2017届重庆市第八中学高三上学期适应性月考（四）数学（文）试题
数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合A?xx?2n?1,n?N,B?x?x?10，则集合A?B中元素的个数为（ ）
A．5B．4C. 3 D．2
2.复数z?????2?i(i是虚数单位)，则z的虚部为（ ） i
A．2iB．?2iC.2 D．?2
3.正项等比数列?an?满足：a1?1,2a2?a3?a4，则S5?（ ）
A．31B．32C. 33 D．34
4.已知f?x??1312x?bx?cx?1，则“b2?4c?0”是“f?x?有极值”的（ ） 32
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
?x?y?1?0,?5.设x,y满足约束条件?x?y?1?0,，则z?3x?y的最大值为（ ）
?x?2y?1?0,?
A．11B．9C. －3 D．－1
6.球O为三棱锥P?ABC的外接球，PA,PB,PC两两垂直，PA?2,PB?2,PC?4，则球O的表面积为（ ）
A．96?B．48?C. 24?D．12?
7.某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4753B．C.D． 3632
第页 1
8.执行如图2所示的程序框图，则输出的s的值为（ ）
A．－3 B．－2C. 0 D．
3
??
???9.已知a为单位向量，且与非零向量b满足a，则a,b的夹角为（ ）
A．?
4 B．?3C. ?
2 D．
23? 410.O为坐标原点，F为抛物线C:y?4x的焦点，经过点F的直线l与C交于P,Q两点，若?POQ的
，则线段PQ的中点坐标为（ ）
A．1 B．2C. 3 D．4
11.若函数f?x??12???内单调递增，则a的取值范围是（ ） x?ax?2lnx?1在区间?1，2
?3,??? D
．?A．???,?3? B
．???? C.???x2y2
12.O
为坐标原点，直线l:y??1与双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的渐近线分别交于A,B两点，ab??
OA?2OB,且A,B均在x轴上方，则该双曲线的离心率为（ ）
A
C. 2 D
．2 第页
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.从3男2女中任选2人参加培训，其中所选两人为一男一女的概率为 ．
???14.定义在R上的函数f?x??sin?x在区间?0?上单调递增，且?4?
115.数列?an?满足an?1?1?,a4?2，则a2015? an???f?????1，则?= ． ?4?
16.已知f?x?是定义在R上的偶函数，且满足：①f?x??0，②f?x?2??1，则f?3?? fx三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
A,B,C,D四点共圆，且AB:BC:CD:DA?1:3:2:2.
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若四边形ABCD
的面积为，求BD的长.
18. （本小题满分12分）
为了了解某校初三年年级学生的体重情况，现从中抽取100名学生，测量他们的体重（单位：斤），得频数
分布表如下：
（Ⅰ）根据频数分布表在图3中作出频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校初三学生的平均体重（同一区间取中点值）；
（Ⅲ）若该校初三年级共有500人，估计该年级体重不低于105
斤的人数.
19. （本小题满分12分）
第页 3
如图4，四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD
，PA?PD?5,AB?CD?,
AD//BC,AD?6,BC?2,点G为?PAD的重点，K为线段PD上一点，PK?2KD.
（Ⅰ）求证：GB//平面PDC；
（Ⅱ）求四面体GKCD的体积
.
20. （本小题满分12分）
x2y2平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1?a?b?
0?，短轴长为4.M为椭圆C上一ab点，A?0,2?,且满足MA?2MO.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点M的直线l交C
21. （本小题满分12分）
已知函数f?x??aesinx，其中x?R,e?2.71828?为自然对数的底数.若f?x?在0,f?0?处的切线xl的方程. ??与直线x?y?1?0垂直.
（Ⅰ）求a，并判断f?x?在?0?内的单调性； ???
?2?
（Ⅱ）当x??0,???时，f?x??kx，求k的取值范围. ?2??
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为
?????sin2??4sin????0，P点的坐标为?3,?，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，倾斜角为. 23??
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A,B两点，求11的值. ?PAPB
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
第页 4
设函数f?x??2x?3?x?1.
（Ⅰ）解不等式f?x??3；
（Ⅱ）若存在x????,1?，使不等式a2?1?f?x?成立，求实数a的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADABA 6-10: CBCBB 11、12：DD
【解析】
1.A??1,3,5,7,9?，则A?B中的元素有5个，故选A. 2.z?2?i?1?2i，则z的虚部为-2，故选D. i
23.2a2?a3?a4?2?q?q?q??2或－1（舍），S5?1??1?25?
1?2?31,故选A.
?x?y?1?0,?5约束条件?x?y?1?0,表示的可行域为图1中?ABC的边界及内部，易知当目标函数经过点C?3,2??x?2y?1?0,?
时，z取最大值，最大值为z?3?3?2?11，故选A. 第页 5
6.采用补形法可知，球O
的直径2R??
R?，
S?4?R2?24?,故选C.
7.该几何体为正方体和一个三棱锥组合而成，体积为V?7，故选B. 6
8.依次执行的程序为：s?3,k??1;s??3,k?1;s??2,k?2;s?0,k?3，之后输出s?0，故选C.
???2?2??2?2????2?2??9.a?a?b?2a?b?3,a?a?b?2a?b?7，所以a?b?1,a?b=5， ????a?b1?又∵a=1b?2，∴cos???，∴?=. 故选B. 3ab2
10.当l斜率不存在时，S?POQ?2,不符合题意；当l斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为
2k2?4y?k?x?1?，代入y?4x得kx??2k?4?x?k?0，所以xP?xQ?，k222222
PQ?xP?xQ?2?4?k2?1?
k2,点O到直线l
的距离d?，所以S?POQ2114?
k?1???PQ?d???k2?2，所以线段PQ的中点横坐222k标x0?xP?xQ
2k2?2??2，故选B. k2
12x?ax?2lnx?1在区间?1,+??内单调递增，所以211.因为函数f?x??
f??x??x?a?22?2????0?a???x??，在?1,+??内恒成立，令g?x????x???x?1?，则xx?x???
g?
x?max?g
?
a??，故选D.
12.如图2所示，记直线l与y轴的交点为K，不妨设xA?xB，由双曲线的对称性可知?BOK??AOK，?y??1,AKAO?由角平分线定理可知得??2，所以xA??
2xB①，联立?x?AbBKBO?y?x,a?
第页
6
b，代入①式解得?
，所以离心率e??，故选
D. xB?a
二、填空题 13. 31 14. 2 15. 16. 1 52
63?. 105【解析】 13.所有选法共有10种，其中一男一女的选法有6种，所以P?
14.由题意知：?0,0?和x?
15.由an?1?1?
∴a2015?a2??4为一对相邻的对称中心和对称轴，∴?4?0?T2?，∴T???,∴??2. 4?11,a4?2，知a3??1，同理，a2?,a1?2，所以数列?an?是周期为3的周期数列，2an1. 2
16.f?x?为偶函数?f??x??f?x??f??1??f?1?①，又f?x?2??11?f?1??②， fxf?11?1. f1又f?x??0恒成立，知f?1??0,f??1??0③，由①②③得:f?1??f??1??1，故f?3??
三、解答题
17.解：（Ⅰ）因为A,B,C,D四点共圆，
∴A?C??,
由AB:BC:CD:DA?1:3:2:2，可令AB?a,BC?3a,CD?
DA?2a,
第页
7
化简得：cosC?
（Ⅱ）S四边形ABCD
21?，又C??0,??,∴C?.
2312?1??S?ABD?S?BCD??a?2a?sin??2a?3a?sin?2，
2323∴?a?1，
∴BD2?22?32?2?2?3?cosC?7，
即BD?18. 解：（Ⅰ）如图3.
（Ⅱ）该校初三学生体重的样本平均数为：
x?80?0.06?90?0.26?100?0.38?100?0.22?120?0.08?100，
所以该校初三学生体重的平均数的估计值为100.
（Ⅲ）体重不低于105的初三学生所占比例的估计值为0.22?0.08?0.3，则n?0.3?500?150. 即估计该年级体重不低于105斤的人数为150人
.
19.（Ⅰ）证明：如图4，连接PG并延长使其与AD交于点E，
因为点G为?PAD的重心，所以PG?2GE，
又PK?2KD，所以GK//ED，且GK?
因为PA?PD?5,AD?6，
所以PE?AD,ED?3,GK?2,
又AD//BC,BC?2，所以BC//GK,BC?GK,
所以四边形GKCB为平行四边形，
第页 8 2ED. 3
所以GB//CK
又∵CK?平面PDC，且GB?平面PDC，
所以GB//平面PDC.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PE?14?4,CE?PE?.
33因为AB?CD?AD//BC,AD?6,BC?2，
所以B到AD的距离为2. 由（Ⅰ）知VGKCD?VB?CDK?VK?BCD?VG?BCD?1148?S?BCD?GE??2??
. 3339
?c??a??20. 解：
（Ⅰ）由?2b?4,解得a?b?2,c?2，
?a2?b2?c2,???
x2y2
所以椭圆C的标准方程为??1. 84
x02y02（Ⅱ）设点M?x0,y0?，则??1，① 84
由MA?
2MQ
?， 化简得x02?y02+
联立①②得?44y0??0，② 33?x0?0,所以点M?0,?2?.
?y0??2,
若l的斜率不存在，则弦长为4，不成立；
若l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y?kx?2，
x2y28k??1得?1?2k2?x2?8kx?0，解得根为x1?0,x2?代入， 2841?2k第页 9
化简得k4?k2?2?0，解得k??1，
所以直线l的方程为y?x?2或y??x?2.
x21. 解：（Ⅰ）f??x??ae?sinx?cosx?，
直线x?y?1?0?y??x?1的斜率为?1，
因为f?x?在0,f?0?处的切线与直线x?y?1?0垂直，
所以f??0??a?1
故f??x??e
当x??0,x???sinx?cosx?， ???时，sinx?0,cosx?0，则f??x??0 ??2?
???内单调递增. ?2??
x故f?x?在?0,（Ⅱ）f?x??esinx，
令g?x??f?x??kx?esinx?kx，则g??x??exx?sinx?cosx??k， 已知条件等价于g?x??0在?0,???内恒成立，而g?0??0， ??2?
??????g???x??2excosx?0在?0,?内恒成立，故g??x?在?0,?内单调递增. ?2??2?
①g??0??1?k?0，即k?0时，g??x??0恒成立，g?x?在?0,恒成立；
②g??0??1?k?0，即k?1时，必存在x0??0,???内单调递增，必有g?x??g?0??0?2???
???使得当x??0,x0?时，g??x??0，则g?x?在?0,x0??，2?
内单调递增，而g?0??0，不可能保证g?x??0恒成立.
综上：k?1.
22. 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x?4y， 第页 10
2
???P点的极坐标为：P?3,?，化为直角坐标为P?0,3?. ?2?
1???x?t,x?tcos,??2??3直线l的参数方程为?，即? (t为参数).
?y?3?,?y?3?tsin?,??3?
?（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，得
整理得：t??48?0，
显然有??
0，则t1?t2??48,t1?t2?
212t?12?，
4
PA?PB?t1?t2?t1?t2?48,PA?PB?t1?t2?t1所以
?，
PA?PB11???PAPBPA?PB23. 解：（Ⅰ）∵f?x??2x?3?x?1，
3??3x?2,x???2?3?∴f?x???x?4,??x?1, 2??3x?2,x?1,??
3??3x??,????x?1,?x?1,f?x??3??或或? 2?2?3x?2?3???3x?2?3x?4?3??
5?x??或x?1. 3
综上，不等式f?x??3的解集为???,????1,???.
2（Ⅱ）存在x????,1?使不等式a?1?f?x?成立?x????,1?时，a?1?f?x???5?3?2??min
由（Ⅰ）知，x??35时，?f?x???，
min22
a2?1?5或a?， ?a?
2∴实数a
的取值范围为???,第页 ????. ??????11
第页12
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