莆田六中2017届高三12月月考理科数学
2016年12月9日
命题人：莆田六中高三备课组 满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A???1,0,1,2?，B??x|log2(x?1)?0?，则A?B?（ ）
A．?0,1,2? B．(0,2] C．?1,2? D．[1,2]
2.已知实数．．a,b满足a?(1?i)?(1?bi)，其中i是虚数单位，则|a?bi|? （）
A．3B． 2C．5D
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6??3，S6?12，则a5等于（）
A．?3B．?1C．1D．4
4．“a??1”是“关于x,y的方程组??x?ay?1无解”的（）条件。 ax?y?5?
A．充分但不必要B．必要但不充分C．充分D．既不充分也不必要
5.设a,b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 （）
A．存在唯一直线l，使得l?a，且l?bB．存在唯一直线l，使得l//a，且l?b
C．存在唯一平面?，使得a??，且b//?D．存在唯一平面?，使得a??，且b??
6．在△ABC中，AB?
3，AC?，B??
3，则△ABC的面积是（ ）
A
．
．
． 7.如图，周长为1的圆的圆心C在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长?AM?x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数t?f(x)的图像大致为（ ）
8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（ ） .A. 2B. 4?22
第页
1
C. 4?42 D. 6?42
?x?4y??3?9. 已知x，y满足?3x?5y?25，若不等式ax?y?1恒成立，
?x?1?
则实数a的取值范围是( ).
?27??11??3???? ，???B. ?，??? C. ?，???D. ?2，?5??5??5?
???????10.已知非零向量a,b的夹角为60，且满足a?2b?2，则a?b的最大值为（ ） A.?
A．1 B．1C．2 D．3 2
2????????????????x211.已知点M(1，?y?1上的动点，且MA?MB?0，则MA?BA的取值范围是0)，A，B是椭圆4
9? D.?（ ）. A.?，1? B. ?，9? C. ?1，
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数 ?2??3??2??3??6?，3? ?3?
?1,x?Q称为狄利克雷函数，则关于这个函数f(x)有以下四个命题： f(x)???0,x?R且xQ
①f(f(x))?1； ②函数是偶函数；
③存在一个非零实数T，使得f(x?T)?f(x)对任意x?R恒成立；
④存在三个点A(x1,f(x1))， B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等边三角形。
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
?x2?1,x?413．f(x)??，则f(f(3))?_________________
?log2x,x?4
14．已知数列?an?满足对任意的n?N*，都有an?1?2an?0，又a2?2，则S8?____________.
15．已知关于x的不等式lnx?ax?1?0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是___________
16.已知等边三角形ABC
的边长为D,E分别AB,AC为的中点，沿DE将?ABC折成直二面角，第页 2
则四棱锥A?DECB的外接球的表面积为_________.
三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知Sn是数列?an?的前n项和，且2Sn?3an?2（n?N*）
（1）求数列?an?的通项公式；
（2）若bn?log3(Sn?1)，求数列?b2n?的前n项和Tn。
18.A(x1,y1), B(x2,y2)为单位圆O上的按逆时针排列的两个动点，且?AOB?
（1）若x2??2? 334，y2?，求y1的值。 55
（2）若A在第一象限，求y1?y2的取值范围。
第页 3
19．(本小题满分10分)
在如图所示的四棱锥S?ABCD中，?DAB??ABC?90?，SA?AB?BC?a，AD?3a(a?0)．
（1）在棱SA上确定一点M，使得BM∥平面SCD，保留作图痕迹，并证明你的结论。
（2）当SA?平面ABCD且点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S?CD?E的余弦值．
BD
FAFAx2
2??e，其中O为原点，20．设椭圆E:2?y?1（a?1）的右焦点为F，右顶点为A，已知OFOAa
e为椭圆的离心率。
（1）求a的值；
(2)动直线l过点N(?2,0)，l与椭圆E交于P、Q两点，求?OPQ面积的最大值。
第页 4
21．已知函数f(x)?lnx?x．
（1）求函数f(x)的单调区间；
2（2）若方程f(x)?m(m??2)有两个相异实根x1，x2，且x1?x2，证明：x1x2?2.
请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意：智能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴正半轴重合，圆C的极坐标方程为
3?x??t?2??5??asin?(a?R)，直线l的参数方程为?(t为参数)。 4?y?t?5?
（1）若a?2，直线l与x轴的交点为M，N是圆C上一动点，求MN的最大值。
（2）若直线l被圆C截得的弦长等于圆C
a的值。
23．选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?2?3，g(x)?x?3
（1）求不等式f(x)?g(x)的解集；
（2）若不等式f(x)?g(x)?a对任意x?R恒成立，求实数a的取值范围。
莆田六中2017届高三12月月考理科数学参考答案
一、选择题
第页 5
1-5：CDBAC 6-10：DDCAB 11-12：BA 二、填空题
13、3 14、255 15、[三、解答题
（17） (Ⅰ) ∵2Sn?3an?2(n?N?)，∴当n≥2时，2Sn?1?3an?1?2，
1?ln2
,1) 16、52? 2
两式相减得an?3an?1.
???2分
又当n=1时，2S1?3a1?2，∴a1?2. ???3分 ∴ 数列?an?是首项为2，公比为3的等比数列. ∴ 数列?an?的通项公式为an?2?3
n?1
???4分 ???6分
.
(Ⅱ)由an?2?3n?1可得2Sn?3?2?3n?1?2，∴Sn?3n?1 ∴bn?log3(Sn?1)?log33n?n，???9分 ∴b2n?2n. ∴Tn?2?4?6???2n?
???8分 ???10分 ???12分
n(2?2n)
?n2?n. 2
18.解：（1）由已知设x轴正半轴为始边，OA为终边的角为?，则终边为OB的角为??又点B(?,)所以cos(??
2?
。?1分 3
2?32?4)??，sin(??)????2分 35352?2?2?2?2?2?
所以y1?sin??sin(???5分
?)?4分 ?sin(??)cos?cos(??)sin
333333
34
55
?
413???6分 ?(?)?(?)?
5252?
)?sin????7分
3
（2）y1?y2?sin(??
11???sin????sin??sin????sin(??)???9分
223
?5?
?(,)，
2336
?11
sin(??)?(,1]???11分所以y1?y2的取值范围为(,1]。???12分
322
????1???
19.解：（1）M满足SM?SA。???1分
3
SMSN1
证明如下：取SA，SD上的点M，N，使得?????2分
SASD3
因为A在第一象限，所以可设??(0,
?
)，所以??
?
连结BM，MN，NC。
第页
6
SMSN1MN1??，则MN∥AD，且? SBSD3AD3
BC1又由已知可得BC∥AD，且?，所以BC∥MN且BC=MN，即四边形MNCB为平行四边形。?4分 AD3在△SAD中，
故BM∥CN。又CN?平面SCD，BM平面SCD。所以BM∥平面SCD。???6分
证法二：取AS，AD上的点M，N，使得
在△SAD中，AMAN2?????2分 连结BM，MN，BN。 ASAD3AMAN2??，所以MN∥SD???3分 ASAD3
在四边形BCDN中，BC=DN，BC∥DN，所以四边形为平行四边形，则BN∥CD???4分
又MN∥SD，MN∩BN=N，SD∩CD=D，所以平面MNB∥平面SCD，???5分
又BM?平面MNB，所以BM∥平面SCD。???6分
（2）∵SA?底面ABCD，?DAB?90?，∴AB、AD、AS两两垂直．
以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），7分 则S(0,0,a)，C(a,a,0)，D(0,3a,0)(a?0)，∵E为线段BS的三等分点（靠近B）， ????1????21∴BE?BS，解得E(a,0,a)．．．．．．．．．．8分 333
??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1)，平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2)，
????????∵CD?(?a,2a,0)，SD?(0,3a,?a)，
?????????????ax1?2ay1?0?x1?2y1?n1?CD?0∴??，即?，即?，取n1?(2,1,3)，．．．．．．．．9分 ??????3ay?az?0z?3y11?1?1??n1?SD?0
????2????1∵CD?(?a,2a,0)，DE?(a,?3a,a)， 33
?????????ax2?2ay2?0?????x2?2y2?n2?CD?0?∴???，即?2，即?，取n2?(2,1,5)，．．．．．．．10分 ?????1z?5yax?3ay?az?02?2222???n2?DE?03?3
设二面角S?CD?E的平面角大小为?，由图可知?为锐角， ??????n1?n2??????．．．．．．11分
?∴cos??|cos?n1,n2?|?．．．．．．12分 |n1|?|n2|即二面角S-CD-E
． 20.解：（1）由椭圆的几何性质可得FA?a?c，OF?c，OA?a???1分 由FAOF?11c?e得(a?c)(?)?，所以a2?2c2???2分 OAacaFA
第页 7
又b?1，即a2?c2?1，???3分
联立解得a?
（2）由题可知l与x轴不重合，故可设l的方程为x???4分 ?my?2。 ?x?my?2?22联立方程?x2解得(m?2)y?4my?2?0???5分 2??y?1?2
因直线与椭圆由相异交点，所以?
又?16m2?8(m2?2)?
0，解得m?
或m????6分 y1?y2?4m2 ???7分
,yy?1222m?2m?2
y1?????8分
S?OPQ
令t1?ON?y22???10分（注：写出面积公式就1分）
?，则t?
0，S?OPQ????11分
当且仅当t?
2即m?时取等号（此时??0），所以所求?
OPQ。???12分
21.解：（1）f(x)?lnx?x的定义域为(0,??) ??1分 11?x?1??0xx f?(x)??x?1 ??2分
y?f(x)在(0,1)递增
y?f(x)在(1,??)递减 ??3分 当x?(0,1)时f?(x)?0 所以 当x?(1,??)时f?(x)?0 所以
（2）由(1)可设
且0?f(x)?m的两个相异实根分别为x1，x2满足lnx?x?m?0 x1?1,x2?1，lnx1?x1?m?lnx2?x2?m?0 ??4分
?x2?m??2?ln2?2 ??5分 由题意可知lnx2
又有(1)可知
故x2f(x)?lnx?x在(1,??)递减 ?2
第页 8
所以0?x1,
2x2
2
?1 ??6分
令g(x)?lnx?x?m
g(x1)?
g(
2x2
)?(lnx1?x1)?(ln2
2x2
2
2x2
2
?
2x2
)?(lnx2?x2)?(ln2
2x2
2
?
2x2
2
)
??x2??3lnx2?ln2??8分
令h(t)??t?
2t2
4
?3lnt?ln2(t?2)，
(t?2)2(t?1)3?t3?3t2?4
则h?(t)??1?3??． ??
ttt3t3当t
?2时，h,(t)?0，h(t)是减函数，所以h(t)?h(2)?2ln2?
?2时，g(x1)?g(
2x2
22
3
?0．??9分 2
所以当x2
2x2
)?0，即g(x1)?g(2
2x2
2
)??10分
因为0?x1,
?1， g(x)在(0,1)上单调递增，
所以x1
?
2x2
，故x1x2
2
2
?2． ??11分
综上所述：x1x2
?2 ??12分
2
22.解：（1）当a?2时，圆C的极坐标方程为??2sin?，即??2?sin?，??1分
化为直角坐标方程为x?y?2y?0，即x?(y?1)?1。所以圆心C(0,1)，半径r?1??2分 直线的普通方程为4x?3y?8?0，??3分 与x轴交点M的坐标为(2,0)??4分
所以MN
2
2
2
2
max
?MC?1?1 ??5分
2
a2a2
（2）由??asin?可得圆C的普通方程为x?(y?)? ???6分
24
?直线l被圆C截得的弦长等于圆C
倍，
由垂径定理及勾股定理可得：圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半。???8分
1a32
???10分 ? ???9分 解得a?32或a?
22119
第页
23．解：（1）依题意：原不等式可化为x?2?x?3?3 ????1分 当x??3时，2?x?x?3?3，解集为空集； ????2分 当?3?x?2时，2?x?(x?3)?3，解得?2?x?2； ????3分 当x?2时，x?2?(x?3)?3，解得x?2。 ????4分 综上所述，所求不等式解集为xx??2 ????5分
（2）不等式
记?(x)???f(x)?g(x)?a在R上恒成立等价于x?2?x?3?a?3在R上恒成立????6分 x?2?x?3，则?max(x)?a?3????7分 ?x?2?x?3?x?2?(x?3)?5当且仅当x??3时取等号，????9分 ?a?3?5即a?2????10分
注：本题用图像法一样给分。
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