2017届上海市浦东新区高三12月教学质量检测（一模）数学试题
高三数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1.已知U?R，集合A??x|4?2x?x?1?，则CUA?____________．
3?51
3?6中元素-5的代数余子式的值为____________． 2.三阶行列式2
?724
?x?3. ?1??的二项展开式中含x2项的系数是____________． ?2?
4.已知一个球的表面积为16?，则它的体积为____________．
5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是____________．
6．已知直线l:x?y?b?0被圆C:x?y?25所截得的弦长为6，则b?____________．
7．若复数?1?ai??2?i?在复平面上所对应的点在直线y?x上，则实数a?____________．
8．函数f?
x??228
x?cosxx?sinx的最小正周期为____________． ?
x2y2
9．过双曲线C:2??1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于两点A、B，a4
O为坐标原点，则?OAB的面积的最小值为____________．
1?0在区间?0,1?内恒成立，则实数m的取值范围为____________． x2
?????????11．如图，在正方形ABCD中，AB?2,M,N分别是边BC,CD上的两个动点，
且MN?则AM?AN10．若关于x的不等式2x?m?
的取值范围是____________．
12．已知定义在N*上的单调递增函数y?f?x?，对于任意的n?N*，都有f?n??N，且f*?f?n???3n恒成立，则f?2017??f?1999??____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项中，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．
13.将y?cos2x图像向左平移?
6个单位，所得的函数为（）．
第页 1
A．y?cos?2x??
???3?? B．y?cos?2x?
?1????6?? C．y?cos?2x?????3?? D．y?cos?2x?????? 6?14.已知函数y?f?x?的反函数为y?f． ?x?，则函数y?f??x?与y??f?1?x?的图像（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线x?y?0对称 D．关于直线x?y?0对称
15.设?an?是等差数列，下列命题中正确的是（ ）．
A．若a1?a2?0，则a2?a3?0 B．若a1?a3?0，则a1?a2?0
C．若0?a1?
a2，则a2? D．若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0
16.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是（ ）．
A．A?B B． A?B C．A?B D．A、B的大小关系不确定
三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在长方体ABCD?A1B1C1D1中（如图）, AD?AA1?1,AB?2，点E是棱AB的中点.
（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由
.
18.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
（1
）若B??
3,b??
ABC的面积S?，求a?c值； 2 第页
????????????????2（2）若2cosCBA?BC?AB?AC?c，求角C. ??
19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2 小题满分8分） x2y2
已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的一条直线交椭圆于P、Q两点，ab
若?
PF1F2的周长为4?
.
（1）求椭圆C的方程；
?????????????（2）若F1P?F2Q?PQ，求直线PQ的方程
.
20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设数列?an?满足an?1?2an?n2?4n?1,bn?an?n2?2n；
（1）若a1?2，求证：数列?bn?为等比数列；
（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q、r?2?q?r?，若5b2、bq、br这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组?q,r?；
（3
）若a1?1,cn?bn?n,dn?Mn是dn的前n项和，求不超过M2016的最大整数. 21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知定义在R上的函数??x?的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上??x?都不是常值函数.设a?t0?t1???ti?1?ti???tn?b，其中分点t1、t2、?、tn?1将区间?a,b?任意划分成n?n?N*?个小区间?ti?1,ti?，记M?a,b,n???t0????t1????t1????t2??????tn?1????tn?，称为??x?关于区间?a,b?的n阶划分“落差总和”.
当M?a,b,n?取得最大值且n取得最小值n0时，称??x?存在“最佳划分”M?a,b,n0?.
（1）已知??x??x，求M??1,2,2?的最大值M0；
第页 3
（2）已知??a????b?，求证：??x?在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1?的充要条件是??x?在?a,b?上单调递增.
（3）若??x?是偶函数且存在“最佳划分”M??a,a,n0?，求证：n0是偶数，且
t0?t1???ti?1?ti??tn0?0.
一、填空题
1. ?1，??? 2. 34 3. 7 4.
11. ??4 12. 54
二、选择题
13. A 14. D 15. C 16. A
第页 32?3 5. 参考答案 25
6. ?4 ? 9. 8 10. ??3?2，2???
7. 3 8.
三、解答题
17.解：
（1）作AE?//CE交CD于E?，因为AD?AA1?DE??
1，所以AE??D1E??
角形，异面直线AD1与EC所成角为60°???????????6分
（2）E是棱AB上的中点，则?ADE、?CBE均为等腰直角三角形，
，故?AD1E?为正三
而显然?DD1E、?DD1C均为直角三角形，故四面体D1CDE四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分
18．解：（1
）∵B??
3,S?ABC?1，∴ac?6???????????2分 acsinB?2由余弦定理得a2?c2?b2?2accosB??????????????4分
∴?a?c??25,a?c?5???????????????.7分
（2）∵2cosC?accosB?bccosA??c?2cosC?acosB?bcosA??c???????10分 22
又∵acosB?bcosA?c???????????12分 ∴2cosC?1,cosC?
∵C??0,??，∴C?1， 2?
3??????????????14分
19.解：（1
）由条件可知：2a?2c?4?
，a:b?
∵a2?b2?c2，
，
解得：a?b?2,c?2，???????????4分
第页 5
x2y2
所以椭圆C的方程为??1??????????6分 84
（2）设直线PF2的方程为：x?ty?2,P?x1,y1?,Q?x2,y2?；
因为F1P?F2Q?FO1?OP?F2O?OQ?OP?OQ， ??????????????????????????????????
????????????所以OP?OQ?PQ，所以OP?OQ，所以x1x2?y1y2?0??????????9分 ?x2y2
?1????t2?2?y2?4ty?4?0， 4?8?x?ty?2?
y1?y2??4t?4???????????11分 ,yy?12t2?2t2?2
x1?x2?y1y2??t2?1?y1y2?2?t4?1?y1y2
解得：t2?113分 ,t?2所以直线PQ
?y??0?????????????14分
20.解：（1）由an?1?2an?n2?4n?1，∴an?1?n?12?2?n?1??2an?n2?2n， 即bn?1?2bn，又b1?a1?1?1?0，∴数列?bn?是以1 为首项，2为公比的等比数列；??????4分
（2）由（1）知bn?2n?1n?N*,5b2,bq,br这三项经适当排序后能构成等差数列； ①若2?5b2?bq?br，则10?22?1?2q?1?2r?1，∴2q?1?2?2r?2?5，
左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；?????????????8分 ③若2br?5b2?bq，同理也不成立；
综合①②③得，?q,r???3,5?；?????????????10分
（3）由a1?1?b1?1?12?2?1?0，∴bn?0，?????????????12分 ∴cn?0?n?n；????????????13分 ??????
n2?n?1???n?1??n211112?由dn?1?2?2?1?2? 22cncn?1n?n?1?2n?n?1?
?22?n2?n?1?
n2?n?1?22n2?n?111??1?dn??1??1????； nn?1nn?1nn?1??
6 第页
∴M2016?d1?d2???d2016??1??1?
????1????11??
???1??????? 2?????23??
??11??11
. ??1????2016?1??2017???
20172017??20162017??
∴不超过M2016的最大整数为2016?????????????16分 21.解：（1）M0????1????0????0????2??3?????????4分 （2）若??x?在?a,b?上单调递增，则M?a,b,n??
?????t????t??????b????a??M?a,b,1?，
i
i?1
i?1
n
故??x?在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1???????????6分
若??x?在?a,b?上存在“最佳划分”M?a,b,1?，倘若??x?在?a,b?上不单调递增， 则存在x1,x2??a,b?,x1?x2,??x1????x2?.
由??a????b????a????x1???x1????x2????x2????b???????????（*） 等号当且仅当??a????x1??0,??x1????x2??0,??x2????b??0时取得，此时
??a????b????a????x1????x1????x2????x2????b????a????b??0，与题设矛盾，舍去，
故（*）式中等号不成立，即：增加分点x1,x2后，“落差总和”会增加，故M?a,b,n?取最大值时n的最小值大于1，与条件矛盾.
所以??x?在?a,b?上单调递增?????????????????10分
（3）由（2）的证明过程可知，在任间区间?a,b?上，若??x?存在最佳划分?a,b,1?，则当??a????b?时，
??x?为常值函数（舍）；当??a????b?时，??x?单调递增；当??a????b?时，??x?单调递
减?????????????12分
若??x?在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?，则此时在每个小区间?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上均为最佳划分M?ti?1,ti,1?.否则，添加分点后可使??x?在?a,b?上的“落差总和”增大，从而M?a,b,n0?不是“落差总和”的最大值，与“??x?在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?”矛盾，故??x?在每个小区间
?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上都是单调????????????14分
若??x?在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?，则??x?在相邻的两个区间?ti?1,ti?、?ti,ti?1?上具有不同的单
第页
7
调性，否则，??ti?1????ti?1????ti?1????ti????t1????ti?1?， 减少分点ti，“落差总和”的值不变，而n的值减少1，故n的最小值不是n0，与“??x?在?a,b?上存在最佳划分M?a,b,n0?”矛盾?????????16分
??x?存在“最佳划分”M??a,a,n0?，故??x?在每个小区间?ti?1,ti??i?1,2,?,n0?上都单调，而??x?是偶函数，故??x?在y轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当i?j?n0?i?0,1,?,?n0??时，ti?tj?0，从而有t0?t1?t2???tn0?0???????????18分
=
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