，??n?n．………7分 an?1222an2an2
设Tn?123n?2?3?…?n， ① 2222
则Tn?1
212n?1n…????n?1，② ………8分 22232n2
11(1?n)1n111?n?1?1?n，………10分 由①?②得Tn??2?…?n?n?1?n?1nn?1222222221?2
? Tn?2?1n． ?2n?12n
n(n?1)． ………11分 2? 又1?2?3?…?n?
n2?nn(n?1)n2?n?4n?2数列{}的前n项和 Sn?2?n?………12分??nan222 2
20. （Ⅰ）证明:在梯形ABCD中,?AB?CD,AD=DC=CB=1,?ABC60?,\AB=2…..1分 \AC2=AB2+BC2-2AB鬃BCcos60?=3,\AB2=AC2+BC2\BC^AC………3分 ?平面ACFE^平面ABCD,平面ACFE?平面ABCD=AC,BCì平面ABCD,
\BC^平面ACFE………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立以直线CA,CB,CF为x,y,z轴的如图所示
空
间直角坐标系,
则C(0,0,0),AB(0,1,0),M,
????
\AB=(-?????,BM=-1,1)………7分 ??设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量
,
页 8第
ì???????-+y=0?ì?n?AB0??1由í??????得? ?
í??x-y+z=0??n1?BM0??????取x=1,
则n1= ………9分 ????n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量 ………10分
?????n1×n2\cosq==………12分 =n1n2
2x2+2x+a21.(1)根据题意知:f￠(x)=?0在[1,+?)上恒成立.即a?x+1
立.?-2x2-2x在区间[1,+?)上的最大值为-4,\a?
经检验:当a=-4时,满足要求,故a?
x2-2x在区间[1,+?)恒成4; 4. …………4分
2(x)=0即g(x)=2x+2x+a=0在(2)由函数定义域为[-1,+?),函数有两个极值点x1,x2,所以f￠
(-1,+?)上有两个不等式的实根x1,x2,则
ìD=4-8a>0????11?í-1<-<0解得0<a<. ?22?????g(-1)=a<0
因为x1+x2=-1,x1x2=a1,且x1<x2,所以x1=-x2-1,a=2x1x2=-2x2(x2+1),-<x2<0. 22
f(x2)x22+aln(x2+1)x22-2x2(x2+1)ln(x2+1)1所以,x2?(==,0) …………6分 x1x1-x2-12
x2x2-2x(x+1)ln(x+1)1(x)=+2ln(x+1), 令h(x)=,x?(,0),则h￠2-x-12(x+1)
x212(x2+3x+1)1￠+2ln(x+1),x?(,0)j(x)=,x?(,0). 令j(x)=,则23(x+1)2(x+1)2
因为jⅱ(-111(x0)=0.所以j(x)在(-,x0))=-4<0,j(0)=2>0,所以存在x0?(,0),使得j￠222上递减,在(x0,0)上递增.
又j(0)=0,j(-11(x)<0, ……9分 )=1-2ln2<0,所以,对任意x?(,0), 都有j(x)<0,即h￠22
页 9第
所以h(x)在(-1,0)上单调递减. 2
故0=h(0)<h(x)<h(-
f(x2)111)=ln2-,即0<<ln2-.…………12分 22x12
22.解：（1）消参后得C1为y-2x+1=0.
由r=2cosq-4sinq得r=2rcosq-4rsinq. 2
\x2+y2=2x-4y.\C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5..…………5分
（2）?圆心(1,-
2)到直线的距离d
\AB==…………10分 23.解：(1)由|2x?a|?a?6得|2x?a|?6?a,a?6?2x?a?6?a， 即a?3?x?3,?a?3?2,a?1 ………5分
（2）由(Ⅰ)知f(x)?|2x?1|?1,令?(x)?f(n)?f(?n). 1?2?4n,n???2?则?(n)?|2n?1|?|2n?1|?2??4,?1?n?1 ?22?1?2?4n,n??2?
∴?(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4,??)．………10分
页 10第
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